中考數(shù)學一輪考點復習精講精練專題11 二次函數(shù)【考點精講】（解析版）

專題11二次函數(shù)1．二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做x的二次函數(shù).

2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)圖象a>0a<0性質(zhì)①當a>0時,拋物線開口向上,并向上無限延伸.②對稱軸是SKIPIF1<0,頂點坐標是SKIPIF1<0.③在對稱軸的左側(cè),即當x<SKIPIF1<0時,y隨x的增大而減小;在對稱軸的右側(cè),即當x>SKIPIF1<0時,y隨x的增大而增大,簡記為左減右增.④拋物線有最低點,當x=SKIPIF1<0時,y有最小值,y最小值=SKIPIF1<0.①當a<0時,拋物線開口向下,并向下無限延伸.②對稱軸是SKIPIF1<0,頂點坐標是SKIPIF1<0.③在對稱軸的左側(cè),即當x<SKIPIF1<0時,y隨x的增大而增大;在對稱軸的右側(cè),即當x>SKIPIF1<0時,y隨x的增大而減小,簡記為左增右減.④拋物線有最高點,當x=SKIPIF1<0時,y有最大值,y最大值=SKIPIF1<0.3．拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的關(guān)系（1）二者的形狀相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通過平移得來的,平移后的頂點坐標為(h,k).

右左（2）y=ax2的圖象右左上下y=a(x-h)2的圖象上下y=a(x-h)2+k的圖象.4．二次函數(shù)的解析式的確定要確定二次函數(shù)的解析式,就是要確定解析式中的待定系數(shù)(常數(shù)):（1）當已知拋物線上任意三點時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);（2）當已知拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點時，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0).5．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點.當圖象與x軸有交點時，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出與x軸交點的橫坐標.Δ=b2-4acax2+bx+c=0的根拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點Δ>0兩個不相等的實數(shù)根兩個交點Δ=0兩個相等的實數(shù)根一個交點Δ<0無實數(shù)根無交點6．二次函數(shù)與不等式的關(guān)系設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸交于(x1,0),(x2,0)兩點，其中x1<x2,則不等式ax2+bx+c>0的解集為x>x2或x<x1，不等式ax2+bx+c<0的解集為x1<x<x2.

【考點1】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】（函數(shù)圖像）（2022·湖北武漢）二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示，則一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的頂點在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限．【詳解】解：∵拋物線的頂點（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故選：D．【例2】（函數(shù)性質(zhì)1）（2022·陜西）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的自變量SKIPIF1<0對應的函數(shù)值分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者之間的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先將拋物線配成頂點式，求出對稱軸為SKIPIF1<0，再求出拋物線與x軸的兩個交點坐標為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根據(jù)開口向上即可判斷．【詳解】解：SKIPIF1<0拋物線SKIPIF1<0，∴對稱軸SKIPIF1<0，頂點坐標為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴拋物線與SKIPIF1<0軸的兩個交點坐標為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．【例3】（函數(shù)性質(zhì)2）（2022·湖南郴州）關(guān)于二次函數(shù)SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標是SKIPIF1<0C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】由拋物線的表達式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開口向上，故A錯誤；頂點坐標為（1，5），故B錯誤；該函數(shù)有最小值，是小值是5，故C錯誤；當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．拋物線y=ax2+bx+c中a,b,c的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下；a的絕對值越大，開口越小.（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線SKIPIF1<0，故：①b=0時，對稱軸為y軸；②SKIPIF1<0>0（即a,b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；③SKIPIF1<0<0（即a,b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).(口訣:“左同右異”）【注意問題】（1）二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系;（2）會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換.1．（2022·廣西）已知反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示，則一次函數(shù)SKIPIF1<0和二次函數(shù)SKIPIF1<0在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函數(shù)圖象得出b>0，再分當a>0，a<0時分別判定二次函數(shù)圖象符合的選項，在符合的選項中，再判定一次函數(shù)圖象符合的即可得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在第一和第三象限內(nèi)，∴b>0，若a<0，則-SKIPIF1<0>0，所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項全不符合；當a>0，則-SKIPIF1<0<0時，所以二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當c<0,a>0時，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限，故只有D選項符合題意．故選：D．2．（2022·江蘇泰州）已知點SKIPIF1<0在下列某一函數(shù)圖像上，且SKIPIF1<0那么這個函數(shù)是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出y1、y2、y3的值，比較大小即可得出答案．【詳解】解：A．把點SKIPIF1<0代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，這與已知條件SKIPIF1<0不符，故選項錯誤，不符合題意；B．把點SKIPIF1<0代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，這與已知條件SKIPIF1<0不符，故選項錯誤，不符合題意；C．把點SKIPIF1<0代入y=SKIPIF1<0，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，這與已知條件SKIPIF1<0不符，故選項錯誤，不符合題意；D．把點SKIPIF1<0代入y=-SKIPIF1<0，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以SKIPIF1<0，這與已知條件SKIPIF1<0相符，故選項正確，符合題意；故選：D．3．（2022·山東威海）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖像過點（2，0），下列結(jié)論錯誤的是(

)A．b＞0B．a(chǎn)+b＞0C．x＝2是關(guān)于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一個根D．點（x1，y1），（x2，y2）在二次函數(shù)的圖像上，當x1＞x2＞2時，y2＜y1＜0【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)作出判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖像知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故B選項結(jié)論正確，不符合題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A選項結(jié)論正確，不符合題意；由題可知二次函數(shù)對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B選項結(jié)論正確，不符合題意；根據(jù)圖像可知SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一個根，故SKIPIF1<0選項結(jié)論正確，不符合題意，若點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在二次函數(shù)的圖像上，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故D選項結(jié)論不正確，符合題意，故選：D．4．（2022·四川自貢）已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當x>0時，一定有y隨x的增大而增大；③若點D橫坐標的最小值為?5，點C橫坐標的最大值為3；④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a=SKIPIF1<0．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)頂點在線段AB上拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定x=1時，點D的橫坐標取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出此時點C的橫坐標，即可判斷③；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點的縱坐標求出CD的長度的表達式，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷④．【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點坐標為(0，-2)，又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為(0，c)，∴C≥-2，(頂點在y軸上時取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點在線段AB上運動，開口向上，∴當x＞1時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；若點D的橫坐標最小值為-5，則此時對稱軸為直線x=-3，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點C的橫坐標最大值為1+2=3，故③正確；令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-SKIPIF1<0，x1x2=SKIPIF1<0，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2SKIPIF1<0，根據(jù)頂點坐標公式，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴SKIPIF1<0=42=16，解得a=SKIPIF1<0，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．．

5．（2022·貴州黔東南）在平面直角坐標系中，將拋物線SKIPIF1<0先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先把拋物線配方為頂點式，求出定點坐標，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則進行解答即可．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴拋物線的頂點為（-1，-2），將拋物線SKIPIF1<0先繞原點旋轉(zhuǎn)180°拋物線頂點為（1，2），旋轉(zhuǎn)后的拋物線為SKIPIF1<0，再向下平移5個單位，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．∴新拋物線的頂點（1，-3）故答案是：（1，-3）．【考點2】二次函數(shù)的平移【例4】（2022·廣西玉林）小嘉說：將二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象平移或翻折后經(jīng)過點SKIPIF1<0有4種方法：①向右平移2個單位長度

②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度③向下平移4個單位長度

④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度你認為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移可依此進行求解問題．【詳解】解：①將二次函數(shù)SKIPIF1<0向右平移2個單位長度得到：SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，所以該平移方式符合題意；②將二次函數(shù)SKIPIF1<0向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到：SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，所以該平移方式符合題意；③將二次函數(shù)SKIPIF1<0向下平移4個單位長度得到：SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，所以該平移方式符合題意；④將二次函數(shù)SKIPIF1<0沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度得到：SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，所以該平移方式符合題意；綜上所述：正確的個數(shù)為4個；故選D．圖像平移規(guī)律：由函數(shù)y=ax2平移得到y(tǒng)=a(x-h)2+k滿足“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”，概括成八個字，即：“左加右減，上加下減”.1．（2022·內(nèi)蒙古通遼）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0故選D．2．（2021·上海中考真題）將拋物線向下平移兩個單位，以下說法錯誤的是（）A．開口方向不變 B．對稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點不變【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點即可求解．【詳解】將拋物線向下平移兩個單位，開口方向不變、對稱軸不變、故y隨x的變化情況不變；與y軸的交點改變故選D．3．（2020?綏化）將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4【答案】C【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】將將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個單位長度所得拋物線解析式為：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2個單位為：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故選：C．4．（2022·黑龍江牡丹江）把二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（答出這兩種形式中任意一種均得分）【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答．【詳解】由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=2（x+1）2向下平移2個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案為y=2（x+1）2﹣2．【考點3】二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系【例5】（2021·廣西中考真題）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，則關(guān)于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】將要求的不等式抽象成兩個函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】與關(guān)于y軸對稱拋物線的對稱軸為y軸，因此拋物線與直線的交點和與直線的交點也關(guān)于y軸對稱設(shè)與交點為，則，即在點之間的函數(shù)圖像滿足題意的解集為：故選D．【例6】（2022·黑龍江大慶）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數(shù)m的值為____________．【答案】1或SKIPIF1<0【分析】函數(shù)圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則分兩種情況：第一種情況，函數(shù)圖象過原點；第二種情況，函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，分別計算即可【詳解】當函數(shù)圖象過原點時，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，此時滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當函數(shù)圖象與x軸只有一個交點且與坐標軸y軸也有一個交點時，此時滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0是，函數(shù)變?yōu)镾KIPIF1<0與y軸只有一個交點，不合題意；綜上可得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，函數(shù)圖象與坐標軸恰有兩個公共點．故答案為：1或SKIPIF1<0一元二次方程和二次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間的關(guān)系:Δ=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).①Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；②Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；③Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點.（3）二次函數(shù)的交點式：y=a(x-x1)(x-x2)（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）.1．（2021·貴州中考真題）已知直線過一、二、三象限，則直線與拋物線的交點個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個【答案】C【分析】先由直線過一、二、三象限，求出，通過判斷方程實數(shù)解的個數(shù)可判斷直線與拋物線交點的個數(shù)．【詳解】解：∵直線過一、二、三象限，∴．

由題意得：，即，∵△，

∴此方程有兩個不相等的實數(shù)解．

∴直線與拋物線的交點個數(shù)為2個．故選：C．2．（2021·黑龍江中考真題）已知函數(shù)，則下列說法不正確的個數(shù)是（）①若該函數(shù)圖像與軸只有一個交點，則②方程至少有一個整數(shù)根③若，則的函數(shù)值都是負數(shù)④不存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)都成立A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；對于②：分情況討論a＝0和a≠0時方程的根即可；對于③：已知條件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情況討論a＞1或a＜0時的函數(shù)值即可；對于④：分情況討論a＝0和a≠0時函數(shù)的最大值是否小于等于0即可．【詳解】解：對于①：當a＝0時，函數(shù)變?yōu)椋c只有一個交點，當a≠0時，，∴，故圖像與軸只有一個交點時，或，①錯誤；對于②：當a＝0時，方程變?yōu)?，有一個整數(shù)根為，當a≠0時，方程因式分解得到：，其中有一個根為，故此時方程至少有一個整數(shù)根，故②正確；對于③：由已知條件得到a≠0，且a＞1或a＜0當a＞1時，開口向上，對稱軸為，自變量離對稱軸越遠，其對應的函數(shù)值越大，∵，∴離對稱軸的距離一樣，將代入得到，此時函數(shù)最大值小于0；當a＜0時，開口向下，自變量離對稱軸越遠，其對應的函數(shù)值越小，∴時，函數(shù)取得最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實數(shù)，其對應的函數(shù)值，故③錯誤；對于④：a＝0時，原不等式變形為：對任意實數(shù)不一定成立，故a＝0不符合；a≠0時，對于函數(shù)，當a＞0時開口向上，總有對應的函數(shù)值，此時不存在a對對任意實數(shù)都成立；當a＜0時開口向下，此時函數(shù)的最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實數(shù)，其對應的函數(shù)值，此時不存在a對對任意實數(shù)都成立；故④正確；綜上所述，②④正確，故選：C．3．（2021·浙江中考真題）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是以SKIPIF1<0為自變量的函數(shù)，當SKIPIF1<0時，函數(shù)值分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0．以下函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0的是（）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進行排除選項．【詳解】解：當SKIPIF1<0時，函數(shù)值分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，對于A選項則有SKIPIF1<0，由一元二次方程根的判別式可得：SKIPIF1<0，所以存在實數(shù)m，故符合題意；對于B選項則有SKIPIF1<0，由一元二次方程根的判別式可得：SKIPIF1<0，所以不存在實數(shù)m，故不符合題意；對于C選項則有SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，由一元二次方程根的判別式可得：SKIPIF1<0，所以不存在實數(shù)m，故不符合題意；對于D選項則有SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，由一元二次方程根的判別式可得：SKIPIF1<0，所以不存在實數(shù)m，故不符合題意；故選A．【考點4】求二次函數(shù)的解析式【例7】（2021·河南中考真題）請寫出一個圖象經(jīng)過原點的函數(shù)的解析式__________．【答案】y=x（答案不唯一）【分析】直接寫出一個已經(jīng)學過的經(jīng)過原點的函數(shù)解析式即可．【詳解】解：因為直線y=x經(jīng)過原點（0,0），故答案為：y=x（本題答案不唯一，只要函數(shù)圖像經(jīng)過原點即可）．【例8】（2021·浙江中考真題）在“探索函數(shù)的系數(shù)，，與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標系中的四個點：，，，，同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中的值最大為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過，，，中的三個點的二次函數(shù)解析式，繼而解題．【詳解】解：設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；最大為，故選：A．根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.一般來說，有如下幾種情況：（1）已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式（y=ax2+bx+c）.（2）已知拋物線頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式［y=a（x-h）2+k］.（3）已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用交點式［y=a(x-x1)(x-x2)］.（4）已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)【方法解說】（1）若二次公數(shù)的圖家經(jīng)過三個已知點可沒函數(shù)解析式為一般式，即y=ax2+bx+c；（2）若知拋物線的頂點坐標，可出數(shù)解析式為頂點式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根據(jù)拋物線與y軸的交點求出a的值；（3）若拋物線與x軸的兩個交點的坐標為(x1,0)和(x2,0)，可沒函數(shù)解析式為交點式，即y=a(x-x1)(x-x2)，再根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標求出a的值1．（2021·廣東中考真題）把拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為___．【答案】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進行計算即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：，即：故答案為：．2．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖，二次函數(shù)SKIPIF1<0（a為常數(shù)）的圖象的對稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點，求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函數(shù)化為一般式，再利用對稱軸：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函數(shù)的解析式為：，再結(jié)合平移后拋物線過原點，則從而可得平移方式及平移后的解析式．【詳解】解：（1）．∵圖象的對稱軸為直線，∴，∴．（2）∵，∴二次函數(shù)的表達式為，∴拋物線向下平移3個單位后經(jīng)過原點，∴平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式為．【考點5】二次函數(shù)的最值【例9】拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為．【分析】已知拋物線頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k）．【解析】∵拋物線y＝3（x﹣1）2+8是頂點式，∴頂點坐標是（1，8）．故答案為：（1，8）．【例10】（2022·四川遂寧）如圖，D、E、F分別是SKIPIF1<0三邊上的點，其中SKIPIF1<0，BC邊上的高為6，且DE//BC，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比得到SKIPIF1<0，列出SKIPIF1<0面積的函數(shù)表達式，根據(jù)配方法求最值即可．【詳解】如圖，過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，S有最大值，最大值為6，故選：A．1．（2022·內(nèi)蒙古包頭）已知實數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的最小值等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由已知得b=a+1，代入代數(shù)式即得a2-4a+9變形為(a-2)2+5，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解．【詳解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴當a=2時，代數(shù)式a2+2b-6a+7有最小值，最小值為5，故選：A．2．（2022·廣西賀州）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，求出y=15時，x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點（1，-3），∵1>0，開口向上，∴在對稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當0≤x≤a時，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當x=a時，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．3．（2022·山東聊城）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當SKIPIF1<0時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．【答案】121【分析】利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)“利潤=單價商品利潤×銷售量”列出二次函數(shù)關(guān)系式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．【詳解】解：當SKIPIF1<0時，設(shè)SKIPIF1<0，把（10，20），（20，10）代入可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，設(shè)該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤為w元，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<01<0，∴當SKIPIF1<0時，w有最大值為121，4．（2022·吉林長春）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點式可得當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而增大，當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而增大，當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而減小，若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而減小，此時當SKIPIF1<0時，函數(shù)值y最小，最小值為SKIPIF1<0，不合題意，若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)值y最小，最小值為1，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；綜上所述，a的值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【考點6】二次函數(shù)的應用【例11】（2022·四川廣安）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，通過代入A點坐標（SKIPIF1<03，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標為（0，2），通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2+2，把點A點坐標（SKIPIF1<03，0）代入得，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴拋物線解析式為：SKIPIF1<0；當水面下降，水面寬為8米時，有把SKIPIF1<0代入解析式，得SKIPIF1<0；∴水面下降SKIPIF1<0米；故答案為：SKIPIF1<0；【例12】（2022·山東濰坊）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標系中描出表示2017-2021年①號田和②號田年產(chǎn)量情況的點（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖．小亮認為，可以從y=kx+b(k>0)，y=SKIPIF1<0(m>0)，y=?0.1x2+ax+c中選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢．（1）小瑩認為不能選SKIPIF1<0．你認同嗎？請說明理由；（2）請從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢，并求出函數(shù)表達式；（3）根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請預測①號田和②號田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？【答案】(1)認同，理由見解析(2)①號田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；②號田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；(3)在2024年或2025年總年產(chǎn)量最大，最大是7.6噸．【分析】（1）根據(jù)年產(chǎn)量變化情況，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）設(shè)總年產(chǎn)量為w，依題意得w=?0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】(1)解：認同，理由如下：觀察①號田的年產(chǎn)量變化：每年增加0.5噸，呈一次函數(shù)關(guān)系；觀察②號田的年產(chǎn)量變化：經(jīng)過點（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，∴不是反比例函數(shù)關(guān)系，小瑩認為不能選SKIPIF1<0是正確的；(2)解：由（1）知①號田符合y=kx+b(k>0)，由題意得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴①號田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；檢驗，當x=4時，y=2+1=3，符合題意；②號田符合y=?0.1x2+ax+c，由題意得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴②號田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；檢驗，當x=4時，y=-1.6+4+1=3.4，符合題意；(3)解：設(shè)總年產(chǎn)量為w，依題意得：w=?0.1x2+x+1+0.5x+1=?0.1x2+1.5x+2=?0.1(x2-15x+SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)+2=?0.1(x-7.5)2+7.625，∵?0.1<0，∴當x=7.5時，函數(shù)有最大值，∴在2024年或2025年總年產(chǎn)量最大，最大是7.6噸．1．（2022·河南）紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為SKIPIF1<0，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2或6m【分析】（1）根據(jù)頂點SKIPIF1<0，設(shè)拋物線的表達式為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0，代入即可求解；（2）將SKIPIF1<0代入（1）的解析式，求得SKIPIF1<0的值，進而求與點SKIPIF1<0的距離即可求解．【解析】(1)解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點為SKIPIF1<0，設(shè)拋物線的解析式為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0拋物線的解析式為SKIPIF1<0，(2)由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，SKIPIF1<0當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為SKIPIF1<0(m)，或SKIPIF1<0(m)．2．（2022·山東臨沂）第二十四屆冬奧會在北京成功舉辦，我國選手在跳臺滑雪項目中奪得金牌．在該項目中，首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止本項目．主要考核運動員的飛行距離和動作姿態(tài)，某數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究：下圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過起跳點A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．著陸坡AC的坡角為30°，SKIPIF1<0．某運動員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，SKIPIF1<0．在空中飛行過程中，運動員到x軸的距離SKIPIF1<0與水平方向移動的距離SKIPIF1<0具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為SKIPIF1<0．（1）求b、c的值；（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離SKIPIF1<0與飛行時間SKIPIF1<0具備一次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；空中飛行5s后著陸．①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；②當t為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，為SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題中所給信息，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用待定系數(shù)法列出關(guān)于SKIPIF1<0的二元一次方程組求解即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意得到當運動員在起跳點騰空時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；空中飛行5s后著陸，SKIPIF1<0，設(shè)出一次函數(shù)表達式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式即可；②作SKIPIF1<0軸交拋物線于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，利用待定系數(shù)法確定直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式，再由（1）得出拋物線表達式，求出SKIPIF1<0，表示出運動員離著陸坡的豎直距離SKIPIF1<0，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值為SKIPIF1<0．【解析】(1)解：過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0著