2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.6函數(shù)的應(yīng)用二學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)_第1頁(yè)
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PAGE1-4.6函數(shù)的應(yīng)用(二)4.7數(shù)學(xué)建?;顒?dòng):生長(zhǎng)規(guī)律的描述(略)素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),使學(xué)生相識(shí)函數(shù)模型的作用,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)指數(shù)函數(shù)型模型(1)表達(dá)形式:f(x)=abx+C.(2)條件:a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1.學(xué)問(wèn)點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)型模型(1)表達(dá)形式:f(x)=mlogax+n.(2)條件:m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1.學(xué)問(wèn)點(diǎn)冪函數(shù)型模型(1)解析式:y=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠1)(2)單調(diào)性:其增長(zhǎng)狀況由xα中的α的取值而定.思索:指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型都是遞增的嗎?提示:不肯定,也可能是遞減的,依據(jù)底數(shù)的大小推斷.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型指數(shù)函數(shù)模型┃┃典例剖析__■典例1某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人,假如年自然增長(zhǎng)率為1.2%,試解答下列問(wèn)題:(1)寫(xiě)出該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式;(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人);(3)計(jì)算大約多少年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年).(取1.01210=1.127,log1.0121.20=15).[分析]詳細(xì)列出一年后、二年后、三年后的人口總數(shù),利用歸納的方法,確定函數(shù)關(guān)系.[解析](1)1年后該城市人口總數(shù)為:y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);2年后該城市人口總數(shù)為:y=100×(1+1.2%)+100×1.2%(1+1.2%)=100(1+1.2%)2;3年后該城市人口總數(shù)為:y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2%)3;x年后該城市人口總數(shù)為:y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后該城市人口數(shù)為:100×(1+1.2%)10=112.7(萬(wàn)).(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn),即100×(1+1.2%)x=120,∴1.012x=1.20.∴x=log1.0121.20=15(年).答:人口總數(shù)y與年份x間的函數(shù)關(guān)系是y=100×(1+1.2%)x,10年后的城市人口總數(shù)約為112.7萬(wàn),大約15年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人.規(guī)律方法:有關(guān)增長(zhǎng)(衰減)率問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題,假如原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為P,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y,可以用公式y(tǒng)=N(1+P)x表示.解決平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題,要用到這個(gè)函數(shù)式.當(dāng)增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)即為降低率,此公式仍舊適用,這里P<0(或y=N(1-P)x,P>0).┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1.某公司預(yù)投資100萬(wàn)元,有兩種投資方案可供選擇:方案一:年利率10%,按單利計(jì)算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年復(fù)利一次計(jì)算,5年后收回本金和利息.哪一種投資更有利?這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元?(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)[解析]本金100萬(wàn)元,年利率10%,按單利計(jì)算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150(萬(wàn)元).本金100萬(wàn)元,年利率9%,按每年復(fù)利一次計(jì)算,5年后的本息和是100×(1+9%)5≈153.86(萬(wàn)元).由此可見(jiàn),方案二更有利,5年后多得利息約3.86萬(wàn)元.題型對(duì)數(shù)函數(shù)模型┃┃典例剖析__■典例2候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的改變而進(jìn)行大規(guī)模地遷徙,探討某種鳥(niǎo)類(lèi)的專(zhuān)家發(fā)覺(jué),該種鳥(niǎo)類(lèi)的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3eq\f(Q,10)(其中a、b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì),該種鳥(niǎo)類(lèi)在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位,而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí),其飛行速度為1m/s.(1)求出a、b的值;(2)若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)單位?[分析](1)依據(jù)已知列出方程組,解方程組求a、b的值;(2)由(1)列出不等式,解不等式求Q的最小值.[解析](1)由題意可知,當(dāng)這種鳥(niǎo)類(lèi)靜止時(shí),它的速度為0m/s,此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位,故有a+blog3eq\f(30,10)=0,即a+b=0①;當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí),速度為1m/s,故a+blog3eq\f(90,10)=1,整理得a+2b=1②.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=0,a+2b=1)),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-1,b=1)).(2)由(1)知,v=a+blog3eq\f(Q,10)=-1+log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s,則有v≥2,即-1+log3eq\f(Q,10)≥2,即log3eq\f(Q,10)≥3,解得eq\f(Q,10)≥27,即Q≥270.所以若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要270個(gè)單位.規(guī)律方法:對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(x>0,a>1)經(jīng)復(fù)合可以得到對(duì)數(shù)型函數(shù),其函數(shù)值改變比較緩慢.干脆以對(duì)數(shù)型函數(shù)作為模型的應(yīng)用問(wèn)題不是許多,但我們知道,對(duì)數(shù)運(yùn)算事實(shí)上是求指數(shù)的運(yùn)算,因此在指數(shù)函數(shù)模型中,也常用對(duì)數(shù)計(jì)算.┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,安排逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2024年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(C)(參考數(shù)據(jù):lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)A.2024年 B.2024年C.2024年 D.2024年[解析]設(shè)經(jīng)過(guò)n年該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過(guò)200萬(wàn)元,由題意,得130(1+12%)n>200,∴1.12n>eq\f(20,13)=eq\f(2,1.3),兩邊取對(duì)數(shù),得n>log1.12eq\f(2,1.3)=eq\f(lg\f(2,1.3),lg1.12)=eq\f(lg2-lg1.3,lg1.12)=eq\f(0.30-0.11,0.05)=3.8,∵n∈N+,∴n的最小值為4.故2024年起先該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過(guò)200萬(wàn)元.題型函數(shù)模型的選擇問(wèn)題┃┃典例剖析__■典例3某化工廠開(kāi)發(fā)研制了一種新產(chǎn)品,在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t.為了預(yù)料今后各個(gè)月的生產(chǎn)量,須要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)來(lái)模擬月產(chǎn)量y與月序數(shù)x之間的關(guān)系.對(duì)此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均為待定系數(shù),x∈N*)或函數(shù)y=g(x)=pqx+r(p,q,r均為待定系數(shù),x∈N*).現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t,則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好?[解析]依據(jù)題意可列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1=a+b+c=100,,f2=4a+2b+c=120,,f3=9a+3b+c=130.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-5,,b=35,,c=70.))所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-180×0.5x+140.②再將x=4分別代入①式與②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t).與f(4)相比,g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量,所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好,故選用函數(shù)y=g(x)=pqx+r作為模擬函數(shù)較好.規(guī)律方法:建立擬合函數(shù)與預(yù)料的基本步驟┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3.某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,近年來(lái),該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記2024年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表所示: x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logeq\s\do8(\f(1,2))x+A.找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說(shuō)明理由,然后選取2024年和2024年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.[解析]最適合的函數(shù)模型是f(x)=ax+b,理由如下.若模型為f(x)=2x+a,則由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此時(shí)f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與已知相差太大,不符合.若模型為f(x)=logeq\s\do8(\f(1,2))x+a,則f(x)是減函數(shù),與已知不符合.故最適合的函數(shù)模型是f(x)=ax+B.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=4,,3a+b=7,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=\f(3,2),,b=\f(5,2).))所以f(x)=eq\f(3,2)x+eq\f(5,2),x∈N.易錯(cuò)警示┃┃典例剖析__■典例4某工廠在兩年內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)值的月增長(zhǎng)率都是a,則其次年某月的生產(chǎn)產(chǎn)值與第一年相應(yīng)月相比增長(zhǎng)了第一年相應(yīng)月的__(1+a)12-1__.[錯(cuò)解]b(1+a)11[辨析]若某月的生產(chǎn)產(chǎn)值為b,月增長(zhǎng)率為a,則x個(gè)月后的生

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