創(chuàng)新方案高考數(shù)學復習人教新課標同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式高中數(shù)學

創(chuàng)新方案高考數(shù)學復習人教新課標同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式高中數(shù)學同角三角函數(shù)基本關系式：在任意一象限內，以點P(x,y)為終點的一個角α，構成一條與x軸正半軸之間的夾角。根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，點P上的正弦、余弦、正切、余切值分別為：sinα=y/rcosα=x/rtanα=y/xcotα=x/y其中r表示點P到坐標原點O的距離，即r=√(x2+y2)。這些值我們又稱之為以角α為自變量的函數(shù)，記作sinα、cosα、tanα、cotα，它們被統(tǒng)稱為同角三角函數(shù)。同角三角函數(shù)基本關系式就是指通過一個角的正弦、余弦、正切、余切值之間的關系式，即sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α這里，sec表示余割，csc表示余cosecant。這三個公式是基礎，可以得到其他許多關于同角三角函數(shù)的性質。同角三角函數(shù)誘導公式：同角三角函數(shù)誘導公式常用于三角函數(shù)的簡化，表達出某些三角函數(shù)為另外幾個三角函數(shù)的函數(shù)。它們可以幫助我們在求解一些復雜的三角函數(shù)表達式時化式簡化。其中最基本的誘導公式有以下三個：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα1+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α這些公式有廣泛的應用，下面介紹一些由這些公式可以導出的有用的性質。性質1：tan(-α)=-tanα、cot(-α)=-cotα利用同角三角函數(shù)誘導公式中的cotα=cosα/sinα和sin(-α)=-sinα、cos(-α)=cosα，可知cot(-α)=cos(-α)/sin(-α)=-cosα/sinα=-cotα。由tan(-α)sinα=-sinα，tan(-α)=-tanα。這些性質在解一些三角函數(shù)的不等式或方程時會很有用。性質2：sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2-α)=sinα利用同角三角函數(shù)誘導公式中的tan(π/2-α)=1/tanα，可得tan(π/2-α)=1/tanα=cosα/sinα然后，將上式兩邊取倒數(shù)，得sin(π/2-α)=cosα/cos2α+sin2α=cosαcos(π/2-α)=sinα/cosα=sinα/√(1-sin2α)=sinα其中，sin2α+cos2α=1，利用此式可得cos2α=1?sin2α，代入可得√(1?sin2α)=cosα，因此可以化簡得到上式。性質3：sin2α=1/2(1-cos2α)、cos2α=1/2(1+cos2α)把sin2α+cos2α=1代入其中一式，得sin2α=1?cos2α=(1+cosα)(1?cosα)/2=1/2(1?cos2α)=1/2(1?cos2α)同理，將cos2α=1-sin2α代入其中一式，得cos2α=1?sin2α=(1?sinα)(1+sinα)/2=1/2(1+sinα)2-1/2=1/2(1+cos2α)練習：對于角α，試用同角三角函數(shù)基本關系式，推導出下列恒等式。1.tan(90°-α)=cotα；2.1+tan2α=sec2α；3.1+cot2α=csc2α。解答：1.tan(90°-α)=sin(90°-α)/cos(90°-α)由角α與補角β和的關系可得：β=90°-α。所以：tan(90°-α)=tanβ=cotα=cosβ/sinβ=sinα/cosα。綜上所述，結論得證。2.1+tan2α=sec2α等式左邊為：1+tan2α=1+sin2α/cos2α=(cos2α+sin2α)/cos2α=1/cos2α右邊為：sec2α=1/cos2α由此，兩邊相等，結論得證。3.1+cot2α=csc2