2025屆上海市12校聯考高考沖刺押題（最后一卷）數學試卷含解析

2025屆上海市12校聯考高考沖刺押題（最后一卷）數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數的取值為A．或11 B．或11 C． D．2．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．3．拋物線的焦點為，準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，設線段的中點在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．4．已知集合，，則中元素的個數為()A．3 B．2 C．1 D．05．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數據的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數據，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數為()A．4 B．3 C．2 D．16．是恒成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于8．2019年末，武漢出現新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了10．若復數滿足，則()A． B． C． D．11．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，側棱長為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，若存在實數m，使得關于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數a的取值范圍是______.14．已知的展開式中含有的項的系數是，則展開式中各項系數和為______.15．“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸的概率是______.16．在直角坐標系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）若，求證：（2）若，恒有，求實數的取值范圍.18．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．19．（12分）設函數，.（1）求函數的極值；（2）對任意，都有，求實數a的取值范圍.20．（12分）已知函數，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.21．（12分）已知函數f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+22．（10分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大?。唬?）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

圓的圓心坐標為（1，1），該圓心到直線的距離，結合弦長公式得，解得或，故選A．2、D【解析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、B【解析】

試題分析：設在直線上的投影分別是，則，，又是中點，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點：拋物線的性質．【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準線（或與準線平行的直線）的距離時，常?？紤]用拋物線的定義進行問題的轉化．象本題弦的中點到準線的距離首先等于兩點到準線距離之和的一半，然后轉化為兩點到焦點的距離，從而與弦長之間可通過余弦定理建立關系．4、C【解析】

集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立方程組求得方程組解的個數，即為交集中元素的個數.【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立與，可得，整理得，即，當時，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.5、C【解析】

①根據線性相關性與r的關系進行判斷,

②根據相關指數的值的性質進行判斷,

③根據方差關系進行判斷,

④根據點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關指數的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統計數據的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.6、A【解析】

設成立；反之，滿足，但，故選A.7、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應選答案C．8、A【解析】

根據題意分別求出事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達式,再根據基本不等式即可求出.【詳解】設事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設,則∴當且僅當即時取等號,即.故選：A．【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應用,互斥事件概率加法公式的應用,以及基本不等式的應用,解題關鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學生的數學運算能力和數學建模能力,屬于較難題.9、C【解析】

假設若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】解：若甲被錄用了，則甲的說法錯誤，乙，丙的說法正確，滿足題意，若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯誤，丙的說法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯誤，甲的說法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，故選：C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎題.10、C【解析】

化簡得到，，再計算復數模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點睛】本題考查了復數的化簡，共軛復數，復數模，意在考查學生的計算能力.11、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函數的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關于的不等式，即可解得實數的取值范圍.【詳解】，先解不等式.①當時，由，得，解得，此時；②當時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數的值域.當時，，則，此時；當時，，此時.綜上所述，函數的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數不等式恒成立求參數，同時也考查了分段函數基本性質的應用，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.12、C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計算長度，設球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設球半徑為，則，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當時，，此時，此時函數在單調遞減，在單調遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當時，函數圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.14、1【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：，解得，令得：展開式中各項系數和，得解．【詳解】解：由的展開式的通項，令，得含有的項的系數是，解得，令得：展開式中各項系數和為，故答案為：1．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題．15、【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸的結果數，再計算即得.【詳解】由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為.故答案為：【點睛】本題考查隨機事件的概率，是基礎題.16、【解析】

點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標求向量的模，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用導數求x＜0時，f（x）的極大值為，即證（2）等價于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數g(x)的最小值得解.【詳解】（1）∵函數f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）內遞增，在（﹣，0）內遞減，在（0，+∞）內遞增，∴f（x）的極大值為，∴當x＜0時，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，則g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且x→0+時，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴實數k的取值范圍是（﹣∞，0]．【點睛】本題主要考查利用證明不等式，考查利用導數求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1），；（2）.【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系．19、（1）當時，無極值；當時，極小值為；（2）.【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，即可容易求得函數的極值；（2）構造函數，兩次求導，根據函數單調性，由恒成立問題求參數范圍即可.【詳解】（1）依題，當時，，函數在上單調遞增，此時函數無極值；當時，令，得，令，得所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.此時函數有極小值，且極小值為.綜上：當時，函數無極值；當時，函數有極小值，極小值為.（2）令易得且，令所以，因為，，從而，所以，在上單調遞增.又若，則所以在上單調遞增，從而，所以時滿足題意.若，所以，，在中，令，由（1）的單調性可知，有最小值，從而.所以所以，由零點存在性定理：，使且在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，.故當，不成立.綜上所述：的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究含參函數的極值，涉及由恒成立問題求參數范圍的問題，屬壓軸題.20、(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調遞減，在上單調遞增，進而可得，即，即可證出．【詳解】函數的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當時，，故在上單調遞增，又，所以當時，，不符合題意；當時，令得，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以要使在時恒成立，則只需，即，令，，所以，當時，；當時，，所以在單調遞減，在上單調遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當，時，即在上單調遞增；又，，所以，使得，當時，；當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，且所以，即，所以，即．【點睛】本題主要考查利用導數法求函數的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數的單調性的考查，同時考查轉化與化歸的思想，屬于中檔題．21、（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1，利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由題意把問題轉化為[f(x