人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章4-2-2第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用課件

第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．理解等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，并學(xué)會應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)2．能夠利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)求其前n項和的最值．(數(shù)學(xué)運算)(教師用書)我們知道，等差數(shù)列的前n項和公式是一個關(guān)于n的二次函數(shù)形式，那么等差數(shù)列的前n項和是否具有二次函數(shù)的性質(zhì)呢？除此之外，它還有什么樣的性質(zhì)嗎？[討論交流]

問題1．等差數(shù)列前n項和公式有什么樣的函數(shù)特點？問題2．等差數(shù)列{an}中，其前n項和Sn，前2n項和S2n與前3n項和S3n有什么樣的關(guān)系？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)探究問題1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的關(guān)系．[提示]

S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同樣我們發(fā)現(xiàn)S3n＝3Sn＋3n2d，這里出現(xiàn)了一個有意思的數(shù)列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一個公差為n2d的等差數(shù)列．探究問題2在等差數(shù)列{an}中，如果項數(shù)為2n，那么S偶與S奇之間存在什么樣的關(guān)系？

√

[學(xué)以致用]

1．(1)已知數(shù)列{an}是項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和是50，偶數(shù)項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數(shù)列的公差是________．(2)等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則數(shù)列{an}的前3m項的和S3m為________．－4210(1)－4

(2)210

[(1)設(shè)共有2m項，由題意得a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①S偶－S奇＝md＝34－50，②①②聯(lián)立得d＝－4.(2)在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30，70，S3m－100成等差數(shù)列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.]探究2

等差數(shù)列前n項和的最值問題探究問題3根據(jù)上節(jié)課所學(xué)，等差數(shù)列的前n項和公式有什么樣的函數(shù)特點？

[新知生成]1．等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征等差數(shù)列的前n項和公式轉(zhuǎn)移到二次函數(shù)的過程

等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系2．等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負(fù)數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最____值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最____值．特別地，若a1>0，d>0，則_____是{Sn}的最____值；若a1<0，d<0，則_____是{Sn}的最大值．小大S1小S1【教用·微提醒】

由于n取正整數(shù)，所以Sn不一定是在頂點處取得最值，而可能是在離頂點最近的橫坐標(biāo)取整數(shù)的點處取得最值．【鏈接·教材例題】例9已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由．分析：由a1＞0和d＜0，可以證明{an}是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時，an＜0，Sn遞減．這樣，就把求Sn的最大值轉(zhuǎn)化為求{an}的所有正數(shù)項的和．

[典例講評]

2．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2.(1)求{an}的通項公式；(2)求{an}的前多少項和最大．[思路引導(dǎo)]

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通項公式；(2)利用等差數(shù)列前n項和Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，可利用二次函數(shù)求解最值的方法解決．

[母題探究]

將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少項和最大？

[學(xué)以致用]

2．已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值及相應(yīng)的n的值．

探究3數(shù)列{|an|}的前n項和[典例講評]

3．(2023·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

反思領(lǐng)悟

1．一般地，數(shù)列{an}與數(shù)列{|an|}是兩個不同的數(shù)列，只有當(dāng)數(shù)列{an}的每一項都是非負(fù)數(shù)時，它們才表示同一個數(shù)列．2．(1)求{|an|}的前n項和，關(guān)鍵在于分清哪些項為正數(shù)，哪些項為負(fù)數(shù)，最終化為去掉絕對值符號后的數(shù)列求和；(2)數(shù)列{|an|}的前n項和求解的易錯點在于沒有考慮分類討論，最后結(jié)果未分段表示．[學(xué)以致用]

3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

243題號1應(yīng)用遷移√

23題號142．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝12，S10＝48，則S15為(

)A．84 B．108C．144 D．156√B

[由等差數(shù)列的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10也構(gòu)成等差數(shù)列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108.]23題號41√3．若數(shù)列{an}的通項公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時，n＝(

)A．13 B．14C．15 D．14或1523題號41

243題號14．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－3n＋16，則數(shù)列{|an|}的前40項和為________．

18901．知識鏈：(1)等差數(shù)列前n項和的最值問題．(2)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用．(3)數(shù)列{|an|}的前n項和．2．方法鏈：公式法、構(gòu)造法、函數(shù)法、整體代換法．3．警示牌：(1)忽視最值問題中n的個數(shù)．(2)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)應(yīng)用的前提是等差數(shù)列．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．等差數(shù)列{