人教A版高中數學選擇性必修第二冊第五章5-2-1基本初等函數的導數課件

5.2.1基本初等函數的導數第五章一元函數的導數及其應用5.2導數的運算整體感知[學習目標]

1．了解利用定義求函數的導數．(數學運算)2．掌握基本初等函數的導數公式，并會利用公式求簡單函數的導數．(數學運算)3．能利用基本初等函數的導數公式求函數的導數、解決與曲線的切線有關的問題．(數學運算)

[討論交流]

問題1．幾個常用函數的導數是什么？問題2．基本初等函數有哪幾類？問題3．基本初等函數的導數公式是什么？[自我感知]經過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構

探究問題2當x0在定義域內任意取值時，問題1中的f′(x0)的值如何？

[新知生成]1．幾個常用函數的導數原函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x22．基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝___________f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxαxα-1cosx－sinxaxlnaex

探究2利用導數公式研究曲線的切線方程[典例講評]

2．(源自人教B版教材)已知函數f(x)＝x2，而l是曲線y＝f(x)的切線，且l經過點(2，3)．(1)判斷(2，3)是不是曲線y＝f(x)上的點；(2)求l的方程．[思路導引]利用導數的幾何意義求解，但要注意點(2，3)不在曲線上，應另設切點求解．

[母題探究]

1．將本例變?yōu)椤扒笄€f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”處的切線方程．[解]

由題意f′(x)＝－2x-3，所以曲線f(x)＝x-2在點(a，a-2)處的切線方程為y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2.2．將本例變?yōu)椤耙阎獃＝kx是曲線y＝lnx的一條切線”，試求k的值．

√發(fā)現(xiàn)規(guī)律

(1)利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況①若已知點是切點，則在該點處的切線______就是該點處的導數．②如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．(2)求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟斜率[學以致用]

2．(1)函數y＝x3的圖象在點(2，8)處的切線方程為(

)A．y＝12x－16

B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16(2)已知曲線y＝lnx的一條切線方程為x－y＋c＝0，則c的值為________．√－1

探究3導數公式的實際應用【鏈接·教材例題】例2假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價p(單位：元)與時間t(單位：年)之間的關系為p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時的物價．假定某種商品的p0＝1，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少(精確到0.01元/年)?[解]

根據基本初等函數的導數公式表，有p′(t)＝1.05tln1.05.所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08.所以，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲．

[典例講評]

3．從時刻t＝0開始的t(s)內，通過某導體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安)．[解]

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒、第7秒時的電流強度分別是－sin5安，－sin7安．反思領悟

由導數的定義可知，導數是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關函數在某點處的導數．這種變化率在描述經濟變化率、物理變化率、化學變化率等方面有著廣泛的應用．[學以致用]

3．某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數關系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬元/年)？(參考數據：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[解]

由題意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，所以在第5個年頭，該城市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年．243題號1應用遷移√

C

[常數的導數等于0.故選C.]23題號14

√

√23題號41√

√243題號1

11．知識鏈：(1)常用函數的導數．(2)基本初等函數的導數公式及應用．(3)利用導數研究曲線的切線方程．2．方法鏈：方程思想、待定系數法．3．警示牌：因公式變形不夠徹底導致求導錯誤．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．如何理解常見的幾個冪函數的求導？[提示]

幾個常見冪函數的求導，也包括根式函數的求導，都可以統(tǒng)一為f(x)＝xα，f′(x)＝αxα-1.2．對于三角函數關系式，如何求導？[提示]

對含有三角函數式的函數求導，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數式進行化簡，使函數的種類減少，次數降低，結構盡量簡單，從而便于求導．3．求函數“在”或“過”某點處的切線方程時，有什么策略？遵循什么步驟？[提示