2025屆貴州省劍河民族中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2025屆貴州省劍河民族中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.3.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.函數(shù)在上最大值是14.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.5.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.6.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.8.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng),每人只能去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.59.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項(xiàng),,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.10.已知集合,則()A. B. C. D.11.已知向量,,則向量與的夾角為()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,滿足,且當(dāng)時(shí),.若對(duì)任意,都有,則的取值范圍是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為____,的最大值為_________14.若變量,滿足約束條件,則的最大值為__________.15.某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí),拋一枚硬幣兩次,若兩次都是正面朝上,就在家學(xué)習(xí),否則出去看電影,則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為____________.16.已知,為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知拋物線:與圓:()相交于,,,四個(gè)點(diǎn),(1)求的取值范圍;(2)設(shè)四邊形的面積為,當(dāng)最大時(shí),求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點(diǎn),求.19.(12分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,若對(duì)于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.21.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.22.(10分)某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng),顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球(逐個(gè)有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)(1)該商場(chǎng)某顧客購(gòu)物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購(gòu)物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.2、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路,有著非凡的功效.3、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)沒有最大值,錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).4、C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.6、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.7、C【解析】

由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.8、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。?;A(甲,乙)B(?。〤(丙);A(甲,丙)B(?。〤(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.9、D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號(hào),屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、C【解析】

求出,進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解:由題意知,.則所以,則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí),通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.12、B【解析】

求出在的解析式,作出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,又,所以至少小于7,此時(shí),令,得,解得或,結(jié)合圖象,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結(jié)合可知,可行域?yàn)槿切危业走呴L(zhǎng),高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)?,顯然直線過時(shí),z最大,故.故答案為:;11.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域,從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解,通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時(shí),取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時(shí),直線在軸截距最大;由直線平移可知,當(dāng)過時(shí),在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題,通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.15、【解析】

采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家學(xué)習(xí)只有1種情況,即(正,正),故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】

由,為正實(shí)數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實(shí)數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達(dá)式,令,由及知,對(duì)關(guān)于的面積函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時(shí)的值,進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)聯(lián)立拋物線與圓的方程消去,得.由題意可知在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.所以解得,所以的取值范圍為.(2)根據(jù)(1)可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為,(),則,,,,且,,所以直線、的方程分別為,,聯(lián)立方程可得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?所以,令,則,所以,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即當(dāng)時(shí),四邊形的面積取得最大值,因?yàn)?點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問題;考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.18、(1):;:.(2)【解析】

(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標(biāo)方程可得,當(dāng)時(shí),,,所以.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;(2)根據(jù)條件可得,然后將用,,表示出來,根據(jù)是一個(gè)整數(shù),可得結(jié)果.【詳解】解:(1)令,,則即∴,∴成等差數(shù)列,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,假設(shè)成等差數(shù)列,其中,公差為,令,,∴,∴,即,∴成等差數(shù)列,∴數(shù)列是等差數(shù)列;(2),,若存在正整數(shù),使得是整數(shù),則,設(shè),,∴是一個(gè)整數(shù),∴,從而又當(dāng)時(shí),有,綜上,的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì),關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,屬于難題.20、(1).(2)的方程為.【解析】

(1)令,則,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達(dá)定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程。【詳解】解:(1)因?yàn)?,即直線的斜率分別為且

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