專題03 分式及其運(yùn)算（4大考點(diǎn)）（解析版）

第一部分?jǐn)?shù)與式

專題03分式及其運(yùn)算

核心考點(diǎn)一分式的概念

核心考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

核心考點(diǎn)四分式的化簡(jiǎn)求值

新題速遞

核心考點(diǎn)一分式的概念

21221x1

例1（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）

5x243xx2

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【答案】B

【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即

可．

21x1

【詳解】分母中含有字母的是，，，

x24xx2

∴分式有3個(gè)，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．

1

例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若代數(shù)式x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

x

___________．

【答案】x1且x0

【分析】根據(jù)二次根式與分式有意義的條件求解即可．

【詳解】解：由題意得：x+1≥0，且x≠0，

解得：x1且x0，

故答案為：x1且x0．

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；

分式有意義的條件：分母不等于零是解題的關(guān)鍵．

第1頁(yè)共42頁(yè).

2a26a9

例3（2022·湖北黃石·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1，從-3，-1，2中選擇合適的a

a1a1

的值代入求值．

11

【答案】；

a35

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．

2a26a9

【詳解】解：1

a1a1

2

a3a3

a1a1

a3a1

2

a1a3

1

a3

2

∵a10且a30，

∴a1且a3，

∴a2，

11

當(dāng)a2時(shí)，原式．

235

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)：分式的概念

一般地,如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母,那么式子A叫做分式，其中A叫做分式

B

的分子，B叫做分式的分母。

注意

A

（1）分式有意義的條件:分母不為零，即B01.分式可以表示兩個(gè)整式相除，其中分子為

B被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)和括號(hào)

的作用。

（2）分式值為零：分子為零，且分母不為零。即A

B2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分

式和整式的重要依據(jù)。

第2頁(yè)共42頁(yè).

3.在任何情況下，分式的分母的值都不為0，

（A0且B0）

xx2－1

【變式1】（2022·河北石家莊·一模）關(guān)于代數(shù)式M=1－，下列說(shuō)法正確的是（）

x＋1x2＋2x＋1

1

A．當(dāng)x=1時(shí)，M的值為0B．當(dāng)x=﹣1時(shí)，M的值為﹣

2

C．當(dāng)M=1時(shí)，x的值為0D．當(dāng)M=﹣1時(shí)，x的值為0

【答案】D

【分析】先通分、因式分解，然后計(jì)算乘法運(yùn)算，可得化簡(jiǎn)結(jié)果，由分式有意義的條件可知x1，x1，

進(jìn)而可判斷A、B的正誤；分別令M1，M1，求解此時(shí)的x的值，進(jìn)而可判斷C、D的正誤．

xx21

【詳解】解：M1

x1x22x1

2

x1xx1

x1x1x1

1

x1

∵x1，x1

故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；

1

當(dāng)M1時(shí)，則1，解得x2

x1

故C錯(cuò)誤，不符合題意；

1

當(dāng)M1時(shí)，則1，解得x0

x1

故D正確，符合題意；

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式有意義的條件．解題的關(guān)鍵在于正確的化簡(jiǎn)計(jì)算．

2

【變式2】（2022·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）若a（m為正整數(shù)），且a、b互為相反數(shù)，b、c互為倒

1(1)m

數(shù)，則abbm(bc)2m的值為（）

A．0B．1C．2D．0或2

第3頁(yè)共42頁(yè).

【答案】C

【分析】根據(jù)分母不為0的原則可知m為奇數(shù)，即可求得a、b、c的值，分別代入即可求得其值．

【詳解】解：根據(jù)分母不為0的原則可知m為奇數(shù)，a1，

a、b互為相反數(shù)，b、c互為倒數(shù)，

b1，c1，

abbm(bc)2m

m2m

11111

110

2，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式成立的條件，互為相反數(shù)、互為負(fù)倒數(shù)的定義，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，代數(shù)式求值

問題，熟練掌握和運(yùn)用分式成立的條件，互為相反數(shù)、互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數(shù)式3x36x2y3xy2分解因式，結(jié)果正確的是___________；

x12

若分式的值為零，則x的值為___________；若代數(shù)式x26xb可化為xa1，則ba的值是

x1

___________．

2

【答案】3xxy無(wú)解5

【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可；

（2）根據(jù)使分式的值為0的條件進(jìn)行解答即可；

22

（3）根據(jù)x26xbx3b9xa1求出a、b的值，再代入ba求值即可．

【詳解】解：（1）3x36x2y3xy2

3xx22xyy2

2

3xxy

（2）∵x1＞0，

第4頁(yè)共42頁(yè).

x1

∴的值不可能等于0，

x1

x1

∴沒有x的值能使分式的值為零；

x1

2

（3）∵x26xbx3b9，

2

又∵代數(shù)式x26xb可化為xa1，

22

∴x3b9xa1，

a3

∴，

b91

a3

解得：，

b8

∴ba835．

2

故答案為：（1）3xxy；（2）無(wú)解；（3）5．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，分式值為零的條件，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式，使分式的

值為零的條件，是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數(shù)式3x36x2y3xy2分解因式，結(jié)果正確的是___________；

x12

若分式的值為零，則x的值為___________；若代數(shù)式x26xb可化為xa1，則ba的值是

x1

___________．

2

【答案】3xxy無(wú)解5

【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可；

（2）根據(jù)使分式的值為0的條件進(jìn)行解答即可；

22

（3）根據(jù)x26xbx3b9xa1求出a、b的值，再代入ba求值即可．

【詳解】解：（1）3x36x2y3xy2

3xx22xyy2

2

3xxy

第5頁(yè)共42頁(yè).

（2）∵x1＞0，

x1

∴的值不可能等于0，

x1

x1

∴沒有x的值能使分式的值為零；

x1

2

（3）∵x26xbx3b9，

2

又∵代數(shù)式x26xb可化為xa1，

22

∴x3b9xa1，

a3

∴，

b91

a3

解得：，

b8

∴ba835．

2

故答案為：（1）3xxy；（2）無(wú)解；（3）5．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，分式值為零的條件，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式，使分式的

值為零的條件，是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·廣東佛山·二模）平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)一次函數(shù)y1，y2，其中y1的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為2且經(jīng)過點(diǎn)1,2，y2mx2．

(1)求函數(shù)y1的關(guān)系式；

1122

(2)當(dāng)y2的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),n和n,1時(shí)，求的值；

22nm

(3)當(dāng)x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有y1y2，求m的取值范圍．

【答案】(1)y12x4

8

(2)

3

(3)m4

第6頁(yè)共42頁(yè).

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

mn4

（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到，由此代入所求式子求解即可；

mn3

（3）先求出y1y2時(shí)，m2x6，然后分別討論m2的符號(hào)，結(jié)合當(dāng)x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都

有y1y2進(jìn)行求解即可．

(1)

解：設(shè)一次函數(shù)y1的解析式為y1kxb，

∵y1的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），

2kb0

∴，

kb2

k2

∴，

b4

∴函數(shù)y1的解析式為y12x4；

(2)

11

解：∵y2mx2的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),n和n,1，

22

11

nm2

∴22，

mn21

mn4

∴，

mn3

222mn8

∴；

nmmn3

(3)

解：∵y1y2，

∴2x4mx2，

∴m2x6，

當(dāng)m2時(shí)，即42不符合題意，

6

當(dāng)m20時(shí)，即x，

m2

第7頁(yè)共42頁(yè).

∵對(duì)于x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有y1y2，

6

∴1，

m2

∴m4；

6

當(dāng)m20時(shí)，即x，

m2

∵對(duì)于x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有y1y2，

∴此時(shí)不存在m滿足條件，

綜上所述，當(dāng)m4時(shí)，當(dāng)x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有y1y2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與不等

式的應(yīng)用，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

例1（2020·河北·中考真題）若a1b，則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（）

1

a

a2aa2aa2aa

A．B．C．D．2

21

b2bb2bbbbb

2

【答案】D

【分析】根據(jù)a≠b，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的式子是否正確，從而可以解答本題．

【詳解】∵a≠b，

a2a

∴，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

b2b

a2a

，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

b2b

a2a

，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

b2b

1

a

a

2，選項(xiàng)D正確；

1

bb

2

故選：D．

第8頁(yè)共42頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．

2x8

例2（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）分式與的最簡(jiǎn)公分母是_______，方程

x2x22x

2x8

1的解是____________．

x2x22x

【答案】xx2x=-4

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗(yàn)，得解．

【詳解】解：∵x22xxx2，

2x8

∴分式與的最簡(jiǎn)公分母是xx2，

x2x22x

2x8

方程1，

x2x22x

去分母得：2x28xx2，

去括號(hào)得：2x28x22x，

移項(xiàng)合并得：x22x80，變形得：x2x40，

解得：x=2或-4，

∵當(dāng)x=2時(shí)，xx2=0，當(dāng)x=-4時(shí)，xx2≠0，

∴x=2是增根，

∴方程的解為：x=-4．

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)公分母和解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法．

x34x2

例3（2021·廣西梧州·中考真題）計(jì)算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．

x2

【答案】2x

【分析】首先將原式第三項(xiàng)約分，再把前兩項(xiàng)括號(hào)展開，最后合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．

x34x2

【詳解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）

x2

=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）x4

=x24x4x2xx4

=2x．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了乘法公式和分式的約分，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．

第9頁(yè)共42頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

AACAAC

,（C0），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性質(zhì)可以進(jìn)行約分、

BBCBBC

通分。

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約

分通常是把分式化成最簡(jiǎn)分式或整式。

利用分式的基本性質(zhì)，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符號(hào)法則：改變分子、分母及整個(gè)分式三者中任意兩個(gè)的符號(hào)，分式的值不變，即

AAAA

BBBB

a

【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)ba1．則下列各式中比的值大的是（）

b

2aa2a1a1

A．B．C．D．

2bb2b1b1

【答案】D

【分析】直接根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案．

a

【詳解】解：因?yàn)閎a1，所以，01，

b

2aa

A．，故此選項(xiàng)不符合題意；

2bb

a2a

B．，故此選項(xiàng)不符合題意；

b2b

a1a

C．，故此選項(xiàng)不符合題意；

b1b

第10頁(yè)共42頁(yè).

a1a

D．，符合題意；

b1b

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

2a

【變式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

a3b

A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍B．a(chǎn)，b同時(shí)擴(kuò)大3倍

C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍

【答案】B

【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后得出答案即可．

22a4a2a

【詳解】A.a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍,，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

2a33b2a9ba3b

23a6a2a

B.a，b同時(shí)擴(kuò)大3倍，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

3a33b3a9ba3b

22a4a2a

擴(kuò)大倍，縮小倍，1，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.a2b32a3b2aba3b

3

1

2a

a2a

縮小倍，縮小倍2，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.a2b31

2a3b2aba3b

3

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．

112x3xy2y

【變式3】（2022·湖北襄陽(yáng)·一模）已知4，則分式的值為______．

yxx2xyy

11

【答案】

2

【分析】先根據(jù)題意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，進(jìn)行約分就可求出結(jié)果．

11

【詳解】∵4，

yx

∴x-y=4xy，

2(xy)3xy8xy3xy11

∴原式=，

xy2xy4xy2xy2

11

故答案為：．

2

【點(diǎn)睛】此題考查分式的基本性質(zhì)，正確對(duì)已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，約分，正確進(jìn)行變形是關(guān)鍵．

第11頁(yè)共42頁(yè).

【變式4】（2021·湖南·一模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＝ab＝c，有下列結(jié)論：

11

①若c≠0，則＝1；

ab

②若a＝3，則b＋c＝9；

③若a＝b＝c，則abc＝0；

④若a，b，c中只有兩個(gè)數(shù)相等，則a＋b＋c＝8.

其中正確的是____．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

【答案】①③④

11

【詳解】試題分析：在a+b=ab的兩邊同時(shí)除以ab（ab=c≠0）即可得1，所以①正確；把a(bǔ)=3代入得

ab

39

3+b=3b=c，可得b=，c=，所以b+c=6，故②錯(cuò)誤；把a(bǔ)=b=c代入得2cc2c，所以可得c=0，故③正

22

確；當(dāng)a=b時(shí)，由a+b=ab可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；當(dāng)a=c時(shí)，由c=a+b可得b=0，再

代入可得a=b=c=0，這與a、b、c中只有兩個(gè)數(shù)相等相矛盾，故a=c這種情況不存在；當(dāng)b=c時(shí)，情況同a=c，

故b=c這種情況也不存在，所以④正確．所以本題正確的是①③④．

考點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)；分類討論．

【變式5】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數(shù)都化為正

4n2

數(shù)________．

n32

x0.2y

（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)_______．

0.5x0.3y

2x3

（3）若分式的值是整數(shù)，求整數(shù)x的值．

x1

2

1x

（4）已知x2，求的值．

xx4x21

n2410x2y1

【答案】（1）；（2）；（3）0，2，6，-4；（4）

n325x3y3

【分析】（1）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以-1即可；

（2）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10即可；

5

（3）將分式變形得2，要使結(jié)果是整數(shù)，x-1=±1，或x-1=±5，進(jìn)而求出x的整數(shù)值即可；

x1

（4）倒數(shù)法，先求出要求的代數(shù)式的倒數(shù)，利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：（1）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以-1得，

第12頁(yè)共42頁(yè).

4n2n24

；

n32n32

（2）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10得，

x0.2y10x2y

；

0.5x0.3y5x3y

2x32x252x255

（3）===2，

x1x1x1x1x1

要使分式的值為整數(shù)，

∴x-1=±1，或x-1=±5，

解得，x1=0，x2=2，x3=6，x4=-4，

答：整數(shù)x的值為0，2，6，-4．

1

（）∵x2，

4x

1

∴x2422，

x2

x4x211

∵x213，

x2x2

x21

∴．

x4x213

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)、分式的加減運(yùn)算，掌握分式的基本性質(zhì)和計(jì)算法則是正確解答的前提．

核心考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

m2n22m

例1（2022·山東濟(jì)南·中考真題）若m－n＝2，則代數(shù)式的值是（）

mmn

A．－2B．2C．－4D．4

【答案】D

【分析】先因式分解，再約分得到原式＝2（m-n），然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．

（mn）（mn）2m

【詳解】解：原式?

mmn

＝2（m-n），

當(dāng)m-n＝2時(shí)，原式＝2×2＝4．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在

第13頁(yè)共42頁(yè).

化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要

化成最簡(jiǎn)分式或整式．

4a4a2

例2（2022·山東菏澤·中考真題）若a22a150，則代數(shù)式a的值是________．

aa2

【答案】15

【分析】先按分式混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，再把已知變形為a2-2a=15，整體代入即可．

4a4a2

【詳解】解：a

aa2

(a2)2a2

=

aa2

=a(a-2)

=a2-2a，

∵a2-2a-15=0,

∴a2-2a=15，

∴原式=15．

故答案為：15．

【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

a10

4a2

例（內(nèi)蒙古通遼中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從不等式組的整

32022··a24a5

aa1

3

數(shù)解中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．

【答案】a22a，3

【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)不等式組求出a的值并代入原式即可

求出答案．

4a2

【詳解】解：a

aa2

a24a2

aa2

a2a2a2

aa2

a22a，

a10①

4a5，

1②

3

解不等式①得：a1

第14頁(yè)共42頁(yè).

解不等式②得：a2，

∴1a2，

∵a為整數(shù)，

∴a取0，1，2，

∵a0,a20，

∴a=1，

當(dāng)a=1時(shí)，原式12213．

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則以

及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．

知識(shí)點(diǎn)：分式的運(yùn)算

1、分式的運(yùn)算法則

acac

分式乘法分子的積作積的，用分母的積作積的分母

bdbd

acadad

分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分別()n

bbn

abab

同分母分式加減分母不變,分子

ccc

acadbcadbc

異分母分式加減先，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p。bdbdbdbd

分式的混合運(yùn)算：

分式的混合運(yùn)算，有多項(xiàng)式的，一般先因式分解，能約分的進(jìn)行約分；有括號(hào)的先算括號(hào)，

第15頁(yè)共42頁(yè).

有乘方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。

a35

例：

2a2分式化簡(jiǎn)中的誤區(qū)

a2aa2

a3a2a25

1.注意分式混合運(yùn)算順序

aa2a2a2

a3a292.分式化簡(jiǎn)不同于解分式方程,化簡(jiǎn)過程中不能去分

aa2a2母.

a3a2

aa2a3a33.分?jǐn)?shù)線有除號(hào)和括號(hào)兩重作用,同分母分式相加減

1(分子是多項(xiàng)式),分子應(yīng)整體加括號(hào).

aa3

2mnn2m2n2

【變式1】（2022·云南·開遠(yuǎn)市教育科學(xué)研究所二模）化簡(jiǎn)m2的正確結(jié)果是（）

mmmn

11

A．m－nB．m+nC．D．

mnmn

【答案】A

【分析】先將括號(hào)里的異分母分式相加減化為同分母分式相加減，再算分式的乘除即可．

m22mnn2m2n2

【詳解】原式

mm2mn

(mn)2m(mn)

m(mn)(mn)

mn，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

3a41

【變式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：(a)(■)的某一項(xiàng)被污染，但化簡(jiǎn)的結(jié)果等于a2，

a3a2

被污染的項(xiàng)應(yīng)為（）

a2a3

A．0B．1C．D．

a3a2

第16頁(yè)共42頁(yè).

【答案】B

【分析】設(shè)被污染的部分為p，然后根據(jù)等式的性質(zhì)解關(guān)于p的方程，求出p的表達(dá)式即可．

【詳解】解：設(shè)被污染的部分為p，

3a41

則(a)(p)a2，

a3a2

a241

∴(p)a2，

a3a2

1a3

∴pa2，

a2a2a2

a31

∴p，

a2a2

a2

∴p，

a2

∴p1．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算和利用等式的性質(zhì)解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等式的性

質(zhì)解方程和掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．

4aa2a1

【變式3】（2022·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知a為2a4范圍的整數(shù)，則的值

aa22aa24a4

是______．

【答案】-1

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則先將所求分式化簡(jiǎn)，再根據(jù)分式有意義的條件，確定a的值，最后代入

求值即可．

4aa2a1

【詳解】解：

aa22aa24a4

4aa2a1

2

aaa2a2

4aa2a2aa1

22

aaa2aa2

4aa24a2a

22

aaa2aa2

第17頁(yè)共42頁(yè).

4aa4

2

aaa2

2

4aaa2

aa4

2

a2，

根據(jù)題意有：a0，a40，a20，

即a0，a4，a2，

∵2a4，且為整數(shù)，

∴a3，

22

將a3代入，有原式a2321，

故答案為：-1．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

AB2x6

【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則

x12xx1x2

AB______．

【答案】6

【分析】根據(jù)分式、整式加減運(yùn)算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計(jì)算，求得A與B的值，即可得到答案．

ABA(x2)B(x1)

【詳解】，

x12x(x1)(x2)(x1)(x2)

A(x2)B(x1)2x6

∴，

(x1)(x2)(x1)(x2)

∴A(x2)B(x1)2x6，

即(AB)x(2AB)2x6．

AB2

∴，

2AB6

A4

解得：

B2

∴A的值為4，B的值為2．

∴AB6

第18頁(yè)共42頁(yè).

故答案為6．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式、整式加減運(yùn)算、二元一次方程組的知識(shí)；熟練掌握分式加減運(yùn)算、整式加減運(yùn)

算、二元一次方程組的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·浙江舟山·二模）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡(jiǎn)，規(guī)則是：每人只能

看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡(jiǎn)，過程如圖所示：

(1)接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是

A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁

(2)請(qǐng)你書寫正確的化簡(jiǎn)過程，并在“1,0,2，-2”中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．

【答案】(1)D

2x

(2)，2

x

【分析】（1）根據(jù)分式的乘除運(yùn)算步驟和運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷．

（2）化簡(jiǎn)之后的結(jié)果選擇一個(gè)有意義的數(shù)代入求值即可．

x22x1xx22x(x1)

【詳解】（1）

x1x2x1x2

x(x2)x1x2

x1x2x

出現(xiàn)錯(cuò)誤是在乙和丁，

故選：D．

x22xx2

（2）

x11x

x22x1x

x1x2

x22x(x1)

x1x2

x(x2)(x1)

x1x2

第19頁(yè)共42頁(yè).

(x2)

x

2x

，

x

根據(jù)分式有意義的條件可得x1且x0，

即只能從2和2中選擇一個(gè)，

代入x2，得出結(jié)果為2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的乘除法，解題的關(guān)鍵是掌握分式乘除運(yùn)算法則．

核心考點(diǎn)四分式的化簡(jiǎn)求值

x3xy2

例1（2020·湖北孝感·中考真題）已知x51，y51，那么代數(shù)式的值是（）

xxy

A．2B．5C．4D．25

【答案】D

【分析】先按照分式四則混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，然后將x、y的值代入計(jì)算即可．

x3xy2xxyxy

【詳解】解：==x+y=51+51=25．

xxyxxy

故答案為D．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式四則混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式是解答本題的關(guān)鍵．

例2（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN，已知①

和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.AEa,DEb，且ab．

第20頁(yè)共42頁(yè).

（1）若a，b是整數(shù)，則PQ的長(zhǎng)是___________；

S四邊形ABCD

（2）若代數(shù)式a22abb2的值為零，則的值是___________．

S矩形PQMN

【答案】ab322

【分析】（1）根據(jù)圖象表示出PQ即可；

（2）根據(jù)a22abb20分解因式可得(ab2b)(ab2b)0，繼而求得ab2b，根據(jù)這四個(gè)矩

55

形的面積都是5，可得EP,EN，再進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可求解．

ab

【詳解】（1）①和②能夠重合，③和④能夠重合，AEa,DEb，

PQab，

故答案為：ab；

（2）a22abb20，

a22abb22b2(ab)22b2(ab2b)(ab2b)0，

ab2b0或ab2b0，即ab2b（負(fù)舍）或ab2b

這四個(gè)矩形的面積都是5，

55

EP,EN，

ab

555ab

abab2

S四邊形baab

ABCDab，

2

S矩形PQMN555abab

abab

baab

a2b22aba2b2a2b2a2

，

a2b22aba2b2a2b2b2

(b2b)2

322．

b2

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式及其分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的根據(jù)．

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過程如下：

3tan30364(2)2(2)0

22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

第21頁(yè)共42頁(yè).

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫在橫線上，

并依次標(biāo)注序號(hào)：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．

21x23x

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9