專題12 線段上的動(dòng)點(diǎn)與幾何圖形動(dòng)角的探究問題（2大基礎(chǔ)題+6大提升題）-七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）

PAGE1專題12線段上的動(dòng)點(diǎn)與幾何圖形動(dòng)角的探究問題線段中動(dòng)點(diǎn)問題多解題1．（23-24七年級(jí)上·江西九江·期末）已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則．【答案】1或【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和與差【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，如圖：

，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）在數(shù)軸上，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，且．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)O，M，N中，其中一點(diǎn)正好位于另外兩點(diǎn)所確定線段的中點(diǎn)時(shí)，t的值為．【答案】或33【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，由點(diǎn)，之間的關(guān)系，可得出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，分點(diǎn)是線段的中點(diǎn)及點(diǎn)是線段的中點(diǎn)兩種情況考慮（由點(diǎn)在點(diǎn)，的右邊，可得出只有這兩種情況），根據(jù)中點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即時(shí)，，解得：；當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即時(shí)，，解得：．綜上所述，的值為或33．故答案為：或33．3．（22-23七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，厘米，點(diǎn)在線段上，且厘米．點(diǎn)、點(diǎn)是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的速度為1厘米/秒，點(diǎn)的速度為2厘米/秒．點(diǎn)、分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過秒時(shí)線段的長(zhǎng)為6厘米．【答案】3或9或1【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、兩點(diǎn)間的距離【分析】分四種情況：（1）點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)；（2）點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)；（3）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)；（4）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)；求出經(jīng)過多少秒時(shí)線段的長(zhǎng)為6厘米即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）；（2）點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）；（3）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）；（4）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）．∴經(jīng)過3或9或1秒時(shí)線段的長(zhǎng)為6厘米．故答案為：3或9或1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．4．（21-22七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，1，9．它們分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．若，，三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則的值為．【答案】1或4或16．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-t+1，點(diǎn)C在效軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4t+9，然后分三種情況：點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)、點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)及點(diǎn)A為線段CB的中點(diǎn)，找出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A始終在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-t+1，點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4t+9，當(dāng)點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；當(dāng)點(diǎn)A為線段CB的中點(diǎn)時(shí)，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t=16.故答案為：1或4或16．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．角中動(dòng)態(tài)問題多解題1．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，將直角三角板的直角頂點(diǎn)落在直線上，射線平分，，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中與均指大于且小于的角）將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，的度數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，分在上方和下方兩種情況解答：先求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，結(jié)合三角板的度數(shù)計(jì)算即可求解，根據(jù)題意，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)在上方時(shí)，如圖，∵，，∴，，∵平分，∴，∴；當(dāng)在下方時(shí)，如圖，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；∴的度數(shù)為或，故答案為：或．2．（23-24七年級(jí)上·山東青島·期末）如圖，平分．現(xiàn)有射線分別從同時(shí)出發(fā)，以每秒和每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，這兩條射線都停止旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過秒后，射線的夾角為．【答案】8或20【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用．分，相遇之前與相遇之后分別討論，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，平分，∴，設(shè)經(jīng)過秒后，射線、的夾角為，∴或，解得：或．∵射線、分別從、同時(shí)出發(fā)，以每秒和每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，這兩條射線都停止旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴經(jīng)過秒或秒后，射線、的夾角為．故答案為：8或20．3．（23-24七年級(jí)上·河南南陽·期末）【動(dòng)手操作】如圖，為直線上一點(diǎn)，作射線使．將一個(gè)直角三角板按圖1所示的方式擺放，直角頂點(diǎn)在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上．將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2所示．當(dāng)所在直線恰好平分時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．【答案】4或10/10或4【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)角平分線定義、平角的定義，列出方程是解答本題的關(guān)鍵．由平角的定義可得，然后根據(jù)角平分線的定義列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵所在直線平分，∴或．∵圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴或，解得：或．故答案為：4或10．4．（22-23七年級(jí)上·江蘇無錫·期末）如圖，若，，，射線繞點(diǎn)O以每秒逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)O以每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)O每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線．【答案】或或8【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，角度的計(jì)算，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．由題意可得，在旋轉(zhuǎn)過程中，，，，根據(jù)角平分線的定義分四種情況討論，分別解方程求解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為x秒，，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，，，，令，，解得：，．即當(dāng)時(shí)，三條射線停止運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)為、夾角的角平分線時(shí)，．，解得：，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)為、夾角的角平分線時(shí)，．，解得：；③當(dāng)為、夾角的角平分線時(shí)，．解得：；④當(dāng)為、夾角的角平分線時(shí)，．解得：；綜上可知，運(yùn)動(dòng)或或秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線，故答案為：或或8．線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題1．（23-24七年級(jí)上·福建三明·期末）【知識(shí)準(zhǔn)備】若數(shù)軸上兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則有兩點(diǎn)之間的距離，線段的中點(diǎn)所對(duì)的數(shù)為．（1）若，則______，______；【問題探究】在（1）的條件下，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（2）為何值時(shí)，中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為3？（3）為何值時(shí)，兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】（1）；（2）為5時(shí)，中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為3；（3）為或時(shí)，兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、絕對(duì)值非負(fù)性、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查數(shù)軸綜合問題，涉及非負(fù)式性質(zhì)、非負(fù)式和為零成立的條件、數(shù)軸上線段中點(diǎn)坐標(biāo)求法及兩點(diǎn)之間距離表示等知識(shí)，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離及線段中點(diǎn)表示方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)及非負(fù)式和為零成立的條件解方程即可得到答案；（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度表示出，再由線段中點(diǎn)坐標(biāo)表示列方程求解即可得到答案；（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度表示出，再由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的表示方法，分情況列方程求解即可得到答案．【詳解】解：（1），且，，且，解得，故答案為：；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，，解得；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度，分兩種情況討論如下：①當(dāng)相遇前，，解得；②當(dāng)相遇后，，解得；綜上所述，當(dāng)為或時(shí)，兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度．2．（23-24七年級(jí)上·陜西商洛·期末）如圖，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)B處；點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)A處．已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處時(shí)，線段的長(zhǎng)度為__________；(2)當(dāng)P，Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(3)是否存在某一時(shí)刻，使得C，P，Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)值為4或7或．【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、行程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了一元一次方程在線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用，線段的中點(diǎn)，能根據(jù)不同的中點(diǎn)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）先求出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處時(shí)，所用時(shí)間，再求出點(diǎn)Q移動(dòng)的路程即可解答；（2）當(dāng)、兩點(diǎn)重合時(shí)，、兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離之和為線段的長(zhǎng)；（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為，（2）解：由題意可得：，，當(dāng)、重合時(shí)，，解得：；（3）由題意可得：，①當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；③當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．3．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，已知線段，點(diǎn)以每秒的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過1秒后點(diǎn)以每秒的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)為何值時(shí)，線段的長(zhǎng)為？(3)當(dāng)為何值時(shí)，使得點(diǎn)恰好是、、中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？【答案】(1)(2)當(dāng)為6或時(shí)，線段的長(zhǎng)；(3)當(dāng)為6，或時(shí)，使得點(diǎn)恰好是、、中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查的是線段的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．（1）先求解當(dāng)時(shí)，，，再利用線段的和差運(yùn)算即可得到答案；（2）利用線段的和差關(guān)系建立方程求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，∴．（2）由題意，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，解得．綜上所述，當(dāng)為6或時(shí)，線段的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，解得．綜上所述，當(dāng)為6，或時(shí)，使得點(diǎn)恰好是、、中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題1．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）在數(shù)軸上點(diǎn)A，，所表示的數(shù)分別是，6，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)以每秒5個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)以每秒20個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從原點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，記的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，試通過計(jì)算說明的結(jié)果是定值．【答案】(1)8(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(3)是定值，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查列代數(shù)式及數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式即可解決問題．（2）對(duì)點(diǎn)與點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論即可解決問題．（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，用含有的代數(shù)式分別表示出及的長(zhǎng)即可解決問題．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)，所表示的數(shù)分別是，6，所以．（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則點(diǎn)表示的數(shù)是2．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以點(diǎn)所表示的數(shù)為．因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以點(diǎn)所表示的數(shù)為，所以，，，所以．2．（23-24七年級(jí)上·北京·期末）如圖，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，M為的中點(diǎn)．(1)出發(fā)多少秒后，？(2)當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明為定值．(3)當(dāng)P在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：長(zhǎng)度不變；的值不變．選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)出發(fā)6秒后；(2)，理由見解析；(3)選，，理由見解析．【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長(zhǎng)度．（1）分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊，點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，分別求出t的值即可．（2），，，表示出后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．（3），，，，分別表示出，的長(zhǎng)度，即可作出判斷．【詳解】（1）解：設(shè)出發(fā)x秒后，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，，，，由題意得，，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，，，，由題意得：，方程無解；綜上可得：出發(fā)6秒后．（2）解：，，，；（3）解：選；，，，，定值；變化．3．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·期末）直線l上依次排列點(diǎn)A，B，C，D，已知，，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，當(dāng)線段從圖1位置沿直線l向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出的值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)線段從圖1位置沿直線l向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，若滿足，則求a的值．【答案】(1)7(2)是定值，3(3)3【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，正確的識(shí)圖，理清線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)的長(zhǎng)為，根據(jù)線段的和與差，以及中點(diǎn)的性質(zhì)，表示出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)線段之間的和差關(guān)系，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，則：，，∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，∴，∴；（2）是定值；設(shè)的長(zhǎng)為，則：，∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，∴，∴，為定值．（3）由題意，得：，∴，∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．4．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）【背景知識(shí)】數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．已知結(jié)論：數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)分別為，則兩點(diǎn)之間的距離；線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．【知識(shí)運(yùn)用】（）點(diǎn)表示的數(shù)分別為，若與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)．則兩點(diǎn)之間的距離為______；線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為______．【拓展遷移】（）在（）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．①點(diǎn)表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；②在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連接所得線段的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；③線段的長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化而變化，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求常數(shù)及該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此時(shí)定值．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】（）根據(jù)題意，求出，再根據(jù)結(jié)論解答即可求解；（）根據(jù)題意，表示出秒后點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算公式求解即可；根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算公式分三種情況解答即可求解；根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出，得到，當(dāng)時(shí)即可求出常數(shù)的值，進(jìn)而求出定值．【詳解】解：（）∵與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，∴，，∴；線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：；；（）秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，解得，不合，舍去；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，解得；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，解得；∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為或；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，∴，此時(shí)，定值．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式，線段中點(diǎn)計(jì)算公式，掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式和線段中點(diǎn)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．幾何圖形中動(dòng)角定值問題1．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）如圖1，點(diǎn)O在直線上，射線、在直線上方，，．

(1)若，請(qǐng)說明射線是的角平分線；(2)射線在直線上方，平分，，①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)②當(dāng)時(shí)，是否存在常數(shù)k使得的值為定值？若存在，請(qǐng)求出常數(shù)k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)①或；②存在；時(shí)，為定值【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）先求出，根據(jù)，求出，求出，得出，即可證明結(jié)論；（2）①分兩種情況：當(dāng)在左側(cè)時(shí)，當(dāng)在左側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；②根據(jù)，，得出一定在內(nèi)部，得出，，表示出，得出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴射線是的角平分線．（2）解：設(shè)度，則度，，①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖所示：

則，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴；當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖所示：

，∴，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴；綜上分析可知，或；②存在；∵，，∴一定在內(nèi)部，如圖所示：

∵，，又∵平分，∴，∵，，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，角的倍數(shù)關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．2．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）點(diǎn)O在直線上，在直線的下方作射線、，滿足（其中），將射線繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線．(1)①如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)_____；②若比大，求出的值；(2)如圖2，若，射線從開始繞著O點(diǎn)以的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，射線是由射線繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作射線平分，當(dāng)為定值時(shí)，求t的取值范圍及對(duì)應(yīng)的定值．【答案】(1)①；②或或(2)當(dāng)時(shí)，，是定值【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用：（1）①根據(jù)題意并結(jié)合圖形可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；②分當(dāng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，四種情況畫出圖形討論求解即可；（2）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況畫出圖形分別求出即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵將射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為，故答案為：；②當(dāng)，∵將射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，∵將射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，∵將射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；綜上所述，的值為或或；（2）解：①當(dāng)時(shí)，如圖，∵射線從開始繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線平分，射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，∴，，，∴，，∴，∴，不是定值；當(dāng)時(shí)，∵射線從開始繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線平分，射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，∴，，，∴，，∴，∴，是定值；綜上所述，當(dāng)時(shí)，，是定值．3．（23-24七年級(jí)上·福建三明·期末）已知，，平分，平分．(1)如圖1，當(dāng)、重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)按以下條件探究：探究一：從圖1所示位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置，的值是否為定值?若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由；探究二：當(dāng)從圖1所示位置繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，是否存在，使得?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)探究一：的值是定值；探究二：【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查的是角平分線的有關(guān)計(jì)算和角的和差計(jì)算，正確理解題意和角平分線的定義是解題關(guān)鍵，（1）根據(jù)角平分線的定義得，即可解出；（2）探究一：設(shè)，則，，求出值即可；探究二：先用含n的式子分別表示，再根據(jù)等式列方程并解方程即可解決．【詳解】（1）解：當(dāng)、重合時(shí)，，.，∵平分，∴.，∵平分，∴.，∴.；（2）解：探究一：的值是定值，理由如下：設(shè)，則，，∵平分，∴.，∵平分，∴.，∴，∴的值是定值；探究二：如圖3，當(dāng)時(shí)，，，，∴，∵平分，∴.∵平分，∴，∴.∵，∴，解得：，符合題意，∴．幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題1．（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三點(diǎn)在同一直線上．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線，分別從，位置開始，同時(shí)繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，平分，平分，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．①當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是否等于一個(gè)定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】(1)；(2)①是，；②6秒或30秒．【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)三角形是等腰直角三角形，，得出，進(jìn)而即可求解；（2）①當(dāng)時(shí)，，．根據(jù)角平分線的定義可得，，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求解；②當(dāng)時(shí)，由①可得，，．分別求得，根據(jù)建立方程，當(dāng)時(shí)，同理可得，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，，．．（2）①的度數(shù)是等于一個(gè)定值為，理由如下．，旋轉(zhuǎn)速度相同，設(shè)，當(dāng)時(shí)，則，．平分，．平分，．．．②當(dāng)時(shí)，由①可得，，．．當(dāng)時(shí)，則，解得．秒．

當(dāng)時(shí)，，旋轉(zhuǎn)速度相同，設(shè)，，，．平分，．平分，．．．當(dāng)時(shí)，則，解得．．綜上，秒或30秒時(shí)，．

2．（23-24七年級(jí)上·貴州黔西·期末）如圖，大課間的廣播操展讓我們充分體會(huì)到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂樂想從數(shù)學(xué)角度分析下如何能讓班級(jí)同學(xué)們的廣播操做得更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論，如圖，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為，兩點(diǎn)，兩腳腳跟位置分別為，兩點(diǎn)，定義，，，平面內(nèi)為定點(diǎn)，將手腳運(yùn)動(dòng)看作繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：

(1)填空：如圖，，，三點(diǎn)共線，且，則______°；(2)第三節(jié)腿部運(yùn)動(dòng)中，如圖，洋洋發(fā)現(xiàn)，雖然，，三點(diǎn)共線，卻不在水平方向上，且，他經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，的值為定值，請(qǐng)判斷洋洋的發(fā)現(xiàn)是否正確，如果正確請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果不正確，請(qǐng)說明理由；(3)第四節(jié)體側(cè)運(yùn)動(dòng)中，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開且，開始運(yùn)動(dòng)前、、三點(diǎn)在同一水平線上，、繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為，旋轉(zhuǎn)速度為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，如圖．運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，直接寫出______；請(qǐng)幫助樂樂求解運(yùn)動(dòng)過程中與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個(gè)定值是；(3)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】（）由，，三點(diǎn)共線，可得出，再由，即可求出；（）由，設(shè)，則，分別求出，，再代入即可求解；（）算出運(yùn)動(dòng)停止時(shí)間，求出運(yùn)動(dòng)的角度，進(jìn)而求出度數(shù)；由的運(yùn)動(dòng)過程可知，需要分類討論，在點(diǎn)，，三點(diǎn)共線前和點(diǎn)，，三點(diǎn)共線后，分別求解即可；本題考查了角的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中角之間的和差關(guān)系．【詳解】（1）如圖，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，故答案為：；（2）小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個(gè)定值是，理由，如圖，∵，設(shè)，則，∴，，∴，∴小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個(gè)定值是；（3）如圖，∵，∴，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，則，運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，即時(shí)，如圖，旋轉(zhuǎn)的角度為，∴，故答案為：；當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，，，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．3．（23-24七年級(jí)上·浙江舟山·期末）已知是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．【猜想】如圖1，當(dāng)?shù)膬蛇呍谥本€同側(cè)時(shí)，小明通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到與的相關(guān)數(shù)量，如下表：猜想與的數(shù)量關(guān)系．【探究】小明將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．探究和的數(shù)量關(guān)系是否符合【猜想】中的結(jié)論，并說明理由．【拓展】將圖1中的邊與重合的位置開始，繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒10度，旋轉(zhuǎn)時(shí)間秒（），為的角平分線，當(dāng)時(shí)，求的值．

【答案】猜想：；探究：符合，理由見解析；拓展：的值為3或15【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】猜想：由角平分線的定義結(jié)合角的和差運(yùn)算可得，而，從而可得結(jié)論；探究：設(shè)，則，由角平分線可得，再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；拓展：分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，則，②當(dāng)時(shí)，，則，再建立方程求解即可．【詳解】解：猜想：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，探究：符合，理由如下：如圖，

設(shè)，則，∵平分，∴，∵，∴，∴，拓展：①當(dāng)時(shí)，，則，

∵為的角平分線，，∴，∵平分，∴，∴，∴，②當(dāng)時(shí)，，則，

∵為的角平分線，，∴，∵平分，∴，∴，∴．綜上所述，的值為3或15．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，角的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，熟練的利用方程解決問題是解本題的關(guān)鍵．4．（23-24七年級(jí)上·遼寧沈陽·期末）【思路導(dǎo)引】幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中伴隨著一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”．遇這類問題的分析思路是：了解圖形運(yùn)動(dòng)的全過程，“動(dòng)中見靜”，尋找運(yùn)動(dòng)變化的過程中不變性及變化規(guī)律．如“角”，可以看成是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．【問題情境】已知：是由射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，始邊與終邊所成的角的度數(shù)為α（α為銳角），射線，繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．【特例感知】（1）如圖1，射線是的角平分線，若，求∠AOE的度數(shù)；（2）如圖2，射線OE在的內(nèi)部時(shí)，射線平分，射線平分，求的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【探索發(fā)現(xiàn)】（3）射線、射線繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到直線上方，且射線與射線在射線的兩側(cè)，的度數(shù)為，射線在的內(nèi)部，的度數(shù)為m，平分，求的度數(shù)．（用含m，n，α的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）或或．【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，分類討論思想，觀察圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。（1）根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定得出，即可得出，從而求出的度數(shù)。（3）先求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)圖形分情況討論計(jì)算即可【詳解】解：（1）射線是的角平分線，，，，；（2）射線平分，射線平分∠BOE，，，；（3）如圖3，，，，平分，，，；如圖4，，，，平分，，，；如圖5，，，，平分，，，；綜上，的度數(shù)為或或．幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題1．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）如圖，點(diǎn)O在直線上，，把直角三角板按如圖位置放置，和重合．(1)求的度數(shù)．(2)把三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速是秒，求旋轉(zhuǎn)5秒時(shí)的度數(shù)．(3)在（2）的情況下，射線同時(shí)以秒的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)和第一次重合停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)時(shí)，時(shí)間t是多少？【答案】(1)(2)(3)或27【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題考查的是幾何圖形中角的和差關(guān)系，角的動(dòng)態(tài)定義的理解，一元一次方程的應(yīng)用，“數(shù)形結(jié)合與利用一元一次方程解決動(dòng)態(tài)幾何問題”是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平角的概念求解即可；（2）根據(jù)題意列式求解即可；（3）根據(jù)題意分還沒追上和追上后兩種情況討論，然后分別列出一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：由題意得；（3）解：當(dāng)還沒追上時(shí)，，解得；當(dāng)追上后，，解得；綜上所述，或27．2．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，，射線從開始，繞點(diǎn)以每分鐘的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線從開始，繞點(diǎn)以每分鐘的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，和同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為分鐘．(1)當(dāng)為何值時(shí)，射線與重合；(2)當(dāng)為何值時(shí)，射線；(3)若在射線與旋轉(zhuǎn)的過程中，射線同時(shí)繞著點(diǎn)以每分鐘的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)當(dāng)為時(shí)，射線與重合(2)當(dāng)為或時(shí)，(3)、或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題由角的邊的旋轉(zhuǎn)考查了角的和差運(yùn)算，角平分線的定義；（1）當(dāng)與重合時(shí)，根據(jù)角度關(guān)系可知，利用題中射線的旋轉(zhuǎn)速度，由角度時(shí)間旋轉(zhuǎn)速度，列出方程，求解即可得到射線與重合時(shí)的時(shí)間；（2）當(dāng)時(shí)，可分為兩種情況，當(dāng)位于的右邊時(shí)：；當(dāng)位于左邊時(shí)：，列出對(duì)應(yīng)的方程，求解即可；（3）分三種情況來考慮，當(dāng)為角平分線時(shí)，當(dāng)為角平分線時(shí)，當(dāng)為角平分線時(shí)，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，解得，即當(dāng)分鐘時(shí)，射線與重合；（2）當(dāng)位于的右邊時(shí)：，則可得，解得分鐘；當(dāng)位于左邊時(shí)：，則可得，解得分鐘；故當(dāng)或時(shí)，∠；（3）存在，依題意，當(dāng)為角平分線時(shí)：，則可得，解得分鐘；當(dāng)為角平分線時(shí)：，則可得，解得分鐘；當(dāng)為角平分線時(shí)：，則可得，解得分鐘故當(dāng)或或分鐘時(shí)，射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線3．（23-24七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）游樂園的摩天輪深受學(xué)生們的喜愛，如圖1是某游樂園的摩天輪的結(jié)構(gòu)圖，16個(gè)座艙均勻分布在圓形轉(zhuǎn)輪邊緣，摩天輪以固定的速度繞中心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)一周需要30分鐘．如圖2是摩天輪的主視圖，座艙與圓形轉(zhuǎn)輪邊緣的連接點(diǎn)按順時(shí)針依次標(biāo)注為表示的是摩天輪的支架，且．(1)摩天輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)____________°，____________°；(2)如圖2，在某一時(shí)刻，連接點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到的內(nèi)部，此時(shí)．①求此時(shí)的的度數(shù)；②求當(dāng)?shù)谝淮纹椒謺r(shí)，摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間以及此時(shí)的度數(shù)；③設(shè)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t，在連接點(diǎn)到達(dá)到最高處前，是否存在的時(shí)刻？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)12；45(2)①；②轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為，；③存在，t的值為或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、實(shí)際問題中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查角度的和差計(jì)算，一元一次方程的幾何應(yīng)用，角平分線的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，理解各角之間的數(shù)量關(guān)系和正確表示出各角是解題的關(guān)鍵．（1）利用轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間和周角的大小即可求出摩天輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，根據(jù)周角平分成16份，而占其中的兩份即可得解；（2）①結(jié)合圖形，利用角度的和差關(guān)系即可得解；②作的角平分線交AB于，則，從而求出轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，繼而求出轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也是，從而求出；③用t表示出和，再利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：依題意得：摩天輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是：，，故答案為：12；45；（2）①∵，，∴，又∵，∴；②作的角平分線交AB于，則，∴，即轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是，∴轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也是，∴等于轉(zhuǎn)動(dòng)的角度減去原來的角度，即；③存在，t的值為或，理由如下：∵是的角平分線，∴，∴，∴點(diǎn)到達(dá)到最高處時(shí)，時(shí)間為：，∴．依題意得：，，∵，即，解得：或，∴存在，t的值為或．線段與角中動(dòng)態(tài)的新定義型問題1．（23-24七年級(jí)上·陜西漢中·期末）【問題背景】如圖1，已知射線在的內(nèi)部，若，和三個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“量尺金線”．【問題感知】（1）一個(gè)角的平分線________這個(gè)角的“量尺金線”；（填“是”或“不是”）【問題初探】（2）如圖2，．若射線是的“量尺金線”，則的度數(shù)為________；【問題推廣】（3）在（2）中，若，，射線從位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)的速度繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)首次等于時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為．當(dāng)t為何值時(shí)，射線是的“量尺金線”？（用含x的式子表示出t即可）【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題、列代數(shù)式【分析】本題主要考查新定義下的角的計(jì)算，幾何圖形中的角度計(jì)算，理解題意，列出相應(yīng)的式子求解，是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“量尺金線”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)“量尺金線”的定義分三種情況討論計(jì)算即可；（3）射線是的“量尺金線”，在的內(nèi)部，在的外部，然后分三種情況求解即可．【詳解】解：（1）一個(gè)角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足“量尺金線”的定義，故答案為：是；（2），射線是的“量尺金線”，根據(jù)“量尺金線”的定義分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∵∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴；綜上：當(dāng)為，，時(shí)，射線是的“量尺金線”．（3）∵射線是的“量尺金線”，∴在的內(nèi)部，∴在的外部；分三種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，∴；②如圖，當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，∴；綜上：當(dāng)t為或或時(shí)，射線是的“量尺金線”．2．（23-24七年級(jí)上·江西上饒·期末）如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：，和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“倍角線”．(1)一個(gè)角的平分線________這個(gè)角的“倍角線”；（填“是”或“不是”）(2)平面內(nèi)，若射線繞點(diǎn)O從位置開始，以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)與首次成時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．①如圖2，若，求當(dāng)t為何值時(shí)，射線是的“倍角線”；②如圖3，若，射線同時(shí)從原的位置繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并與同時(shí)停止，請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線是的“倍角線”時(shí)t的值．【答案】(1)是(2)①；②t為或10【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角的“倍角線”的定義，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解角的“倍角線”的定義、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義、角的“倍角線”的定義解答；（2）分、、三種情況，根據(jù)角的“倍角線”的定義解答；（3）仿照（2）的作法解答即可．【詳解】（1）如果平分，那么，∴一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“倍角線”，故答案為：是；（2）①由題意得：，當(dāng)（或）時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：當(dāng)時(shí)，射線是的“倍角線”；②當(dāng)t為或10時(shí)，射線是的“倍角線”．由題意得：，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：（不合題意）；綜上所述：當(dāng)t為或10時(shí)，射線是的“倍角線”．3．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）【概念學(xué)習(xí)】點(diǎn)在線段上，若，則稱是點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”，記作．例如，如圖1，若，則點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”是，記作；若，則，故點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”是，記作．【理解與應(yīng)用】(1)已知點(diǎn)在線段上．若，，則________；若，，則_________．(2)如圖2，線段，是線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以，的速度同時(shí)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求出的值；②若，則當(dāng)為何值時(shí)，；③若時(shí)，，則___________．【答案】(1)；18(2)①；②；③或【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段的和與差【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，線段的數(shù)量關(guān)系，解題關(guān)鍵在于理解新定義，根據(jù)新定義列出方程即可．