專(zhuān)題66余角和補(bǔ)角（2大知識(shí)點(diǎn)6類(lèi)題型）（知識(shí)梳理與題型分類(lèi)講解）（人教版）

專(zhuān)題6.6余角和補(bǔ)角（2大知識(shí)點(diǎn)6類(lèi)題型）（知識(shí)梳理與題型分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】余角和補(bǔ)角的定義余角：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．【知識(shí)點(diǎn)2】余角和補(bǔ)角的性質(zhì)（1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．【要點(diǎn)提示】(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°．知識(shí)點(diǎn)與題型目錄【題型1】求一個(gè)角的余角......................................................1【題型2】求一個(gè)角的補(bǔ)角......................................................3【題型3】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算..............................................5【題型4】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用........................................7【題型5】直通中考...........................................................10【題型6】拓展延伸...........................................................11第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】求一個(gè)角的余角【例1】（2223七年級(jí)上·貴州銅仁·期末）如圖，與互余，平分．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，用代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了互余的定義，角平分線(xiàn)的定義，角的和差；（1）由角平分線(xiàn)的定義得，由互余的定義得，由角的和差，即可求解；（2）由互余的定義得，再由角平分線(xiàn)的定義即可求解；理解互余的定義，角平分線(xiàn)的定義，會(huì)用角的和差表示出所求的解是解題的關(guān)鍵．解：（1）平分，，與互余，，，；（2）與互余，，，平分，，．【變式1】（2425七年級(jí)上·四川雅安·期中）若兩個(gè)角和為90度，則這兩個(gè)角互余．已知，，則與的關(guān)系是（

）A．互補(bǔ) B．互余 C．和為鈍角 D．和為周角【答案】B【分析】本題考查了互余，解題關(guān)鍵是掌握若兩個(gè)角的和等于，即這兩個(gè)角互余．根據(jù)已知條件，得出，即可得到答案．解：∵，，，與互余，故選：B．【變式2】（2425七年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知，與互余，則．【答案】【分析】本題考查求一個(gè)角的余角，根據(jù)互余兩角的度數(shù)之和為90度，進(jìn)行求解即可．解：．故答案為：．【題型2】求一個(gè)角的補(bǔ)角【例2】（2324七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，已知，是的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)O作．(1)的補(bǔ)角是______，的余角是______；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；，(2)【分析】本題主要考查補(bǔ)角，余角的定義，平行的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)補(bǔ)角，余角的定義即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到，再由角平分線(xiàn)的定義以及平行的性質(zhì)即可得到答案．解：（1）根據(jù)補(bǔ)角，余角的定義，的補(bǔ)角是，是的平分線(xiàn)，，故的余角是和；（2），．，，，，，是的平分線(xiàn)，．，，．【變式1】（2024·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是直尺的兩邊，，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的邊上，若，則的補(bǔ)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、與三角板有關(guān)的角度的計(jì)算、求補(bǔ)角，先由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，，求出，得出，即可得解．解：如圖：∵，∴，，∵，∴，∴，∴的補(bǔ)角的度數(shù)是，故選：B．【變式2】（1213七年級(jí)下·河南鄭州·期中）與互余，與互補(bǔ)，，那么．【答案】/153度【分析】本題考查了余角與補(bǔ)角的定義．熟練掌握互為余角的和等于90°，互為補(bǔ)角的和等于180°是解題的關(guān)鍵．根據(jù)互為余角的和等于90°先求出∠2的度數(shù)，再根據(jù)互為補(bǔ)角的和等于180°即可求出∠3的度數(shù)．解：∵與互余，，∴，∵與互補(bǔ)，∴．故答案為：．【題型3】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算【例3】（2324七年級(jí)上·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，已知，與互余，平分．(1)在圖1中，若，則_________，_________；(2)在圖2中，設(shè)，請(qǐng)?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了角的計(jì)算，余角和補(bǔ)角，角平分線(xiàn)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)余角的定義可得：，從而可得，然后利用角平分線(xiàn)的定義可得，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用（1）的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：（1）∵與互余，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：；；（2），理由：∵與互余，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．∵，∴．【變式1】（2024七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，其中符合的圖形共有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題主要查了三角板中特殊角，余角的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)．根據(jù)三角板中特殊角，余角的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)解答，即可求解．解：左起第1個(gè)圖形，，正確；左起第2個(gè)圖形，根據(jù)同角的余角相等，可以得到，正確；左起第3個(gè)圖形，由圖可知，所以，正確；左起第4個(gè)圖形，由圖可知，顯然與不相等，錯(cuò)誤；所以正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．故選B．【變式2】（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）一個(gè)角的余角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的，則這個(gè)角為度．【答案】【分析】本題考查余角和補(bǔ)角的概念以及運(yùn)用．設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是，這個(gè)角的補(bǔ)角為，余角為．根據(jù)“一個(gè)角的余角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的”列方程求解即可．互為余角的兩角的和為，互為補(bǔ)角的兩角之和為．解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從題中找出角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果．解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是，依題意，得：，解得：，∴這個(gè)角為度．故答案為：．【題型4】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用【例4】（2324七年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線(xiàn)上，平分．(1)比較和的大小，并說(shuō)明理由；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)；理由見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了角的比較大小和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解一元一次方程，解決此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)及角的和差列出方程式．（1）先說(shuō)明，再說(shuō)明，從而得出，再根據(jù)，即可得到；（2）設(shè)，則，，列方程即可求得．解：（1）；理由如下：，，平分，，，，．（2）設(shè)，平分，，，，平分，，，，．【變式1】（2223六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，射線(xiàn)是平角的平分線(xiàn)，，那么下列式子中錯(cuò)誤的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查補(bǔ)角與余角的定義，熟練掌握補(bǔ)角和余角的定義是解決本題的關(guān)鍵．由射線(xiàn)是平角的平分線(xiàn)，得，選項(xiàng)D不符合題意．根據(jù)同角的余角相等，得，，選項(xiàng)A不符合題意．同理可得，選項(xiàng)B不符合題意，C中兩角互余不能推斷相等，選項(xiàng)C符合題意．解：∵射線(xiàn)是平角的平分線(xiàn)，．故選項(xiàng)D不合題意．A、．又，．故選項(xiàng)A不符合題意．B、，，．故選項(xiàng)B不符合題意．C、，∴．無(wú)法證明．故選項(xiàng)C符合題意．故選：C．【變式2】（2425七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，則圖中三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】本題主要考查了余角．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握余角定義和同角的余角相等．余角定義：如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角叫做互為余角．由，得到，即得．解：∵，∴，∴，∴．故答案為：．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型5】直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）若，則的補(bǔ)角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)和為的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，計(jì)算即可．本題考查了補(bǔ)角，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．解：。則的補(bǔ)角為．故選：D．【例2】（2022·廣西·中考真題）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線(xiàn)分別重合，那么∠BAC的大小為【答案】135°/135度【分析】根據(jù)三角板及其擺放位置可得，求解即可．解：，，故答案為：135°．【點(diǎn)撥】本題考查了求一個(gè)角的補(bǔ)角，即兩個(gè)角的和為180度時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【題型6】拓展延伸【例1】（2021七年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖1，O為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)，使．現(xiàn)將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊與射線(xiàn)重合，如圖2．(1)______；(2)如圖3，將三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)是的平分線(xiàn)，求的度數(shù)；(3)將三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在與重合前，是否有某個(gè)時(shí)刻滿(mǎn)足？如果有，求此時(shí)的度數(shù)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)，，即得；（2）根據(jù)是的平分線(xiàn)，，得到，根據(jù)，即得；（3）當(dāng)在內(nèi)部，根據(jù)，，得到，，根據(jù)，得到，即得；當(dāng)在外部，得到，得到，即得．解：（1）∵，，∴；故答案為：；（2）∵是的平分線(xiàn)，，∴，∵，∴；（3）當(dāng)在內(nèi)部，如圖1，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；當(dāng)在外部，如圖2，，∴，∴．故的度數(shù)為：或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面內(nèi)直角在直線(xiàn)上旋轉(zhuǎn)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，余角定義，平角定義，角平分線(xiàn)計(jì)算，角的和差倍分計(jì)算，分類(lèi)討論，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．兩個(gè)角的和等于90°，這兩個(gè)角叫做互為余角．【例2】（2324七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）定義：從（）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線(xiàn)，若該射線(xiàn)將分得的兩個(gè)角中有一個(gè)角與互為補(bǔ)角，則稱(chēng)該射線(xiàn)為的“好線(xiàn)”．如圖，點(diǎn)在直線(xiàn)上，在直線(xiàn)上方，且，射線(xiàn)是的“好線(xiàn)”；(1)若，且在內(nèi)部，則；(2)若恰好平分，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)若是的平分線(xiàn)，是的平分線(xiàn)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】本題考查了補(bǔ)角的定義和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，角的和差關(guān)系，根據(jù)題意，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)“好線(xiàn)”的定義即可求解；（）根據(jù)“好線(xiàn)