人教A版高中數學選擇性必修第二冊第五章5-1-2第2課時導數的幾何意義課件

第2課時導數的幾何意義第五章一元函數的導數及其應用5.1導數的概念及其意義5.1.2導數的概念及其幾何意義整體感知[學習目標]

1．了解導函數的概念，理解導數的幾何意義．(數學建模)2．會求導函數．(數學運算)3．根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．(數學運算)4．正確理解曲線“過某點”和“在某點”處的切線，并會求其方程．(邏輯推理、數學運算)．(教師用書)在數學的學習過程中，對于我們遇到的一些新知識不僅要學習它的定義、公式，還要學習它所具有的性質或幾何意義，比如復數除了是一種數外，它可以與平面內的點、向量一一對應；數列{an}除了是一列有規(guī)律(或無規(guī)律)的數外，它可能還具有函數的性質……，同樣地，導數除了代表瞬時變化率外，它還具有其他的意義嗎？[討論交流]

問題1．導數的幾何意義是什么？問題2．如何求曲線上某點處的切線方程？問題3．導函數的定義是什么？它與函數在某點處的導數有何關系？[自我感知]經過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1導數的幾何意義探究問題1在前面的課時中我們已經了解到曲線的切線斜率與函數的瞬時變化率的關系，也知道對于一般的曲線，平均變化率可以代表曲線的割線斜率，那么導數(即瞬時變化率)能代表曲線的切線斜率嗎？

[新知生成]函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f

(x0))處的____________．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是_____________．相應地，切線方程為__________________________．切線的斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)【教用·微提醒】

切線的斜率k只與橫坐標x0有關，與Δx無關．[典例講評]

1．已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C在橫坐標為x＝1的點處的切線方程；(2)求曲線C過點(1，1)的切線方程．[思路導引]

(1)

(2)

[母題探究]

本例(1)中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？

【教用·備選題】已知拋物線y＝f(x)＝2x2＋1.(1)求拋物線在點P(1，3)處的切線方程；(2)若拋物線在某點處的切線的傾斜角為45°，求該切點的坐標．

反思領悟

利用導數的幾何意義求切線方程的方法(1)若已知點(x0，y0)在曲線上，求在點(x0，y0)處的切線方程，先求出函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，然后根據直線的點斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若點(x0，y0)不在曲線上，求過點(x0，y0)的切線方程，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程．[學以致用]

1．已知曲線f(x)＝x3＋ax在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，則實數a＝(

)A．2

B．1

C．－1

D．－2

√探究2利用導數的幾何意義判斷函數的變化探究問題2函數的單調性和導數有什么關系？導數值的大小與函數變化的快慢有什么關系？[提示]

當t＝t0時，函數的圖象在t＝t0處的切線平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．當t＝t1時，函數的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)＜0，這時，在t＝t1附近曲線下降，即函數在t＝t1附近單調遞減．當t＝t2時，函數的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)＜0，這時，在t＝t2附近曲線下降，即函數在t＝t2附近單調遞減．通過研究t＝t1和t＝t2發(fā)現直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的緩慢．同理，t＝t3，t＝t4時都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近單調遞增，且曲線在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快．[新知生成]若f′(x0)＝0，則函數的圖象在x＝x0處切線斜率k＝___；若f′(x0)＞0，則函數的圖象在x＝x0處切線斜率k____0，則函數在x＝x0附近__________，且f′(x0)越大，說明函數圖象變化得越快；若f′(x0)＜0，則函數的圖象在x＝x0處切線斜率k____0，且函數在x＝x0附近__________，且|f′(x0)|越大，說明函數圖象變化得越快．0＞單調遞增＜單調遞減【教用·微提醒】

f′(x0)的正負決定增減，|f′(x0)|的大小決定快慢．【鏈接·教材例題】例4圖5.1-6是跳水運動中某運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的圖象．根據圖象，請描述、比較曲線h(t)在t＝t0，t1，t2附近的變化情況．

[解]

我們用曲線h(t)在t＝t0，t1，t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況．(1)當t＝t0時，曲線h(t)在t＝t0處的切線l0平行于t軸，h′(t0)＝0.這時，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．(2)當t＝t1時，曲線h(t)在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)＜0.這時，在t＝t1附近曲線下降，即函數h(t)在t＝t1附近單調遞減．(3)當t＝t2時，曲線h(t)在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)＜0.這時，在t＝t2附近曲線下降，即函數h(t)在t＝t2附近也單調遞減．從圖5.1-6可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得緩慢．[典例講評]

2．已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是(

)A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定B

[由導數的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是函數的圖象在點A，B處切線的斜率，由題干圖象可知，f′(xA)<f′(xB)．]√反思領悟

導數的幾何意義就是函數圖象切線的斜率，所以比較導數大小的問題可以用數形結合思想來解決．(1)曲線f(x)在x＝x0附近的變化情況可通過x＝x0處的切線刻畫．f′(x0)＞0說明曲線在x＝x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x＝x0附近曲線是上升的；f′(x0)＜0說明在x＝x0附近曲線是下降的．(2)曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．

√探究3導函數(導數)探究問題3由前面所學知識可知，求函數在某一點處的導數，可以發(fā)現函數在該點附近的變化，能否通過求導研究函數的整體變化？

[新知生成]對于函數y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的導函數(簡稱導數)．y＝f(x)的導函數有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝______________．【教用·微提醒】

(1)f′(x0)是具體的值，是數值．(2)f′(x)是函數f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數而定義的一個新函數，是函數．

[學以致用]

3．(源自北師大版教材)求y＝f(x)＝3x2－x的導數f′(x)，并利用f′(x)求f′(1)，f′(－2)，f′(0)．

243題號1應用遷移√1．下面說法正確的是(

)A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在C

[根據導數的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導數，則切線一定存在，但反之不一定成立．故ABD錯誤．]23題號142．某司機看見前方50m處有行人橫穿馬路，這時司機開始緊急剎車，在剎車的過程中，汽車的速度v是關于剎車時間t的函數，其圖象可能是(

)√A

B

C

DA

[根據題意，剎車過程中，汽車速度呈下降趨勢，排除選項CD；由于是緊急剎車，則汽車速度下降非?？欤瑒t圖象較陡，排除選項B.故選A.]23題號41√3．如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(

)A．f′(x0)＞0

B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在

243題號14．已知函數y＝ax2＋b的圖象在其上點(1，3)處的切線斜率為2，則a＝________，b＝________．

121．知識鏈：(1)導數的幾何意義．(2)函數的單調性與導數的關系．(3)導函數的概念．2．方法鏈：方程思想、數形結合．3．警示牌：切線過某點，這點不一定是切點．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．f′(x0)是如何反映函數y＝f(x)的圖象特征的？[提示]

曲線的升降、切線的斜率與f′(x0)的關系如下：f′(x0)的符號曲線

f

(x)在x＝x0附近的升降情況切線的斜率k切線的傾斜角f′(x0)＞0上升k＞0銳角f′(x0)＜0下降k＜0鈍角f′(x0)＝0平坦k＝0零角(切線與x軸平行)2．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)與導函數f′(x)之間的區(qū)別和聯系是什么？[提示]

區(qū)別