春-西南大學(xué)《數(shù)學(xué)分析選講》作業(yè)及答案

2013年春西南大學(xué)《數(shù)學(xué)分析選講》作業(yè)及答案（共5次，已整理）

第一次作業(yè)

【主觀題】

【論述題】

一、判斷下列命題的正誤

1.設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確

（正確）

2.收斂數(shù)列必有界.（正確）

3.設(shè)數(shù)列｛%｝與｛"｝都發(fā)散，則數(shù)列｛4+d｝一定發(fā)散.（錯(cuò)誤）

4.若S為無(wú)上界的數(shù)集，則S中存在一遞增數(shù)列趨于正無(wú)窮.（正確）

5.若一數(shù)列收斂，則該數(shù)列的任何子列都收斂.（正確）

二、選擇題

1.設(shè)=x\-2,x<l/則,/[/（1）]=（A）.

3-x,x>l

A-3；B-1；C0；D2

2.”對(duì)任意給定的ee（0,1）,總存在正整數(shù)N,當(dāng)〃2N時(shí)，恒有|。區(qū)2^”是數(shù)列

｛x“｝收斂于a的（A）.

A充分必要條件；B充分條件但非必要條件；

C必要條件但非充分條件；D既非充分又非必要條件

3.若數(shù)列｛%｝有極限a,則在。的￡（>0）鄰域之外，數(shù)列中的點(diǎn)（B）

A必不存在；B至多只有有限多個(gè)；

C必定有無(wú)窮多個(gè)；D可以有有限個(gè)，也可以有無(wú)限多個(gè)

4.數(shù)列｛%｝收斂，數(shù)列｛笫｝發(fā)散，則數(shù)列｛%,+%｝（D）.

A收斂；B發(fā)散；C是無(wú)窮大；D可能收斂也可能發(fā)散

5.設(shè)lim|居|=a,貝!J（C）

8

A數(shù)列｛x“｝收斂；BlimX"=a；

n—>oo

C數(shù)列｛x“｝可能收斂，也可能發(fā)散；Da；

n—>oo

6.若函數(shù)/（x）在點(diǎn)/極限存在，則（C）

A/（%）在x0的函數(shù)值必存在且等于極限值；

B/（x）在X。的函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值;

C/（x）在X。的函數(shù)值可以不存在;

D如果/(%)存在的話必等于函數(shù)值

7.下列極限正確的是D)

「sinx1

Alimxsin—=1；Blim-----二1；Climxsin—=0；Dlim—sinx=l

-oxX-8X3X

27-1

8.lim——D)

2%+l

A0；B1C-1D不存在

三、計(jì)算題

(3X+6)70(8X-5)20

1.求極限lim

x—>+oo(51)90

(3X+6)70(8X-5)20370.820

解：lim

+oo(5x-l)90

2.求極限產(chǎn)i

…8x-2

x2xfll

1(n+10

1+i+-[(i+-ri2

__x___x_XX

解:產(chǎn)i=lim=lim-lim

ooJQ—28I-2XT81.2x—><x>

u[(1—)2尸

xjIXJX)X

2

e6

3.求極限lim(l+-+-+---+-

—823n

由于14(1+!+工+…+工尸〈”與

解又=由迫斂性定理

23nco

lim(l+-+-+---+-)?=1

g23n

ii—n

4.考察函數(shù)=——九￡(TX),中X))的連續(xù)性.若有間斷點(diǎn)指出其類型.

“?8n+n

nx-n-xn-1

解：當(dāng)％<0時(shí)，有/(x)=lim------=lim—.....=一1；同理當(dāng)1>0時(shí)，有%)=1.

isnx+nx8〃%]

—1,x<0

而/(0)=0,所以/(x)=sgnx=[0,x=0O所以0是7的跳躍間斷點(diǎn).

l,x>0

四、證明題

設(shè)limo=〃，limbn=b,且〃<Z?.證明：存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)，有

n—>ooH—>co

a”<bn.

證由a<b,有因?yàn)閘ima”=a<3土白，由保號(hào)性定理，存在N］>0,

22

使得當(dāng)〃〉M時(shí)有凡〈”2。又因?yàn)?1m2=人〉”2,所以，又存在N2>o,使得

’22一

當(dāng)〃〉N2時(shí)有么〉于是取N=max｛N］,N2｝,當(dāng)〃〉N時(shí)，有

【客觀題】

【判斷題】狄利克雷函數(shù)D(x)是有最小正周期的周期函數(shù)錯(cuò)

【選擇題】設(shè)數(shù)列｛An｝收斂，數(shù)列｛Bn｝發(fā)散，則數(shù)列｛AnBn｝D

【判斷題】收斂數(shù)列必有界對(duì)

【判斷題】?jī)蓚€(gè)(相同類型的)無(wú)窮小量的和一定是無(wú)窮小量對(duì)

【判斷題】若函數(shù)在某點(diǎn)無(wú)定義，則在該點(diǎn)的極限不存在錯(cuò)

【選擇題】設(shè)f,g為區(qū)間(a,b)上的遞增函數(shù),則min｛f(x),g設(shè))｝是(a,b)上的

A

【選擇題】設(shè)f在［a,b］上無(wú)界，且f(x)不等于0,則l/f(x)在［a,b］上D

【判斷題】閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的對(duì)

【判斷題】?jī)蓚€(gè)收斂數(shù)列的和不一定收斂錯(cuò)

【判斷題】有上界的非空數(shù)集必有上確界對(duì)

【判斷題】?jī)蓚€(gè)無(wú)窮小量的商一定是無(wú)窮小量錯(cuò)

【選擇題】若函數(shù)f在(a,b)的任一閉區(qū)間上連續(xù)，則fB

【選擇題】一個(gè)數(shù)列｛An｝的任一子列都收斂是數(shù)列｛An｝收斂的C

【判斷題】若f,g在區(qū)間I上一致連續(xù)，則fg在I上也一致連續(xù)。錯(cuò)

【判斷題】區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值錯(cuò)

【判斷題】?jī)蓚€(gè)收斂數(shù)列的商不一定收斂對(duì)

【選擇題】設(shè)函數(shù)f(x)在(a-c,a+c)上單調(diào)，則f(x)在a處的左、右極限B

【選擇題】定義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)?-1,1)的連續(xù)函數(shù)B

［選擇題】y=f(x)在c處可導(dǎo)是y=f(x)在點(diǎn)(c,f(c))處存在切線的A

【判斷題】最大值若存在必是上確界對(duì)

【選擇題】設(shè)f,g在Ja,a)上都是奇函數(shù)，則g(f(x))與f(g(x))A

【判斷題】?jī)蓚€(gè)無(wú)窮大量的和一定是無(wú)窮大量錯(cuò)

【選擇題】函數(shù)f在c處存在左、右導(dǎo)數(shù)，則f在c點(diǎn)B

【判斷題】若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)連續(xù)對(duì)

【判斷題】若雙多在瓜楊上有定義,且￡6)￡“)〈0,則在(413)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得

f(c)=O錯(cuò)

第二次作業(yè)

【主觀題】

【論述題】

一、判斷下列命題的正誤

1.若函數(shù)在某點(diǎn)無(wú)定義，則在該點(diǎn)的極限可能存在.(錯(cuò)誤)

2.若/(x)在［a,句上連續(xù)，則/(x)在［a,切上一致連續(xù).(錯(cuò)誤)

3.若/(x)在［a,切上有定義，且/(a)(3)<0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)4使得

/(a=o.(錯(cuò)誤)

4.初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).(正確)

5.閉區(qū)間［a,切的全體聚點(diǎn)的集合是［a,6］本身.(正確)

二、選擇題

1.下面哪些敘述與數(shù)列極限lim%=A的定義等價(jià)(A)

ns

AVee(0,1),3N>Q,\/n>N,\an-A\<s；

B對(duì)無(wú)窮多個(gè)￡>0,BN>0,yn>N,\an-A\<s；

CVe>0,BN>0,有無(wú)窮多個(gè)〃〉N,\an-A\<s；

DV^>0,有｛a,J的無(wú)窮多項(xiàng)落在區(qū)間(A—￡,A+e)之內(nèi)

2.任意給定/>0,總存在X>0,當(dāng)x<—X時(shí)，/(x)<-M,則(A)

Alimf(x)=—oo；B=—00;Clim/(x)=co；Dlimf(x)=00

x->-oox—>oox—>-00x—>+oo

3.設(shè)總存在X>0,當(dāng)xV—X時(shí)，—?jiǎng)t(D

Alim/(x)=a；Blim/(x)=a；Climf(x)=a；Dlim/(x)二00

x—>4-00X—>-Q0x—>008

1

4.極限—2%A=(B)

xf0

Ae2Be之；Cc1；D1

sin(x-l)

lim

5.2iC

x—^1x-1

A1；B2；D0

2

6.定義域?yàn)椋邸?勿，值域?yàn)?-8,+8)的連續(xù)函數(shù)(C)

A存在；B可能存在；C不存在；D存在且唯一

_x

7.設(shè)/(x)=<(l2x),冗W0在1=0處連續(xù)，則左=(D)

k,%=0

A1；Be；C—1；

8.方程犬—x—1=0至少有一個(gè)根的區(qū)間是(D

A(0,1)；B(-,1)；C(2,3)；

D(1,2)

22

三、計(jì)算題

111

-+—+■?■+—

1.求極限--------J

〃->00111

I—+---1

3323"

1--

J_2"

—+…+十］一

解：lim~~~號(hào)-------學(xué)-=lim--------J=2

8111001

—---------—???—I------------1—----------

3323"13"

3」

3

2.求極限lim(—~\—.+—I—/)

…“+iJ/+2J/+〃

nil1ri

解：因?yàn)?~<一/H—/H---1—/</

yjn2+1vn2+2vn2+n-Jn2+1

又lim..,-=lim.=1,所以由迫斂性定理,

…<〃2+n501n2-

lim-/H—.-+???H—,--1

J/+2如2+n

11m(x+l)2+(2x+l)2+(3x+l)2+...+(10x+l)2

3.求極限

x—>00(lOx-1)(11%-1)

Hm(%+1?+(2x+1)?+(3x++…+(10x+］丁

解:刖(10x-l)(llx-l)

(1+-)2+(2+++(3+-)2+---+(10+-)2

玉小九%%%

~11

(io—)(11—)

xx

E+22+…+1()2

10-11-6-10-11~2,

4'求極限吧渣工I

左刀「sin2x「(Vx+1+1)sin2x

解：lim￡......-二lim—7=--------7=-----

―。7%+1-12(7%+1-i)(Vx+i+1)

(V-X+1+1)sin2x(y/x+1+1)sin2x“

=lim----------------------=lim-----------------------=4

20(x+l)-lioX

四、證明題

設(shè)y,g在［a,切上連續(xù)，且/3)>8(。),/3)<8(。).證明：存在］w(a,b),使得

/C)=gC).

證：令尸。)=/(x)—g(x),則R(x)在［a,切上連續(xù)，又

F(a)=f(a)-g(a)>0

F(b)=f(b)-g(b)<0

用零點(diǎn)存在定理，存在一點(diǎn)使得歹0=0,

即/4)-gC)=O

【客觀題】

【判斷題】若f在區(qū)間I上連續(xù)，則f在I上存在原函數(shù)。對(duì)

【判斷題】不存在僅在一點(diǎn)可導(dǎo)，而在該點(diǎn)的任一空心鄰域內(nèi)皆無(wú)連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)。

錯(cuò)

【判斷題】若函數(shù)在某點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都存在，則在該點(diǎn)可導(dǎo)錯(cuò)

【判斷題】若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都存在對(duì)

【判斷題】可導(dǎo)的單調(diào)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)仍是單調(diào)函數(shù)。錯(cuò)

【判斷題】閉區(qū)間上的可積函數(shù)是有界的對(duì)

【判斷題】若f在實(shí)數(shù)集R上是偶函數(shù)，則x=0是f的極值點(diǎn)。錯(cuò)

【判斷題】可導(dǎo)的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)必是奇函數(shù)對(duì)

【判斷題】若函數(shù)在某點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都存在，則在該點(diǎn)連續(xù)。對(duì)

【判斷題】若f、g在［a,b］上的可積，則fg在［a,b］上也可積對(duì)

【判斷題】若f是［a,b］上的單調(diào)函數(shù)，則f在［a,b］上可積。對(duì)

【判斷題】若函數(shù)f在區(qū)間I上單調(diào),則f在I上的任一間斷點(diǎn)必是第一類間斷點(diǎn)對(duì)

【判斷題】若兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處相等，則這兩個(gè)必相等錯(cuò)

【判斷題】若函數(shù)f在數(shù)集D上的導(dǎo)函數(shù)處處為零，則f在數(shù)集D上恒為常數(shù)。錯(cuò)

【判斷題】可導(dǎo)的周期函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)必是周期函數(shù)對(duì)

【判斷題】任一實(shí)系數(shù)奇次方程至少有一個(gè)實(shí)根對(duì)

【判斷題】若f,g均為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f+g也為I上的凸函數(shù)。對(duì)

【判斷題】若函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上有界，則f在I上一致連續(xù)。對(duì)

【判斷題】實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)對(duì)

第三次作業(yè)

【主觀題】

【論述題】

一、判斷下列命題的正誤

1.若函數(shù)/（X）在點(diǎn)X。處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，則/（X）在/處必連續(xù).（正確）

2.若/（x）在/處可導(dǎo)，則/⑴在無(wú)。處可微.（正確）

3.若兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間/上的導(dǎo)數(shù)處處相等，則這兩個(gè)函數(shù)必相等.（錯(cuò)誤）

4.若/（X）是可導(dǎo)的偶函數(shù)，則/''（COnO.（正確）

5.若不€（&/）是/（%）的導(dǎo)函數(shù)的間斷點(diǎn)，則/是/'（x）的第二類間斷點(diǎn).（正確）

二、選擇題

1.設(shè)/是奇函數(shù)，且=貝ij（A）

Ay=/（x）在x=O的切線平行于x軸；B尤=0是/的極大值點(diǎn)；

Cx=0是/的極小值點(diǎn)；D丁=/（乃在％=0的切線不平行于％軸

2.設(shè)f（x）={x-d）（p{x},其中夕⑴在x=a處連續(xù)但不可導(dǎo)，貝U/'（a）=（A）

A°(a)；B0'(a)：C-（p\d）；D不存在

3.設(shè)/可導(dǎo)，貝ijd/(secx)=(B)

A/"(secx)sec2xdx；B/'(secx)secxtanxdx；

Cff(secx)secxdx；D/'(secx)tan2xdx

4.設(shè)函數(shù)/(x)可導(dǎo)且下列極限均存在，則不成立的是(B)

/(x)-/(0)

Alim=r(Q)；B屈小。+2：)一小。)",@)；

工7°X

lim〃Xo+/z)—/(/一份lim/(Xo)T(x。一“)

C=/'(不)；D

52hxh

5.設(shè)/(x)=xlnx,且/'(%)=2,則/(%)=(C)

2e

A-；B-；Ce；D1

e2

6.已知y=⑴，則y"=(C)

AefMf\x}；Be〃x)；Ce""){+/〃(％)}；D/叫/口)+/(創(chuàng)

7.下列結(jié)論中正確的有(D)

A如果點(diǎn)/是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，貝IJ有((%)=0；

B如果/'(%)=0,則點(diǎn)/必是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)；

C函數(shù)/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)的極大值一定大于極小值;

D如果點(diǎn)/是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，且尸(%)存在，則必有/'(%)=0

設(shè)/(x)可導(dǎo)，則lim-(x+")―/2(x)

8.B)

goh

A/'(x)；B2尸(x)；C0；D2/(x)/f(x)

三、計(jì)算題

解：

2x

1+—-

，2x2y1x2+1*1x-l

24+1x+&+1+1+1&+1

2.設(shè)y=xJl-%2+arcsinx求

XX>1

3.設(shè)/(x)=<_，試確定〃，的值，使/在x=l可導(dǎo).

ax+bx<1

解：要使/在X=1可導(dǎo)，/在X=1必連續(xù)，于是必左連續(xù).

蚪J(x)=唾3+切=.=〃1)=1,從而“?

,力⑴"⑶7⑴-3=2

了在X=1的右導(dǎo)數(shù)21+X-1—3+X-1

../(x)-/(I)..ax+b-12..ax+1-a—1

/⑴=11m=km--------------=hm-----------------=a

左導(dǎo)數(shù)為XTRx-1z「x-1*T「x-l,

只要a=2,則/在x=13=-l

4.用洛比塔法則求極限lim(--——).

io%ex-1

解：

r(11)「--l-xr--1?-11

lim—--------=hm------------=11m-----------------=lim--------------=iim_____=_

ex-1)10/-1+疵"202/+定'2。2+才2

四、證明題

證明：當(dāng)九￡(0,—)時(shí)，tanx>x------.

33

Y3

證/(x)=tanx-x+—,則/在x=0連續(xù)，且/(0)=0.

jr

因?yàn)?<(%)=sec2x-1+x2=tan2x+x2>0,xe(0,—),

TT

故/在(o,1)嚴(yán)格單調(diào)遞增，又因/在x=o連續(xù)，于是y(x)>/(o)=o,

從而tanx〉x------，xG(0,—).

【客觀題】

【判斷題】處處間斷的函數(shù)列不可能一致收斂于一個(gè)處處連續(xù)的函數(shù)。錯(cuò)

【判斷題】條件收斂級(jí)數(shù)一定含有無(wú)窮多個(gè)不同符號(hào)的項(xiàng)。對(duì)

【判斷題】設(shè)f是(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的凸函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)遞增對(duì)

【判斷題】閉區(qū)間［a,b］的所有聚點(diǎn)的集合是［a,b］對(duì)

【判斷題】收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂對(duì)

【判斷題】在級(jí)數(shù)的前面加上或去掉有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性對(duì)

【判斷題】幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間必然是閉區(qū)間錯(cuò)

【判斷題】實(shí)數(shù)集R上的連續(xù)周期函數(shù)必有最大值和最小值對(duì)

【判斷題】有限區(qū)間上兩個(gè)一致連續(xù)函數(shù)的積必一致連續(xù)對(duì)

【判斷題】任何有限集都有聚點(diǎn)錯(cuò)

【判斷題】設(shè)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)單調(diào)，則其導(dǎo)數(shù)在(a,b)內(nèi)連續(xù)對(duì)

【判斷題】不絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定條件收斂錯(cuò)

【判斷題】收斂級(jí)數(shù)一定絕對(duì)收斂錯(cuò)

第四次作業(yè)

【主觀題】

【論述題】

一、判斷下列命題的正誤

1.閉區(qū)間［a,切上的可積函數(shù)/(x)是有界的.(正確)

2.若/(x)在［a,句上可積，則/(%)+|/(刈在［a,句上也可積.(正確)

3.若/(%)在區(qū)間/上有定義，則/(x)在區(qū)間/上一定存在原函數(shù).(錯(cuò)誤)

4.若/(x)為［a,句上的增函數(shù)，則/(x)在［a,句上可積.(正確)

5.若/(x)在［a向上連續(xù)，則存在使「f(x)dx=-a).(正確)

Ja

二、選擇題

1.對(duì)于不定積分，下列等式中(A)是正確的.

A當(dāng)ff(x)dx=f(x)；BJf\x)dx=/(x)；

axJ

cf#(x)=/(%)；Dt/jf(x)dx=/(%)

11

2.若%6k=—e"+c,則/(%)為(A)

1111

A----；B---；C一；D

XXX

3.設(shè)5sin%是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，貝!公=(B)

A-5sinx+c；B5cosx+c；C5sinA:；D-5sinx

4.JJ(l-cosx)=(B)

A1-cosx；B—cosx+c；Cx-sinx+c；Dsinx+c

5.若J/(x)dx=x2+0,則，4(l-12)dx=(D)

A2(1-x2)2+c；B-2(l-x2)2+c；

C--(1-x2)2+c；D—(1-x2)2+c

22

.fdx

o.------=(C)

J1+cosx

Atanx-secx+c；B—COa+CSCX+C;

cx

Ctan—Fc；Dtang—￡)

2

7.］短『)=(D)

Axe~x+cBxee'+c；C—xc*+cDxe~x+e-x+c

8.已知/'(")=l+x,則/(%)=(D)

11

A1+lnx+c；Bx+—x2+c；Clnx+—In2x+c；Dxlnx+c

22

三、計(jì)算題

1.求不定積分f二——---dx.

JX2+2X+10

2.求不定積分jarcsinxca.

解：farcsinxdx=xarcsinx-f/%dx=xarcsinx+Vl-x2+C

JJ/l2

A/l-X

3.求不定積分jlnxdt.

解：［Inxdx=xinx-ix?-dx=x\nx-x+C

4.求不定積分Je五公.

解：令?=u,則公=j>2"d〃=2(e7—e")+C=2e6(?—1)+C

四、證明題

設(shè)f為連續(xù)函數(shù).證明：/(sinx)dx=~\^/(sin.

證因/在用上不恒等于零，故存在與e［a,勿，使得于是/2(%))〉0?

又因?yàn)閒在［a,b］上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在x0的某鄰域(%-5,%+S)(當(dāng)

%=?；?=6時(shí)，則為右鄰域或左鄰域)，使得在其中/2(x)〉1；°)〉0.從而

ff2(x)dx=[3f2{x}dx+f°+Sf2(x)dx+ff2(x)dx

JaJaJXQ—3J%o+3

2

21"；/2(x)dx〉J,。)dx=f(x0)3>0.

JXQSJXQ-82

第五次作業(yè)

【主觀題】

【論述題】

一、判斷下列命題的正誤

1.若/⑴與g(x)在［a,切上都可積，則/(x)g(x)在［a向上也可積.(正確)

2.若/(x)在［a向上連續(xù)，則存在Je(a,Z?),使jf{x}dx=f^(b-a).(正確)

3.若/(x)在［a,句上有無(wú)限多間斷點(diǎn)，則/(x)在［a,句上一定不可積.(錯(cuò)誤)

4.無(wú)窮積分公是收斂的.(錯(cuò)誤)

X