專題23 視圖與投影（4大考點）（解析版）

第六部分圖形的變化

專題23視圖與投影

核心考點一投影的應用

核心考點二三視圖的判斷

核心考點核心考點三根據(jù)三視圖還原幾何體

及其相關計算

核心考點四立體圖形的展開與折疊

新題速遞

核心考點一投影的應用

例1（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作

一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀

可以是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項即可找到

符合題意的選項

【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，

則有影子的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會更長一些，

第1頁共40頁.

故選D

【點睛】本題考查了中心投影的概念，應用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成比例

是解題的關鍵．

例2（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的

點M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA,OB，此時各葉片影子在點M右

側成線段CD，測得MC8.5m,CD13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2∶3，則點O，M之間

的距離等于___________米．轉(zhuǎn)動時，葉片外端離地面的最大高度等于___________米．

【答案】101013

【分析】過點O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點O作水平線OJ交BD于點J，過點B作BI⊥OJ，

EFOM2

垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，求出CH的長度，根據(jù)，求出OM的長度，證明BIO∽JIB，

FGMH3

24

得出BIIJ，OIIJ，求出IJ、BI、OI的長度，用勾股定理求出OB的長，即可算出所求長度．

39

【詳解】如圖，過點O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點O作水平線OJ交BD于點J，過點B作

BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，

由題意可知，點O是AB的中點，

∵OHACBD，

∴點H是CD的中點，

第2頁共40頁.

∵CD13m，

1

∴CHHDCD6.5m，

2

∴MHMCCH8.56.515m，

EFOM2

又∵由題意可知：，

FGMH3

OM2

∴，解得OM10m，

153

∴點O、M之間的距離等于10m，

∵BI⊥OJ，

∴BIOBIJ90，

∵由題意可知：OBJOBIJBI90，

又∵BOIOBI90，

∴BOIJBI，

∴BIO∽JIB，

BIOI2

∴，

IJBI3

24

∴BIIJ，OIIJ，

39

∵OJCD,OHDJ，

∴四邊形IHDJ是平行四邊形，

∴OJHD6.5m，

4

∵OJOIIJIJIJ6.5m，

9

∴IJ4.5m，BI3m，OI2m，

∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB2OI2BI2，

∴OBOI2BI2223213m，

∴OBOK13m，

∴MKMOOK1013m，

∴葉片外端離地面的最大高度等于1013m，

故答案為：10，1013．

第3頁共40頁.

【點睛】本題主要考查了投影和相似的應用，及勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是

解答本題的關鍵．

例3（2020·四川攀枝花·中考真題）實驗學校某班開展數(shù)學“綜合與實踐”測量活動．有兩座垂直于水平地

面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩嬑

觀測到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已

知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度i1:0.75，在不

計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

（1）若王詩嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm？

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)．請直接回答這

個猜想是否正確？

（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm，則高圓柱的高度為多少cm？

【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm

【分析】（1）根據(jù)同一時刻，物長與影從成正比，構建方程即可解決問題．

（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，結合橫截面分析可得；

（3）過點F作FG⊥CE于點G，設FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過點F作

FH⊥AB于點H，再根據(jù)同一時刻身高與影長的比例，求出AH的長度，即可得到AB.

【詳解】解：（1）設王詩嬑的影長為xcm，

90150

由題意可得：，

72x

解得：x=120，

第4頁共40頁.

經(jīng)檢驗：x=120是分式方程的解，

王詩嬑的的影子長為120cm；

（2）正確，

因為高圓柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)；

（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，

過點F作FG⊥CE于點G，

由題意可得：BC=100，CF=100，

∵斜坡坡度i1:0.75，

DEFG14

∴，

CECG0.753

∴設FG=4m，CG=3m，在△CFG中，

22

4m3m1002，

解得：m=20，

∴CG=60，F(xiàn)G=80，

∴BG=BC+CG=160，

過點F作FH⊥AB于點H，

∵同一時刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm，

FG⊥BE，AB⊥BE，F(xiàn)H⊥AB，

可知四邊形HBGF為矩形，

90AHAH

∴，

72HFBG

9090

∴AH=BG160=200，

7272

∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，

故高圓柱的高度為280cm.

第5頁共40頁.

【點睛】本題考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理

解實際物體與影長之間的關系解決問題，屬于中考?？碱}型．

投影指的是用一組光線將物體的形狀投射到一個平面上去，稱為“投影”。在該平面上得到的圖像，

也稱為“投影”。投影可分為正投影和斜投影。正投影即是投射線的中心線垂直于投影的平面，其投射中

心線不垂直于投射平面的稱為斜投影。

【變式1】（2022·廣東廣州·二模）當下，戶外廣告已對我們的生活產(chǎn)生直接的影響．圖中的AD是安裝在

廣告架AB上的一塊廣告牌，AC和DE分別表示太陽光線．若某一時刻廣告牌AD在地面上的影長CE1m，

BD在地面上的影長BE3m，廣告牌的頂端A到地面的距離AB20m，則廣告牌AD的高為（）

2060

A．5mB．mC．15mD．m

37

【答案】A

【分析】根據(jù)太陽光線是平行的可得AC∥DE，從而可得△BDE∽△BAC；接下來根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

第6頁共40頁.

BDBE

可得，代入數(shù)值求出BD的長，進而可求出廣告牌AD的高．

BABC

【詳解】解：∵太陽光線是平行的，

∴AC∥DE，

∴△BDE∽△BAC，

BDBE

∴，

BABC

由題意得：BE3m,AB20m,EC1m，

BD3

∴，

204

解得BD15m，

∴AD5m．

故選A．

【點睛】本題考查了平行投影，以及相似三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出相似三角形．

【變式2】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，某數(shù)學小組的同學為了測量直立在水平面上的旗桿AB的高

度，把標桿CD直立在同一水平地面上，在某一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別為

BE5m,DF1.25m,已知B,E,D,F在同一直線上，ABBE,CDDF,CD2m,則AB________m．

【答案】8

【分析】根據(jù)平行投影得AE∥CF,可得DAEB=DCFD,可證RtABERtCDF,然后利用相似三角形的性質(zhì)

ABBE

可得,代入即可求解．

CDDF

【詳解】解：∵在某一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別為BE5m,DF1.25m,

AE∥CF,

AEBCFD,

ABBE,CDDF,

ABCCDF90,

RtABERtCDF,

第7頁共40頁.

ABBE

,

CDDF

AB5

,

21.25

AB8m,

故答案為：8.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物

體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影，證明RtABERtCDF是解題的關鍵．

【變式3】（2020·寧夏石嘴山·?？家荒＃┮阎喝鐖D，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB5m，

某一時刻，AB在陽光下的投影BC4m．

(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影；

(2)在測量AB的投影長時，同時測出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長

【答案】(1)見解析

(2)7.5m

【分析】（1）根據(jù)已知連接AC，過點D作DF∥AC，即可得出EF就是DE的投影；

（2）利用三角形ABC∽DEF得出比例式，求出DE即可．

【詳解】（1）解：作法：連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BE于F，

如圖所示，線段EF就是DE的投影．

（2）解：太陽光線是平行的，

∴DF∥AC．

ACBDFE．

又ABCDEF90，

ABC∽DEF．

第8頁共40頁.

ABBC

，

DEEF

AB5m，BC4m，EF6m，

54

，

DE6

DE7.5(m)．

【點睛】此題主要考查了平行投影的畫法以及相似三角形的應用，根據(jù)已知得出ABC∽DEF是解題關

鍵．要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．

核心考點二三視圖的判斷

例1（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）襄陽牛雜面因襄陽籍航天員聶海勝的一句“最想吃的還是我們襄陽

的牛雜面”火爆出圈，引發(fā)了全國人民的聚焦和關注．襄陽某品牌牛雜面的包裝盒及對應的立體圖形如圖所

示，則該立體圖形的主視圖為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根據(jù)主視圖的意義，從正面看該立體圖形所得到的圖形進行判斷即可．

【詳解】解：從正面看，是一個矩形，

故選：A．

【點睛】本題考查簡單幾何體的主視圖，理解三視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的關鍵．

例2（2020·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線長為10，側面展開圖的面積為60，則圓錐主視

圖的面積為__________．

第9頁共40頁.

【答案】48

【分析】圓錐的主視圖是等腰三角形，根據(jù)圓錐側面積公式S=πrl代入數(shù)據(jù)求出圓錐的底面半徑長，再由勾

股定理求出圓錐的高即可．

【詳解】根據(jù)圓錐側面積公式：S=πrl，圓錐的母線長為10，側面展開圖的面積為60π，

故60π=π×10×r，

解得：r=6．

由勾股定理可得圓錐的高=10262=8

∵圓錐的主視圖是一個底邊為12，高為8的等腰三角形，

1

∴它的面積=128=48，

2

故答案為：48

【點睛】本題考查了三視圖的知識，圓錐側面積公式的應用，正確記憶圓錐側面積公式是解題關鍵．

例3（山東淄博·中考真題）由一些相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖如圖所示，請在網(wǎng)格

中涂出一種該幾何體的主視圖，且使該主視圖是軸對稱圖形．

【答案】作圖見解析

【分析】根據(jù)俯視圖和左視圖可知，該幾何體共兩層，底層有9個正方體，上層中間一行有正方體，若使

主視圖為軸對稱圖形可使中間一行、中間一列有一個小正方體即可．

【詳解】解：由三視圖與軸對稱圖形，作圖即可，

第10頁共40頁.

【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，軸對稱圖形．解題的關鍵在于熟練掌握三視圖．

【三視圖的概念】能夠正確反映物體長、寬、高尺寸的正投影工程圖（主視圖，俯視圖，左視圖三個基本

視圖）為三視圖，這是工程界一種對物體幾何形狀約定俗成的抽象表達方式。

主視圖、俯視圖長對正。

主視圖、左視圖高平齊。

俯視圖、左視圖寬相等。

三視圖用文字描述了其中任意兩視圖之間的關系，其中主視圖和左視圖不能上下起伏，主視圖和俯視圖不

能左右搖擺。三視圖的投影規(guī)律是組合體的畫圖和閱讀三視圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。

【變式1】（2023·河南周口·一模）“石瓢”最早稱為“石鏡”，后來顧景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改稱“石

鏡”為“石瓢”，從此相沿均稱“石瓢”，如圖是一盞做工精湛的“景舟石瓢”，其俯視圖是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形，即可求解．

【詳解】解：根據(jù)視圖的定義，選項B中的圖形符合題意，

故選：B．

【點睛】本題考查物體的三視圖，掌握俯視圖的定義是關鍵．

【變式2】（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖是由6個大小相同的小正方體拼成的幾何體，若去掉最左面的

小正方體，則視圖不發(fā)生改變的是________（填主視圖、左視圖或俯視圖）

第11頁共40頁.

【答案】左視圖

【分析】畫出原立體圖形的三視圖，與去掉小正方體的立體圖形與三視圖，對比即可得出答案．

【詳解】解：未去掉小正方形的立體圖形的三視圖為：

去掉最左面的小正方體后立體圖形變?yōu)椋?/p>

其三視圖

發(fā)現(xiàn)其主視圖與俯視圖都發(fā)生改變，

只有左視圖不發(fā)生改變．

故答案為：左視圖．

【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，減少一個小正方體的組合體的三視圖的變化，掌握簡單組合體的

三視圖是解題關鍵．

【變式3】（2022·山東青島·二模）如圖是由一些棱長均為1個單位長度的小正方體組合成的簡單幾何體．

第12頁共40頁.

(1)畫該幾何體的主視圖、左視圖：

(2)若給該幾何體露在外面的面（不含底圖）都噴上紅漆，則需要噴漆的面積是；

(3)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，則最多可以再添加塊

小正方體．

【答案】(1)見詳解；

(2)27；

(3)3．

【分析】（1）根據(jù)三視圖的概念求解可得；

（2）將主視圖、左視圖分別乘2的面積，加上俯視圖的面積即可得解；

（3）若使該幾何體主視圖和左視圖不變，只可在底層添加方塊，可以添加3塊小正方體．

【詳解】（1）如圖所示：

第13頁共40頁.

（2）解：（7＋）（1）＋5（1）

＝14＋8＋5×24×2××1××1

＝27

故答案為：27．

（3）若使該幾何體主視圖和左視圖不變，可在最底層從右數(shù)第一至三列的第一行各添加一個，添加3塊小

正方體．

故答案為：3．

【點睛】本題主要考查了畫三視圖，解題的關鍵是掌握在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現(xiàn)出

來，看得見的輪廓線都化成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時應注意小正方

體的數(shù)目及位置．

核心考點三根據(jù)三視圖還原幾何體及其相關計算

例1（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，

則所需的小正方體的個數(shù)最多是（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】B

【分析】這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層小正方體的個數(shù)，由左視圖可得第二層小正方體的最

多個數(shù)，再相加即可．

第14頁共40頁.

【詳解】由俯視圖可知最底層有5個小正方體，由左視圖可知這個幾何體有兩層，其中第二層最多有3個，

那么搭成這個幾何體所需小正方體最多有538個．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考

查．

例2（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側視圖）．已

知主視圖和左視圖是兩個全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長分別為2和3，俯視圖是直徑等于2的圓，則

這個幾何體的體積為_______．

【答案】3

【分析】由三視圖判斷出幾何體的形狀以及相關長度，根據(jù)圓柱的體積公式計算即可．

【詳解】解：由三視圖可知：該幾何體是圓柱，

該圓柱的底面直徑為2，高為3，

2

2

∴這個幾何體的體積為3=3，

2

故答案為：3．

【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，圓柱的體積，解題的關鍵是判斷出該幾何體為圓柱．

例3（2011·廣東廣州·中考真題）5個棱長為1的正方體組成如圖所示的幾何體．

(1)該幾何體的體積是____(立方單位)，表面積是____(平方單位)；

(2)畫出該幾何體的主視圖和左視圖．

第15頁共40頁.

【答案】（1）5；22；（2）作圖見解析.

【詳解】（1）幾何體的體積為5個正方體的體積和，表面積為22個正方形的面積；

（2）主視圖從左往右看3列正方形的個數(shù)依次為2，1，2；左視圖1列正方形的個數(shù)為2．

解：（1）每個正方體的體積為1，∴組合幾何體的體積為5×1=5；

∵組合幾何體的前面和后面共有5×2=10個正方形，上下共有6個正方形，左右共6個正方形，每個正方形

的面積為1，

∴組合幾何體的表面積為22．

故答案為5，22；

（2）作圖如下：

【變式1】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何體三視圖的定義進行逐項判斷即可．

【詳解】解：根據(jù)所給的幾何體的三視圖，選項A、B、C中幾何體符合主視圖和左視圖，選項B中幾何體

符合俯視圖，綜合考慮，選項B符合題意，

故選：B．

第16頁共40頁.

【點睛】本題考查幾何體的三視圖，理解三視圖的定義，熟知主視圖是從正面看到的圖形；左視圖是從左

面看到的圖形，俯視圖是從上面看到的圖形．會根據(jù)所給三視圖還原幾何體是解答的關鍵．

【變式2】（2022·云南德宏·統(tǒng)考模擬預測）如圖，圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左

視圖也稱側視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個全等的等腰三角形．若主視圖腰長為6，俯視圖是直徑等于

4的圓，則這個幾何體的體積為_____．

【答案】162π

3

【分析】先由三視圖判定幾何體是圓錐，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，最后由圓錐的體積公式計算即可．

【詳解】解：根據(jù)三視圖可知這個幾何體是圓錐，

2

24

圓錐的高為：642

2

2

14162

∴V=42，

323

故答案為：162．

3

【點睛】本題考查由三視圖判定幾何體，圓錐的計算，由三視圖判定幾何體是圓錐，根據(jù)三視圖求出圓錐

的高是解題的關鍵

【變式3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）一個幾何體的三種視圖如圖所示．

(1)這個幾何體的名稱是__________．

(2)求這個幾何體的體積．（結果保留）

【答案】(1)圓柱

(2)90

第17頁共40頁.

【分析】（1）根據(jù)主視圖和左視圖可以得到該幾何體是柱體，根據(jù)俯視圖判斷為圓柱；

（2）根據(jù)圓柱的底面直徑和高求得其體積即可．

【詳解】（1）解：由該幾何體的三視圖，可得這個幾何體是圓柱．

故答案為：圓柱．

（2）解：由該幾何體的三視圖可知：該圓柱的高為10，底面直徑為6，

2

6

∴這個幾何體的體積為：1090．

2

【點睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是首先判斷該幾何體，然后得到其相關

數(shù)據(jù)求體積．

核心考點四立體圖形的展開與折疊

例1（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面

展開圖的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根據(jù)骰子表面展開后，其相對面的點數(shù)之和是7，逐項判斷即可作答．

【詳解】A項，2的對面是4，點數(shù)之和不為7，故A項錯誤；

B項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故B項錯誤；

C項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故C項錯誤；

D項，1的對面是6，2的對面是5，3的對面是4，相對面的點數(shù)之和都為7，故D項正確；

故選：D．

【點睛】本題主要考查了立體圖形的側面展開圖的知識，解答時，找準相對面是解答本題的關鍵．沒有共

同邊的兩個面即為相對的面．

例2（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字

第18頁共40頁.

是________．

【答案】月

【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．

【詳解】解：由正方體的展開圖特點可得：“神”字對面的字是“月”．

故答案為：月．

【點睛】此題考查了正方體相對兩個面上的文字的知識；掌握常見類型展開圖相對面上的兩個字的特點是

解決本題的關鍵．

例3（浙江杭州·中考真題）馬小虎準備制作一個封閉的正方體盒子，他先用5個大小一樣的正方形制成

如下圖所示拼接圖形（實線部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個面，請你在下圖中的拼接圖形上再接一個正方

形，使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的

正方形用陰影表示）

【答案】見解析．

【分析】根據(jù)正方體展開圖直接畫圖即可．

【詳解】解：

第19頁共40頁.

【點睛】正方體的平面展開圖共有11種，應靈活掌握，不能死記硬背．

1．點線面三者之間的關系：面與面相交得到線，線與線相交得到點，即：點動成線，線動成面，面動

成體。

2．簡單幾何體的分類：柱體、錐體、臺體、球體。

棱柱：有兩個面互相平行而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體。

圓柱：矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。

棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體。

圓錐：直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。

棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐底面和截面之間的部分。

第20頁共40頁.

圓臺：直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體。球體：半圓繞它的直徑所

在的直線旋轉(zhuǎn)所得的幾何體。

3．柱分直棱柱和斜棱柱，側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱；側棱與底面不垂直的棱柱則稱為斜棱柱。

4．長方體和正方體都屬于直棱柱。5．棱柱的有關概念：

①棱：是棱柱中任何相鄰的兩個面的交線。②側棱：是棱柱中相鄰的兩個側面的交線。6．棱柱的有

關特性：

①棱柱上、下底面是相同的多邊形，側面是長方形。②棱柱的所有側棱長都相等。③側面數(shù)與底面

多邊形的邊數(shù)相等。

【變式1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個正方體骰子的六個面上分別標有1至6共六個數(shù)字，且

相對面數(shù)字之和相同，將骰子按如圖所示方式放置并按箭頭方向無滑動翻轉(zhuǎn)后停止在M處，則停止后骰子

朝上面的數(shù)字為（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，1的對面是6，3的對面是4，2的對面是5，翻轉(zhuǎn)后停止在M處時1在底面，據(jù)此

即可求解．

【詳解】解：由題意可知，1的對面是6，3的對面是4，2的對面是5，

按圖所示方式翻轉(zhuǎn)后停止在M處，1在底面，則6朝上時．

故選：D．

【點睛】本題是考查正方體的展開圖，最好的辦法是讓學生動手操作一下，既可以解決問題，又鍛煉了學

生動手操作能力．

第21頁共40頁.

【變式2】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，把一個高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓

柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來這個圓

柱的體積是______dm3．

【答案】36

【分析】增加的面積等于底面半徑乘以高，再乘以2，由此可以計算出圓柱的底面半徑，進而可以算出圓柱

的體積．

【詳解】解：圓柱的底面半徑為：36÷2÷9=2（分米），

故圓柱的體積為：22936（立方分米），

故答案：36．

【點睛】本題考查圓柱的體積，長方形的面積，長方體的表面積，掌握圓周的體積公式是解決本題的關鍵．

【變式3】（2020·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預測）將立方體紙盒沿某些棱剪開，且使六個面連在一起，然后鋪平，

可以得到其表面展開圖的平面圖形．

（1）以下兩個方格中的陰影部分，能表示立方體表面展開圖的是＿＿＿＿；（填“A”或“B”）．

（2）在以下方格圖中，畫一個與（1）中呈現(xiàn)的陰影部分不相同的立方體表面展開圖；（用陰影表示）

（3）如圖中實線是立方體紙盒的剪裁線，請將其表面展開圖畫在右圖的方格圖中．（用陰影表示）

【答案】（1）選“A”；（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）有“田”字格的展開圖都不能圍成正方體，據(jù)此可排除B，從而得出答案；

第22頁共40頁.

（2）可利用“1、4、1”作圖（答案不唯一）；

（3）根據(jù)裁剪線裁剪，再展開．

【詳解】（1）兩個方格圖中的陰影部分能表示立方體表面展開圖的是A，

故答案為：A．

（2）立方體表面展開圖如圖所示：

（3）將其表面展開圖畫在方格圖中如圖所示：

【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，熟記正方體的展開圖的11結構種形式是解題的關鍵．

【新題速遞】

1．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學?？家荒＃?個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是

（）

A．B．

C．D．

【答案】A

第23頁共40頁.

【分析】根據(jù)從幾何體的正面看到的圖形是主視圖，可得答案．

【詳解】解：從幾何體的正面看，底層是三個小正方形，上層的中間是一個小正方形．

故選：A．

【點睛】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，熟練掌握和運用組合體的三視圖的識別方法是解決本題的

關鍵．

2．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體是由四個小正方體組合而成的，它的主視圖是()

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．

【詳解】該幾何體的主視圖為兩列，第1列有1個小正方形，第2列有2個小正方形，

故選：B．

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

3．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體，它的俯視圖是()

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中．

【詳解】解：從上面看，可得選項C的圖形．

第24頁共40頁.

故選：C．

【點睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．

4．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，圖1和圖2都是由3個相同的長方體組成的立體圖形，則下列關于它

們?nèi)晥D的說法中正確的是（）

A．圖1和圖2的左視圖相同B．圖1和圖2的主視圖相同

C．圖1和圖2的俯視圖相同D．圖1的俯視圖與圖2的左視圖相同

【答案】A

【分析】根據(jù)簡單幾何體的三視圖的定義，逐項判斷即可求解．

【詳解】解：圖1和圖2的左視圖相同，都是一列兩個長方形，故選項A符合題意；

圖1和圖2的主視圖不相同，圖1主視圖上層的小正方形位于右邊，圖2上層的小正方形位于中間，故選項B

不合題意；

圖1和圖2的俯視圖不相同，圖1的俯視圖為一行兩個長方形，圖2的俯視圖為一行三個長方形，故選項C

不合題意．

圖1的俯視圖為一行兩個長方形，圖2的左視圖是一列兩個長方形，故選項D不合題意．

故選：A．

【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖是觀測者從三個不同位置觀察同一個幾何體，

畫出的平面圖形；（1）主視圖：從物體前面向后面正投影得到的投影圖，它反映了空間幾何體的高度和長

度；（2）左視圖：從物體左面向右面正投影得到的投影圖，它反映了空間幾何體的高度和寬度；（3）俯

視圖：從物體上面向下面正投影得到的投影圖，它反應了空間幾何體的長度和寬度是解題的關鍵．

22

5．（2021·山東德州·統(tǒng)考模擬預測）圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，S主=x+3x,S左=x+x,

則S俯（）

第25頁共40頁.

A．x23x2B．x22x1C．x24x3D．2x24x

【答案】C

【分析】由主視圖和左視圖的寬為c，結合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案．

22

【詳解】解：∵S主=x+3x=x(x+3)，S左xxxx1，

∴俯視圖的長為x3，寬為x1，

2

∴S俯x3x1x4x3．

故選：C

【點睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，整式乘法的應用，解題的關鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視

圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，以及幾何體的長、寬、高．

6．（2022·陜西咸陽·?？家荒＃┫旅嫠膫€幾何體中，主視圖與俯視圖不同的共有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【分析】主視圖是從正面看到的圖形，俯視圖是從物體的上面看到的圖形，可根據(jù)各幾何體的特點進行判

斷．

【詳解】解：圓柱的主視圖是矩形，俯視圖是圓，它的主視圖與俯視圖不同；

圓錐的主視圖是等腰三角形，俯視圖式圓，它的主視圖與俯視圖不同；

球體的三視圖均為圓，故它的主視圖和俯視圖相同；

正方體的三視圖均為正方形，故它的主視圖和俯視圖也相同；

所以主視圖與俯視圖不同的是圓柱和圓錐，

故選B．

第26頁共40頁.

【點睛】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義及各幾何體的特點是關鍵．

7．（2022·安徽滁州·?？家荒＃翘幱腥舾纱笮∠嗤男≌襟w堆成如圖所示的立體圖形，如果打算搬

運其中部分小正方體(不考慮操作技術的限制)，但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時，

在墻面及地面上的影子不變，求最多可以搬走小正方體．（）

A．27B．26C．25D．24

【答案】A

【分析】留下靠墻的正方體，以及墻角處向外的一列正方體，依次數(shù)出搬走的小正方體的個數(shù)相加即可．

【詳解】第1列最多可以搬走9個小正方體；

第2列最多可以搬走8個小正方體；

第3列最多可以搬走3個小正方體；

第4列最多可以搬走5個小正方體；

第5列最多可以搬走2個小正方體．

9835227個，

所以最多可以搬走27個小正方體．

故選：A．

【點睛】本題考查了組合體的三視圖，依次得出每列可以搬走小正方體最多的個數(shù)是解題的關鍵．

2

8．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考二模）如圖2所示的是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主x2x，

2

S左xx，則長方體的表面積為（）

第27頁共40頁.

A．x23x2B．3x26x2

C．6x212x4D．6x6

【答案】C

【分析】由主視圖和左視圖的寬為x，結合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案．

2

【詳解】解：∵S主視圖=x+2x=x（x+2），

2

S左視圖=x+x=x（x+1），

∴俯視圖的長為x+2，寬為x+1，

2

則俯視圖的面積S俯=（x+2）（x+1）=x+3x+2．

所以長方體的表面積為：2(x2+2x+x2+x+x2+3x+2)

=6x2+12x+4

故選C．

【點睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前

面、上面和左側面的形狀，以及幾何體的長、寬、高．

9．（2022·廣東廣州·校考二模）如圖是某幾何體的三視圖及相關數(shù)據(jù)，則該幾何體的體積是________．（結

果保留）

【答案】12

【分析】根據(jù)三視圖可以判定此幾何體為圓錐，根據(jù)三視圖的尺寸可以知圓錐的底面半徑為3，圓錐的母線

長為5，利用勾股定理求得高為4，代入公式求得即可．

【詳解】解：由三視圖可知此幾何體為圓錐，

6

根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑為=3，圓錐的母線長為5，

2

∴圓錐的高為52324，

1

∵圓錐的體積為32412．

3

故答案為：12．

第28頁共40頁.

【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖計算圓錐的體積，勾股定理，從三視圖獲取數(shù)據(jù)是解題的關鍵．

10．（2022·河北·模擬預測）用小正方體搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方

體中的字母表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體至少有_______個小正方體組成，至多又是______

個．

【答案】911

【分析】對俯視圖各位置標號，如圖，觀察俯視圖，可知幾何體類似九宮格，a位置對應主視圖中最右列，

只能是3個正方體；b，c位置對應主視圖中間列，只能是1個正方體。俯視圖中的d，e，f位置不確定，

三個位置中至少有一個是2個小正方體，其他位置為1到2個，即可求解．

【詳解】解：對俯視圖各位置標號，

觀察俯視圖，可知幾何體類似九宮格，a位置對應主視圖中最右列，只能是3個正方體；b，c位置對應主

視圖中間列，只能是1個正方體，俯視圖中的d，e，f位置不確定，三個位置中至少有一個是2個小正方體，

其他位置為1到2個。

所以至少為9個，至多為11個.

故答案為：9；11．

【點睛】本題考查三視圖，熟練掌握由三視圖還原幾何體是解題的關鍵．

11．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面展開圖的半徑是______．

第29頁共40頁.

【答案】5

【分析】由幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，可以判斷這個幾何體是圓錐，結合圖

形可得出圓錐的高及底面半徑，繼而可求出圓錐側面展開圖的半徑．

【詳解】解：依題意知高h=4，底面半徑r=6÷2=3，

由勾股定理求得母線長為：32425，

故答案為：5．

【點睛】本題主要考查三視圖的知識和勾股定理的應用，根據(jù)三視圖判斷出圓錐的高和底面圓的半徑是解

題的關鍵．

12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）下圖是某圓錐的左視圖，其中AB20cm，AC40cm，則圓錐的側面積

為________cm2．

【答案】400π

【分析】利用圓錐三視圖的性質(zhì)可得圓錐的底面半徑，那么圓錐的側面積=π×底面半徑×母線長，把相應數(shù)

值代入即可求解．

【詳解】解：∵AB20cm，

∴圓錐的底面半徑為10cm，

又∵AC40cm，

∴圓錐的側面積=π×10×40=400πcm2，

故填：400π．

【點睛】本題考查圓錐側面積的求法．注意需先求得圓錐的底面半徑．

13．（2021·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖，某立體圖形的左、主視圖一樣，俯視圖為圓，根據(jù)圖標長、高數(shù)據(jù)，

它的表面積為（允許帶表示）______________．

第30頁共40頁.

【答案】48

【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個圓錐和圓柱的組合體，進而解答即可．

【詳解】解：由三視圖可知：該幾何體是一個圓錐和圓柱的組合體，其軸截面是一個高為4，底為6的等腰

三角形和長為6，寬為4的矩形．

∴等腰三角形的腰32425，

∴圓錐的底面圓半徑是3，母線長是5，

∴底面周長為6π，

1

∴圓錐側面積為6515，

2

∵底面圓的面積為πr2=9π，

∴全面積是15π+9π+4×6π=48π，

故答案為：48π．

【點睛】本題考查了三視圖和圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本

題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．

14．（2022·廣東韶關·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體都是由棱長為1個單位的正方體擺成的，經(jīng)計算可得第

（1）個幾何體的表面積為6個平方單位，第（2）個幾何體的表面積為18個平方單位，第（3）個幾何體

的表面積是36個平方單位，…依次規(guī)律，則第（20）個幾何體的表面積是______個平方單位．

【答案】1260

【分析】結合圖形，發(fā)現(xiàn)每一個圖形的表面積得出規(guī)律計算即可；

第31頁共40頁.

【詳解】結合圖形，發(fā)現(xiàn)：（1）中166個平方單位，（2）中12618個平方單位，以此推論可

得第（20）個圖形的表面積是122061260個平方單位．

故答案為：1260．

【點睛】本題主要考查了與圖形有關的規(guī)律題型，結合圖形表面積的計算是解題的關鍵．

15．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學校考一模）已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰

長為5，底邊長為4的等腰三角形，則該幾何體的側面展開圖的面積是____．（結果保留π）

【答案】10

【分析】由三視圖可知，該幾何體是圓錐，根據(jù)圓錐是側面積公式計算即可．

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是圓錐，

側面展開圖的面積π2510π，

故答案為10π．

【點睛】本題考查三視圖，圓錐等知識，解題的關鍵是記住圓錐的側面積公式．

16．（2023·山東泰安·校考一模）小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如

圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1

米，垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為___．

【答案】6+3

【分析】延長AC交BF延長線于D點，則BD即為AB的影長，然后根據(jù)物長和影長的比值計算即可．

【詳解】延長AC交BF延長線于D點，則∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．

在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=23．

在Rt△CED中，∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，CE=2，CE：

第32頁共40頁.

DE=1：2，∴DE=4，∴BD=BF+EF+ED=12+23．

11

在Rt△ABD中，ABBD（12+23）=6+3．

22

故答案為（6+3）米．

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．解決本題的關鍵是作出輔助線得到AB的影長．

17．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）學校食堂廚房的桌子上整齊地擺放著若干個相同規(guī)格的菜碟，每一

摞菜碟的高度與菜碟的個數(shù)的關系如表1所示．

菜碟的個數(shù)菜碟的高度（單位：cm）

13

23＋1.8

33＋3.6

43＋5.4

……

(1)把x個菜碟放成一摞時，請直接寫出這一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；

(2)如圖所示，是幾摞菜碟的三視圖，廚師想把它們整齊疊成一摞，求疊成一摞后的高度是多少．

第33頁共40頁.

【答案】(1)1.8x1.2cm

(2)26.4cm

【分析】（1）由表中給出的碟子個數(shù)與碟子高度的規(guī)律，可以看出碟子數(shù)為x時，碟子的高度為31.8x1；

（2）根據(jù)三視圖得出碟子的總數(shù)，由（1）知每個碟子的高度，即可得出答案．

【詳解】（1）由表格可知，每增加一個碟子高度增加1.8cm，

∴當桌子上放有x個碟子時，碟子的高度是31.8x11.8x1.2cm；

（2）由三視圖知這四摞碟子一共有74314個碟子，

由（1）知每個碟子的高度為1.8cm，

∴疊成一摞后碟子的高度為141.81.226.4cm．

【點睛】此題考查了圖形的變化類問題及由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是具有獲取信息（讀表）、

分析問題解決問題的能力．找出碟子個數(shù)與碟子高度的之間的關系式是此題的關鍵．

18．（2023·陜西西安·?？既＃├蠲髟趨⒂^某工廠車床工作間時發(fā)現(xiàn)了一個工件，通過觀察并畫出了此工

件的三視圖，借助直尺測量了部分長度．如圖所示，該工件的體積是多少？

【答案】17cm3

【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體是兩個圓柱體疊加在一起，體積是兩個圓柱體的體積的和．

第34頁共40頁.

【詳解】解：根據(jù)三視圖可知該幾何體是兩個圓柱體疊加在一起，

底面直徑分別是2cm和4cm，

高分別是4cm和1cm，

體積為：42212117（cm3）．

答：該工件的體積是17cm3．

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體和圓柱的計算，正確的得到幾何體的形狀是解題的關鍵．

19．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D①，大風閣是西安漢城湖的標志性建筑，取意于漢高祖劉邦的《大風

歌》“大風起兮云飛揚，威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方”的意境．小華和曉麗在一個陽光明媚的周末

去測量大風閣的高度AB，如圖②，首先，在C處放置一面平面鏡，小華沿著BC的方向后退，到點E處恰

好在平面鏡中看到大風閣頂端A的像，小華的眼睛到地面的距離DE1.5米，CE1.2米；然后，某一時刻

大風閣在陽光下的影子頂端在M處，同時，曉麗測得小華身高的影長EG0.8米，小華的身高EF1.6米，

MC19.2米，已知ABBG，EFBG，點B、M、C、E、G在同一水平直線上，點E、D、F在一條直

線上，請你求出大風閣的高度AB．（平面鏡大小、厚度忽略不計）

【答案】64米

【分析】根據(jù)光的反射原理，平行投影，運用三角形相似的原理計算即可．

【詳解】解：由題可得：ABCFECFEG90，AMBFGE，ACBDCE，

∴△ABM∽△FEG，△ABC∽△DEC