北京市昌平區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題 含解析

北昌平區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷2023.7本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共50分）一?選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法得到復(fù)數(shù)z，再求共軛復(fù)數(shù).【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以，故選：B2.扇子具有悠久的歷史，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.小明制作了一把如圖所示的扇子，其半徑為，圓心角為，則這把扇子的弧長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用弧長公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)樯刃伟霃綖?，圓心角為，所以弧長為.故選：B3.已知均是單位向量，，則（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】將兩邊平方，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)榫菃挝幌蛄?，所以，又，則，即，所以.故選：D.4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在軸的非負(fù)半軸上，它的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角函數(shù)定義求解作答.【詳解】依題意，，所以.故選：A5.在中，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】在中，，由余弦定理得，所以.故選：C.6.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用偶函數(shù)排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由對稱性判斷作答.【詳解】對于A，函數(shù)是奇函數(shù)，A不是；對于C，函數(shù)是奇函數(shù)，C不是；對于B，函數(shù)是偶函數(shù)，而，即的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，B不是；對于D，函數(shù)是偶函數(shù)，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，D是.故選：D7.如圖，測量河對岸的塔高此，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)與垂直于平面.現(xiàn)測得，并在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解作答.【詳解】在中，，則，由正弦定理得：，于是，在中，，因此，所以塔高故選：C8.設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)周期可得，利用最值點(diǎn)即可得.【詳解】根據(jù)圖象可知，將代入得,所以，由于，所以取，故，故選：C9.已知棱長為2的正方體是的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定點(diǎn)的軌跡，再求出的范圍作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，顯然平面，平面，則，又，且平面，同理平面，故平面與平面重合，故平面，又點(diǎn)平面，平面平面，因此點(diǎn)在線段上，在中，，則，由于是的中點(diǎn)，從而，所以線段長度的取值范圍是.故選：B10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換，即可由三角函數(shù)的有界性求解最值.【詳解】由，可得，所以，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故選：B第二部分（非選擇題共100分）二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.的值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)余弦的和差角公式即可求解.【詳解】，故答案為：12.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第__________象限.【答案】三【解析】【分析】先求出，然后求出其在復(fù)平面對應(yīng)的坐標(biāo)，從而可得答案【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故答案為：三13.已知是平面外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：①；②；③.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________.【答案】①②③（或②③①）【解析】【分析】根據(jù)空間直線和平面平行垂直的判定定理及性質(zhì)定理推理得出結(jié)論.【詳解】若①②③，理由：設(shè)過有一個(gè)平面，使得，，，，，又，，可得，又，∴．若①③②，由，，可得或與相交或，故①③不能推出②.若②③①，由，，b在平面外，可得，故②③也能推出①.故答案為：①②③（或②③①）.14.已知正三角形的邊長為2，點(diǎn)滿足，則__________，__________.【答案】①.1②.3【解析】【分析】由向量等式可得P為BC邊的中點(diǎn)，由此求解作答.【詳解】正的邊長為2，且，則點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，所以，，.故答案為：1；315.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在軸的非負(fù)半軸上.角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，且，則角的一個(gè)取值為__________.【答案】【解析】【分析】利用終邊相同的角可得，再借助余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，，因此，則，解得，當(dāng)時(shí)，，所以角的一個(gè)取值為.故答案為：16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面為的中點(diǎn)，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與三點(diǎn)重合）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線與所成角的大小為；②；③的最小值為；④若，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成的角即可判斷①，根據(jù)空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化即可證明平面，即可求證線線垂直進(jìn)而判斷②，根據(jù)點(diǎn)到面的距離為最小值，利用等體積法即可求解③，根據(jù)圓的面積即可判斷④.【詳解】由于，所以即為直線與所成的角或其補(bǔ)角，由于底面平面，所以,又，所以，①正確；由于底面平面，所以,又,平面，所以平面取中點(diǎn)為，連接,由于為的中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，則，又，中點(diǎn)為，所以,平面，所以平面，平面，則,平面，所以平面,平面,所以,平面，所以平面,平面,所以，故②正確；當(dāng)平面時(shí)，最小，設(shè)此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，,所以,由于，故為等邊三角形，,所以，故③錯(cuò)誤；由③得點(diǎn)到平面的距離為，不妨設(shè)在平面的投影為,所以點(diǎn)到平面的距離為,由于被平分，所以到平面的距離為,由②知平面，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以,因此點(diǎn)的軌跡圍成的圖形是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，所以面積為，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、異面直線所成角和點(diǎn)到面的距離的求解、截面面積的求解問題；求解點(diǎn)到面的距離的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐高的問題的求解或者利用坐標(biāo)系，由法向量法求解..三?解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知向量.（1）求的夾角；（2）求的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積和模求出向量夾角作答.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用給定條件列式求解作答.【小問1詳解】向量，則，，因此，而，則，所以的夾角為.【小問2詳解】設(shè)，而，由，得，即，由，得，聯(lián)立解得或，所以或.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)的的取值（3）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的最小值.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)周期公式求解作答.（2）利用（1）中解析式，求出相位所在區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.（3）求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合包含關(guān)系列式作答.【小問1詳解】依題意，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值1，所以，.【小問3詳解】由（1）知，，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，則，因此，所以的最小值是.19.在中，.（1）求；（2）再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積.條件①：；條件②：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）選①；選②【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，即可得解；（2）選①，先利用平方關(guān)系求出，結(jié)合已知求出，再根據(jù)兩角和得正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.選②，先求出，再根據(jù)兩角和得正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，又，所以；【小?詳解】選①，因?yàn)?，所以，由，得，則，所以.選②，，得，故，則，所以，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），交平面于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若是的中點(diǎn)，平面將四棱錐分成五面體和五面體，記它們的體積分別為，直接寫出的值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理可證；（2）由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理先得平面，再由面面垂直的判定定理得證；（3）連結(jié)，將五面體分割成三棱錐和四棱錐，分別求出體積，可求，再由，可解此題.【小問1詳解】由底面是正方形，知，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由底面是正方形，可知，又平面，平面，所以，平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問3詳解】連結(jié)，由（1）平面，平面，平面平面,得，即，又由（2）平面，可得平面，由題意，是的中點(diǎn)，，又，所以，.21.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）（2）已知函數(shù)，判斷是否存在，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上值域?yàn)?函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：.【答案】（1）函數(shù)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).（2），（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用定義判斷即可；（2）假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，可求出，進(jìn)而可得，從而可得，再根據(jù)定義進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到答案；（3）由函數(shù)具有性質(zhì)及（2）可知，，進(jìn)而可得在的值域?yàn)?，且，由在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)可證明當(dāng)時(shí)不符合題意，再求解當(dāng)時(shí)與是以為周期的周期函數(shù)矛盾，從而可得，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，又，所以，故函數(shù)具有性質(zhì)；因，則，又，，故不具有性質(zhì).【小問2詳解】若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即，因?yàn)?，所以，所以；若，不妨設(shè)，由，得（*），只要充分大時(shí)，將大于1，而的值域?yàn)?，故等式?）不可能成立，所以必有成立，即，因?yàn)?，所以，所以，則，此時(shí)，則，而，即有成立，所以存在，使函數(shù)具有性質(zhì).【小問3詳解】證明：由函數(shù)具有性質(zhì)及（2）可知，，由可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則，