期中真題必刷壓軸60題（15個考點專練）解析版

期中真題必刷壓軸60題（15個考點專練）

一．正數(shù)和負數(shù)（共1小題）

1．（2023秋?祁陽縣校級期中）如圖，一只甲蟲在55的方格（每小格邊長為1)上沿著網(wǎng)格線運動，它從A

處出發(fā)去看望B、C、D處的其它甲蟲，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負．例如從A到B記為：

AB(1,4)，從D到C記為：DC(1,2)，其中第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向．

（1）圖中AC(3，)，BC(，)，

D(4,2)；

（2）若這只甲蟲從A處去P處的行走路線依次為(2,2)，(2,1)，(2,3)，(1,2)，請在圖中標出P

的位置；

（3）若這只甲蟲的行走路線為ABCD，請計算該甲蟲走過的路程．

【分析】（1）根據(jù)規(guī)定及實例可知AC記為(3,4)BC記為(2,0)DA記為(4,2)；

（2）按題目所示平移規(guī)律分別向右向上平移2個格點，再向右平移2個格點，向下平移1個格點；向左平

移2個格點，向上平移3個格點；向左平移1個向下平移兩個格點即可得到點P的坐標，在圖中標出即可；

（3）根據(jù)點的運動路徑，表示出運動的距離，相加即可得到行走的總路徑長．

【解答】解：（1）規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負AC記為(3,4)BC記為(2,0)DA記為

(4,2)；

（2）P點位置如圖所示．

（3）據(jù)已知條件可知：AB表示為：(1,4)，BC記為(2,0)CD記為(1,2)；

該甲蟲走過的路線長為1421210．

故答案為：(3,4)；(2,0)；A；

第1頁共60頁.

【點評】本題主要考查了正數(shù)與負數(shù)，利用坐標確定點的位置的方法．解題的關鍵是正確的理解從一個點

到另一個點移動時，如何用坐標表示．

二．有理數(shù)（共1小題）

2．（2023秋?藍山縣期中）在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分

類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題．

|a||b||c|

【提出問題】三個有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值．

abc

【解決問題】

解：由題意，得a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．

|a||b||c|abc

①a，b，c都是正數(shù)，即a0，b0，c0時，則1113；

abcabc

②當a，b，c中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設a0，b0，c0，則

|a||b||c|abc

1(1)(1)1．

abcabc

|a||b||c|

綜上所述，值為3或1．

abc

【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

|a||b||c|

（1）三個有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值；

abc

abcabc

（2）若a，b，c為三個不為0的有理數(shù)，且1，求的值．

|a||b||c||abc|

【分析】（1）仿照題目給出的思路和方法，解決（1）即可；

（2）根據(jù)已知等式，利用絕對值的代數(shù)意義判斷出a，b，c中負數(shù)有2個，正數(shù)有1個，判斷出abc的正

負，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡計算即可．

【解答】解：（1）abc0，

a，b，c都是負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，

①當a，b，c都是負數(shù)，即a0，b0，c0時，

|a||b||c|abc

則：1113；

abcabc

②a，b，c有一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，設a0，b0，c0，

|a||b||c|abc

則1111．

abcabc

abc

（2）a，b，c為三個不為0的有理數(shù)，且1，

|a||b||c|

a，b，c中負數(shù)有2個，正數(shù)有1個，

第2頁共60頁.

abc0，

abcabc

1．

|abc|abc

【點評】本題主要考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法．能不重不漏的分類，會確定字母的范圍和

字母的值是關鍵．

三．數(shù)軸（共19小題）

3．（2023秋?洛江區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，點M，N分別表示數(shù)m，n則點M，N之間的距離為

2

|mn|．已知點A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，且|ac||bc||da|1(ab)，

5

則線段BD的長度為4.5或0.5．

2

【分析】先由|ac||bc||da|1(ab)，推得點C在點A和點B之間，且C與A，C與B之間的距

5

離均為1，D與A之間的距離為2.5，據(jù)此畫數(shù)軸草圖，因不知格點的具體位置，故不標原點及數(shù)值，據(jù)此

可解．

【解答】解：|ac||bc|1

點C在點A和點B之間

2

|da|1

5

|da|2.5

不妨設點A在點B左側，如圖（1）

（1）

線段BD的長為4.5

如圖（2）

線段BD的長為0.5

故答案為：4.5或0.5．

【點評】本題考查了數(shù)軸上的點與其距離的關系，將所給絕對值等式化簡，數(shù)形結合，畫草圖分析，是解

題的關鍵．

4．（2023秋?鐘祥市期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|a2||2a||b1||ab|

3．

第3頁共60頁.

【分析】由有理數(shù)a與b在數(shù)軸上的位置可得，a2，b1，進而得到a20，b10，ab0，

然后根據(jù)絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值等于它本身；負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)進行化簡，去括號

合并同類項后，即可得到所求式子的結果．

【解答】解：由數(shù)軸知，a2，b1，

a20，b10，ab0，

原式a22ab1ab3，

故答案為：3．

【點評】此題考查了整式的加減運算，絕對值的代數(shù)意義，以及數(shù)軸上點的大小比較，其中由a與b數(shù)軸上

的位置，根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，原點左邊的數(shù)小于0，右邊的數(shù)大于0，理解絕對值的意義

是解答此題的關鍵．

3

5．（2023秋?鯉城區(qū)校級期中）電影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墻進入“9站臺”的鏡頭（如示

4

28

意圖的Q站臺），構思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象．若A、B站臺分別位于，處，AP2PB，則

33

5

P站臺用類似電影的方法可稱為“1或6站臺”．

9

2

【分析】先根據(jù)兩點間的距離公式得到AB的長度，再根據(jù)AP2PB求得AP的長度，再用加上該長度

3

即為所求．

8210

【解答】解：AB()，

333

10220

AP，

3219

220145

P:1；

3999

1020

或AP2，

33

220

P:6．

33

5

故P站臺用類似電影的方法可稱為“1或6站臺”．

9

5

故答案為：1或6．

9

【點評】此題考查了數(shù)軸，關鍵是用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結

合的優(yōu)點．

6．（2023秋?武陟縣期中）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，且A，B兩

第4頁共60頁.

點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為

t(t0)秒．

（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是4，點P表示的數(shù)是（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求：

①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？

②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？

【分析】（1）由已知得OA6，則OBABOA4，因為點B在原點左邊，從而寫出數(shù)軸上點B所表示

的數(shù)；動點P從點A出發(fā)，運動時間為t(t0)秒，所以運動的單位長度為6t，因為沿數(shù)軸向左勻速運動，

所以點P所表示的數(shù)是66t；

（2）①點P運動t秒時追上點Q，由于點P要多運動10個單位才能追上點Q，則6t104t，然后解方程

得到t5；

②分兩種情況：當點P運動a秒時，不超過Q，則104a6a8；超過Q，則104a86a；由此求得

答案解即可．

【解答】解：（1）數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，

OA6，

則OBABOA4，

點B在原點左邊，

數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為4；

點P運動t秒的長度為6t，

動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，

P所表示的數(shù)為：66t；

（2）①點P運動t秒時追上點Q，

根據(jù)題意得6t104t，

解得t5，

答：當點P運動5秒時，點P與點Q相遇；

②設當點P運動a秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，

當P不超過Q，則104a6a8，解得a1；

當P超過Q，則104a86a，解得a9；

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答：當點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．

【點評】此題考查的知識點是兩點間的距離及數(shù)軸，根據(jù)已知得出各線段之間的關系等量關系是解題關鍵．

7．（2023秋?南海區(qū)期中）將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點A

表示10，點B表示10，點C表示18．我們稱點A和點C在數(shù)軸上的“友好距離”為28個單位長度．動

點P從點A出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動．當運動到點O與點B之間時

速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過點B后立刻恢復原速；同時，動點Q從點C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著

“折線數(shù)軸”向其負方向運動，當運動到點B與點O之間時速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，?jīng)過O后也立刻恢復原

速．設運動的時間為t秒．

（1）動點P從點A運動至點C需要19秒，動點Q從點C運動至點A需要秒；

（2）P，Q兩點相遇時，求出相遇點M在“折線數(shù)軸”上所對應的數(shù)；

（3）是否存在t值，使得點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上

的“友好距離”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意可得，動點P從點A運動至點C需要的時間是：1021018219(s)，動點Q

從點C運動至點A需要的時間是：8110210123(s)；

（2）根據(jù)題意可知，P、Q兩點在OB上相遇，P點運動到OB上時表示的數(shù)是t5，Q點運動到OB上

時表示的數(shù)是102(t8)，則t5102(t8)，求出t的值，再求M點表示的數(shù)即可；

（3）分7種情況討論：①當0?t?5時，P點在OA上，Q點在BC上，此時P點表示的數(shù)是102t，Q點

8

表示的數(shù)是18t，由題意可得，283t20，解得t；②當5t?8時，P點在OB上，Q點在BC上，

3

3

此時P點表示的數(shù)是t5，Q點表示的數(shù)是18t，由題意可得，232t20，解得t（舍)；③8t?13

2

時，點P、Q都在BO上，此時PQ10，此情況不符合題意；④13t?15時，P點在OB上，Q點在OA上，

此時P點表示的數(shù)是t5，Q點表示的數(shù)是13t，由題意可得，2t1820，解得t19（舍)；⑤15t?19

時，P點在BC上，Q點在OA上，此時P點表示的數(shù)是2t20，Q點表示的數(shù)是13t，由題意可得，

53

3t3320，解得t；⑥19t?23時，P點在C的右側，Q點在OA上，此時P點表示的數(shù)是2t20，

3

53

Q點表示的數(shù)是13t，由題意可得，3t3320，解得t（舍)；⑦t23時，P點在C點右側，Q點

3

在A點左側，PQ20，不符合題意．

第6頁共60頁.

【解答】解：（1）點A表示10，點B表示10，點C表示18，

OA10，BO10，BC8，

動點P從點A運動至點C需要的時間是：1021018219(s)，

動點Q從點C運動至點A需要的時間是：8110210123(s)，

故答案為：19，23；

（2）根據(jù)題意可知，P、Q兩點在OB上相遇，

P點運動到OB上時表示的數(shù)是t5，Q點運動到OB上時表示的數(shù)是102(t8)，

t5102(t8)，

31

解得t，

3

3116

M點表示的數(shù)是5；

33

（3）存在t值，使得點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友

好距離”，理由如下：

點A表示10，點B表示10，

點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”是20，

①當0?t?5時，P點在OA上，Q點在BC上，

此時P點表示的數(shù)是102t，Q點表示的數(shù)是18t，

點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為18t102t283t，

由題意可得，283t20，

8

解得t；

3

②當5t?8時，P點在OB上，Q點在BC上，

此時P點表示的數(shù)是t5，Q點表示的數(shù)是18t，

點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為18tt5232t，

由題意可得，232t20，

3

解得t（舍)；

2

③8t?13時，點P、Q都在BO上，此時PQ10，

此情況不符合題意；

④13t?15時，P點在OB上，Q點在OA上，

此時P點表示的數(shù)是t5，Q點表示的數(shù)是13t，

點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為t513t20；t19（舍)；

第7頁共60頁.

⑤15t?19時，P點在BC上，Q點在OA上，

此時P點表示的數(shù)是2t20，Q點表示的數(shù)是13t，

點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為2t2013t3t33，

由題意可得，3t3320，

53

解得t；

3

⑥19t?23時，P點在C的右側，Q點在OA上，

此時P點表示的數(shù)是2t20，Q點表示的數(shù)是13t，

點P和點Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為(2t20)(13t)3t33，

由題意可得，3t3320，

53

解得t（舍)；

3

⑦t23時，P點在C點右側，Q點在A點左側，PQ20，不符合題意；

853

綜上所述：t的值為或．

33

【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握實數(shù)上點與數(shù)軸的對應關系，弄清“友好函數(shù)”的定義是解題的

關鍵．

8．（2023秋?柘城縣期中）如圖，相距5km的A、B兩地間有一條筆直的馬路，C地位于A、B兩地之間

且距A地2km，小明同學騎自行車從A地出發(fā)沿馬路以每小時5km的速度向B地勻速運動，當?shù)竭_B地后

立即以原來的速度返回，到達A地時停止運動，設運動時間為t（小時），小明的位置為點P．

（1）以點C為坐標原點，以從A到B為正方向，用1個單位長度表示1km畫數(shù)軸，指出點A所表示的有理

數(shù)；

（2）在（1）的數(shù)軸上，求t0.5時點P表示的有理數(shù)；

（3）當小明距離C地1km時，直接寫出所有滿足條件的t值．

【分析】（1）根據(jù)點C坐標原點，以從a到b的正方向，而且AC2千米，可得點A所表示的有理數(shù)是2；

（2）首先根據(jù)速度時間路程，用小明騎自行車的速度乘以0.5，求出小明0.5小時的路程是多少；然后

用它減去2，求出t0.5時點P的有理數(shù)是多少即可；

（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當小明在C點的左邊時；②當小明在C點的右邊時；然后根據(jù)路程速度

時間，求出小明距離C地1km時，所有滿足條件的t值是多少即可．

【解答】解：（1）因為AC2千米，且一個單位長度表示1km，所以點A所表示的有理數(shù)是2；

（2）50.52

第8頁共60頁.

2.52

0.5

所以t0.5時，點P所表示的有理數(shù)是0.5；

（3）①當小明在C點的左邊時，

(21)5

15

0.2

②當小明在C點的右邊時，

(21)5

36

0.6

③同法可得返回時，t1.4時或1.8時

答，當小明距離C地1km時，t的值是0.2或0.6或1.4或1.8時．

【點評】本題主要考查了正負數(shù)的運算，以及行程問題中速度、時間和路程的關系：速度時間路程，路

程時間速度，路程速度時間，要熟練掌握．

9．（2023秋?花都區(qū)校級期中）如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)3，B點表示數(shù)1，C點表示數(shù)9．

（1）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)5表示的點重合；

（2）若點A、點B和點C分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運

動．

①若t秒鐘過后，A，B，C三點中恰有一點為另外兩點的中點，求t值；

②當點C在B點右側時，是否存在常數(shù)m，使mBC2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請

說明理由．

【分析】（1）求出AB的長度和中點，然后求出B的重合點；

（2）①分別以A、B、C為中點，列出等式解出即可；

②使mBC2AB的值為定值，列出等式中的含t的項合并為0，從而求出m．

【解答】解：（1）AB9(3)12，

1226，

AB的中點表示的數(shù)為：963，

312，325，

第9頁共60頁.

則點B與5表示的點重合；

（2）①由題意可知，

t秒時，A點所在的數(shù)為：32t，

B點所在的數(shù)為：1t，

C點所在的數(shù)為：94t，

(i)若B為AC中點，

(32t)(94t)

則1t．

2

t1；

(ii)若C為AB中點，

(32t)(1t)

則94t，

2

t4；

(iii)若A為BC中點，

1t94t

則32t，

2

t16，

綜上，當t1或4或16時，A，B，C三點中恰有一點為另外兩點的中點；

②假設存在．

C在B右側，B在A右側，

BC94t(1t)83t，

AB1t(32t)4t，

mBC2AB

m(83t)2(4t)

8m3mt82t

8m8(3mt2t)

8m8(3m2)t，

2

當3m20即m時，

3

240

mBC2AB8()8為定值，

33

2

存在常數(shù)m，使mBC2AB的值為定值．

3

【點評】本題考查的是數(shù)軸，解題的關鍵是能用中點坐標公式列出等式．

第10頁共60頁.

10．（2023秋?西城區(qū)校級期中）定義：若線段AB的中點在線段MN上，則稱點A和B與線段MN關

聯(lián)．

已知：A、M、N在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為10，0，20

（1）以下數(shù)對應的點和點A與線段MN關聯(lián)的有②③（填序號）．

①30

②15

③40

（2）若點A和B與線段MN關聯(lián)，設點B對應的數(shù)為x，則|x20||x30|的最大值為，最小值

為．

（3）如圖，數(shù)軸上三點C、D、E在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為30，40，50，現(xiàn)將C、D、E同時沿數(shù)

軸向右移動，速度分別為每秒3個單位、3個單位、1個單位，移動時間為t秒．若線段CD上至少有一個點

和點E與線段MN關聯(lián)，則t的取值范圍是．

【分析】（1）利用線段中點的定義分別求出以點M，N為中點的B的數(shù)為10，50，得出點B表示的數(shù)在

10~50之間，即可得出答案；

（2）將（1）中的點B表示的數(shù)分別代入|x20||x30|進行計算，即可得出答案；

（2）求出CE、DE的中點，根據(jù)題意該中點在MN線段上從而列出不等式組，解不等式組即可得到答案．

【解答】解：（1）線段AB的中點在線段MN上，

10x

0??20，解得：10?x?50；

2

點B對應的數(shù)在1050之間，

②③符合題意，

故答案為：②③．

10x

（2）由題意可知：0??20，解得：10?x?50；

2

當10?x?20時，|x20||x30|502x，當x10時原式有最大值：30，當x20時原式有最小值：10；

當20x30時，|x20||x30|10；

當30?x?50時，|x20||x30|2x50，當x50時原式有最大值：50，當x30時原式有最小值：10；

綜上所述|x20||x30|，最大值為50，最小值為10；

故答案為：50；10．

（3）由題意可知C、D、E在數(shù)軸上對應的數(shù)為：303t，403t，50t

要使線段CD上至少有一個點和點E與線段MN關聯(lián)，則有：

第11頁共60頁.

(303t)(50t)

0??20，解得：20?t?30，

2

(403t)(50t)4565

0??20，解得：?t?，

222

65

綜上，20?t?．

2

65

故答案為：20?t?．

2

【點評】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值、不等式（組)的有關內(nèi)容，考差了對新定義的理解與應用，用代數(shù)

方法結合數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)點．

11．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖所示，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A、B、C，其中點A

與點B的距離是2，記作AB2，以下類同，BC3，設點A，B，C所對應數(shù)的和是p．

（1）若以B為原點，則點A所對應的數(shù)為2，點C所對應的數(shù)為，p的值為；若以C為

原點，則p的值為；

（2）若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO28，求p的值；在此基礎上，將原點O向右移動a(a0)

個單位，則p的值為；（用含a的式子表示）

（3）若原點O在點B與C之間，且CO2，則p；若原點O從點C出發(fā)沿著數(shù)軸向左運動，當p5.5

時，求CO的值．

【分析】（1）根據(jù)已知點A到點B的距離為2和點C到點B的距離為3求出即可；

（2）首先由已知求出C對應的數(shù)，再分別求出每種情況A、B對應的數(shù)，求得p，最后減去3a即；

（3）分為三種情況，原點O在點B與C之間時，當原點O在點A與B之間時，若原點O在點A的左側，

求出A、B、C對應的數(shù)，列出算式，即可求出OC．

【解答】解：（1）當B為原點時，點A對應的數(shù)是2，點C對應的數(shù)是3，p(2)301；當以C為

原點時，A、B對應的數(shù)分別為5，3，p5(3)08，

故答案為：2，3，1，8；

（2）p(2832)(283)(28)92，

在此基礎上，將原點O向右移動a(a0)個單位，則p923a，

故答案為：923a；

（3）原點O在點B與C之間，且CO2，點C對應的數(shù)是2，點B對應的數(shù)是1，點A對應的數(shù)是3，

第12頁共60頁.

p(3)(1)202，

故答案為：2

①若原點O在點B與C之間，設OCx，則pxx3x55.5，

解得：x4.5，不合題意舍去；

②若原點O在點A與B之間，設OBx，則pxx3x25.5，

解得：x1.5，此時CO1.534.5；

③若原點O在點A的左側，設OAx，則pxx2x55.5，

解得：x0.5，不合題意舍去；

綜上所述：CO4.5．

【點評】本題考查了數(shù)軸和列代數(shù)式，及一元一次方程的應用，能求出符合的每種情況是解此題的關鍵，

注意要進行分類討論．

12．（2023秋?臺州期中）已知點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A、B兩點之間的蹄離可以表示

為|ab|，比如式子|x3|表示有理數(shù)x的點與表示數(shù)3的點之間的距離．請回答以下問題：

（1）若a表示一個有理數(shù)，|a1|3，則a2或4；

（2）若a表示一個有理數(shù)，|a1||a2|的最小值；

（3）在一工廠流水線上依次排列了n個工作臺（工作臺在同一直線上），第1個工作臺安排了2名工人，其

他每個工作臺安排了1名工人．現(xiàn)在要在流水線上設置一個工具臺，以方便這(n1)名工人從工作臺到工具

臺拿取工具．為了讓工人們拿取工具所走路程之和最短，請直接說出工具臺設置在什么位置．

【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點之間的距離為3的點的位置，即可獲得答案；

（2）根據(jù)題意，可知a1表示有理數(shù)a的點與表示有理數(shù)1的點之間的距離，|a2|表示有理數(shù)a的點與

表示有理數(shù)2的點之間的距離，作出圖形，分情況討論，即可獲得答案；

（3）分別分析計算當有2個、3個、4個、5個、6個工作臺時，工具臺應放置的位置，找出規(guī)律，即可獲

得答案．

【解答】解：（1）根據(jù)題意，|a1|表示有理數(shù)a的點與表示有理數(shù)1的點之間的距離，

如圖，

若|a1|3，

數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點的距離為3的點有兩個，分別為表示有理數(shù)2的點和表示有理數(shù)4的點，

a2或4；

第13頁共60頁.

故答案為：2或4；

（2）|a1||a(1)|，

|a1|表示有理數(shù)a的點與表示有理數(shù)1的點之間的距離，

又|a2|表示有理數(shù)a的點與表示有理數(shù)2的點之間的距離，

當表示有理數(shù)a的點在表示有理數(shù)1的點左側時，如圖，

此時|a1||a2|3，

當表示有理的點a與表示有理數(shù)1的點重合時，如圖，

此時|a1||a2|3，

當表示有理的點a與表示有理數(shù)1的點與表示有理數(shù)2的點中間時，如圖，

此時|a1||a2|3，

當表示有理的點a與表示有理數(shù)2的點重合時，如圖，

此時|a1||a2|3，

當表示有理的點a在表示有理數(shù)2的點右側時，如圖，

此時|a1||a2|3，

綜上，|a1||a2|的最小值為3；

故答案為：3；

（3）①如圖，當流水線上排列了2個工作臺時，

工具臺可設置在第1個工作臺處，此時工人們拿取工具所走路程之和最短，為1；

②如圖，當流水線上排列了3個工作臺時，

第14頁共60頁.

工具臺可設置在第1個工作臺與第2個工作臺之間任何位置（包括第1個和第2個工作臺的位置），此時工

人們拿取工具所走路程之和最短，為3；

③如圖，當流水線上排列了4個工作臺時，

工具臺可設置在第2個工作臺處，此時工人們拿取工具所走路程之和最短，為5；

④如圖，當流水線上排列了5個工作臺時，

工具臺可設置在第2個工作臺與第3個工作臺之間任何位置（包括第2個和第3個工作臺的位置），此時工

人們拿取工具所走路程之和最短，為8；

⑤如圖，當流水線上排列了6個工作臺時，

工具臺可設置在第3個工作臺處，此時工人們拿取工具所走路程之和最短，為11；

；

nn1

綜上所述，當n為偶數(shù)時，工作臺可設置在第個工作臺處；當n為奇數(shù)時，工作臺可設置在第個和

22

第n1個工作臺之間任何位置（包括第n1個和第n1個工作臺的位置）．

222

【點評】本題主要考查了數(shù)軸上的點表示有理數(shù)以及數(shù)軸上兩點之間的距離等知識，解題關鍵是理解題意，

運用數(shù)形結合和分類討論的思想分析問題．

13．（2023秋?鄆城縣期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點Q與數(shù)軸上的原點重合（提示：圓的周

長C2r，本題中的取值為3.14)

（1）把圓片沿數(shù)軸向右滾動1周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是6.28；

（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄

如下：2，1，5，4，3，2

①第幾次滾動后，Q點距離原點最近？第幾次滾動后，Q點距離原點最遠？

②當圓片結束運動時，Q點運動的路程共有多少？此時點Q所表示的數(shù)是多少？

第15頁共60頁.

【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動周數(shù)即可得出滾動距離；

（2）①利用滾動的方向以及滾動的周數(shù)即可得出Q點移動距離變化；

②利用絕對值得性質以及有理數(shù)的加減運算得出移動距離和Q表示的數(shù)即可．

【解答】解：（1）2r23.1416.28，

點A表示的數(shù)是6.28，

故答案為：6.28；

（2）①21540，

第4次滾動后，Q點距離原點最近；

(2)(1)(5)4，

第3次滾動后，Q點距離原點最遠；

②|2||1||5||4||3||2|17，

1721106.76，

當圓片結束運動時，Q點運動的路程共有106.76，

2154321，

1216.28，

此時點Q所表示的數(shù)是6.28．

【點評】此題主要考查了數(shù)軸的應用以及絕對值得性質和圓的周長公式應用，利用數(shù)軸得出對應數(shù)是解題

關鍵．

14．（2023秋?市北區(qū)期中）數(shù)軸是一種非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應關系，揭示

了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系．小亮在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進行操作探究：

操作一：

（1）折疊紙面，使1表示的點與1表示的點重合，則2表示的點與2表示的點重合；

操作二：

（2）折疊紙面，使1表示的點與3表示的點重合，則3表示的點與表示的點重合；假如A、B兩點

經(jīng)過折疊后重合，且數(shù)軸上A、B兩點之間距離為5(A在B的左側），則A、B兩點表示的數(shù)分別是A:，

B:；

操作三：

第16頁共60頁.

（3）在數(shù)軸上剪下從6到2，長度是8個單位的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某

處剪一刀（如圖），展開后得到三條線段．若這三條線段的長度之比為1:1:2，則折痕處對應的點所表示的

數(shù)可能是．

【分析】（1）根據(jù)對稱性找到折痕的點為原點O，則可以得出2與2重合；

（2）1表示的點與3表示的點重合，根據(jù)對稱性找到折痕的點為1，設3表示的點與數(shù)a表示的點重合，

根據(jù)對稱性列式求出a的值；因為AB7，所以A到折痕的點距離為3.5，由此得出A、B兩點表示的數(shù)；

（3）分三種情況進行討論：分別畫出對應的圖形，①當AB:BC:CD1:1:2時所以設ABa，BCa，

CD2a，得aa2a8a2，得出AB、BC、CD的值計算折痕處對應的點所表示的數(shù)的值，當

AB:BC:CD1:2:1時，當AB:BC:CD2:1:1時，同理可得出折痕處對應的點所表示的數(shù)的值．

【解答】解：（1）1表示的點與1表示的點重合，

由對稱性找到折痕的點為原點O，

則2與2重合，

故答案為：2；

（2）1表示的點與3表示的點重合，

根據(jù)對稱性找到折痕的點為1，

設3表示的點與數(shù)a表示的點重合，，

3a2(1)，

解得：a5，

故答案為：5；

AB5，

A到折痕的點：1距離為2.5，

A在B的左側，

A表示的數(shù)：12.53.5，

B表示的數(shù)：12.51.5，

故答案為：5；3.5；1.5；

（3）如圖：①當AB:BC:CD1:1:2時，

第17頁共60頁.

設ABa，BCa，CD2a，

ABBCCD8，

aa2a8，

解得：a2，

AB2，BC2，CD4，

折痕處所表示的數(shù)為：6213；

②當AB:BC:CD1:2:1時，

設ABa，BC2a，CDa，

ABBCCD8，

a2aa8，

解得：a2，

AB2，BC4，CD2；

折痕處所表示的數(shù)為：6222；

③當AB:BC:CD2:1:1時，

設AB2a，BCa，CDa，

第18頁共60頁.

ABBCCD8，

aa2a8，

解得：a2，

AB4，BC2，CD2；

折痕處所表示的數(shù)為：6411；

綜上所述：折痕處所表示的數(shù)可能為：1或2或3，

故答案為：1或2或3，

【點評】本題考查了實數(shù)和數(shù)軸的關系，及數(shù)軸上的折疊變換問題，明確數(shù)軸上折疊后重合的點到折痕的

距離相等，數(shù)軸上任意兩點的距離為兩點坐標差的絕對值，本題第三問有難度，采用了分類討論的思想．

15．（2023秋?開州區(qū)期中）數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|，數(shù)軸上表示數(shù)

a的點與表示數(shù)b的點的距離記作|ab|，如數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)7的點的距離為|57|2，

|57||5(7)|表示數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)7的點的距離，|a5|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示

數(shù)5的點的距離．

根據(jù)以上材料回答下列問題：

（1）若|x2|3，則x1或5，|x4||x2|，則x．

（2）若|x3||x2|5，則x能取到的最小值是，最大值是．

（3）若|x3||x2|9，則x的值為多少？

【分析】（1）根據(jù)表示數(shù)軸上表示x的點到2的距離為3，|x4||x2|表示數(shù)軸上表示x的點到表示4和

2的距離相等，得出答案；

（2）|x3||x2|5，表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示3和2兩點的距離之和為5，得到x的取

值范圍，進而得到最大值和最小值；

（3）根據(jù)所提供的絕對值意義，即可解答．

【解答】解：（1）|x2|3|表示數(shù)軸上表示x的點到1的距離為3，

x23或x23，

解得x5或1，

|x4||x2|表示數(shù)軸上表示x的點到表示4和2的距離相等，因此到4和2距離相等的點表示的數(shù)為

42

1，

2

故答案為：5或1，1；

（2）|x3||x2|5，表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示3和2兩點的距離之和為5，可得2?x?3，

第19頁共60頁.

因此x的最大值為3，最小值為2；

故答案為：2，3；

（3）|數(shù)軸上表示有理數(shù)a的點到表示有理數(shù)1的點的距離可表示為|a1|，表示有理數(shù)a的點到有理數(shù)3

的點的距離可表示為|a3|，

|x3|表示有理數(shù)x的點到表示有理數(shù)3的點的距離，|x2|表示有理數(shù)x的點到表示有理數(shù)2的點的距

離，

x5或4．

【點評】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解絕對值的意義和兩點距離的計算方法是正確解答的關鍵．

16．（2023秋?臨湘市期中）數(shù)軸上有A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離

恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該點是其它兩個點的“關聯(lián)點”．

例如：數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“關聯(lián)點”．回答下列問題：

（）若點表示數(shù)，點表示數(shù)．下列各數(shù)，，，所對應的點是、、、．其中是

1A2B11246C1C2C3C4

點，的“關聯(lián)點”的是、．

ABC1C3

（2）點A表示數(shù)4，點B表示數(shù)10，P為數(shù)軸上一個動點：

①若點P在點B的左側，且點P是點A，B的“關聯(lián)點”，則此時點P表示的數(shù)是多少？

②若點P在點B的右側，點P，A，B中，有一個點恰好是其它兩個點的“關聯(lián)點”，請直接寫出此時點P

表示的數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)題意求得CA與BC的關系，得到答案；

（2）①（Ⅰ）當點P在A的左側時，根據(jù)PA2PB列方程求解；

（Ⅱ）當點P在A、B之間時，根據(jù)2PAPB或PA2PB列方程求解；

②分當P為A、B關聯(lián)點、A為P、B關聯(lián)點、B為A、P關聯(lián)點、B為P、A關聯(lián)點四種可能列方程解

答．

【解答】解：（）點表示數(shù)，點表示數(shù)，表示的數(shù)為，

1A2B1C11

，，

AC11BC12

是點、的“關聯(lián)點”；

C1AB

點表示數(shù)，點表示數(shù)，表示的數(shù)為，

A2B1C22

第20頁共60頁.

，，

AC24BC11

不是點、的“關聯(lián)點”；

C2AB

點表示數(shù)，點表示數(shù)，表示的數(shù)為，

A2B1C34

，，

AC36BC33

是點、的“關聯(lián)點”；

C3AB

點表示數(shù)，點表示數(shù)，表示的數(shù)為，

A2B1C46

，，

AC48BC45

不是點、的“關聯(lián)點”；

C4AB

故答案為：，；

C1C3

（2）①若點P在點B的左側，且點P是點A，B的“關聯(lián)點”，設點P表示的數(shù)為x，

（Ⅰ）當點P在A的左側時，則有：2PAPB，即2(4x)10x，

解得x2；

（Ⅱ）當點P在A、B之間時，則有2PAPB或PA2PB