2025版高中數(shù)學第3章不等式3.4基本不等式第2課時基本不等式的應用-證明與最值問題課時作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第2課時基本不等式的應用—證明與最值問題A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知直線l1：a2x＋y＋2＝0與直線l2：bx－(a2＋1)y－1＝0相互垂直，則|ab|的最小值為(C)A．5 B．4C．2 D．1[解析]由條件知，直線l1與l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝eq\f(b,a2＋1)，∴k1k2＝eq\f(－a2b,a2＋1)＝－1，∴b＝eq\f(a2＋1,a2)>0，∴|ab|＝|eq\f(a2＋1,a)|＝|a|＋eq\f(1,|a|)≥2，等號成立時|a|＝eq\f(1,|a|)，∴a＝±1，b＝2，∴|ab|的最小值為2.2．若點(a，b)在直線x＋2y＝3上移動，則2a＋4bA．8 B．6C．4eq\r(2) D．3eq\r(2)[解析]點(a，b)在直線x＋2y＝3上，則a＋2b＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r(2a＋2b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2)，當且僅當a＝2b＝eq\f(3,2)時等號成立．故選C．3．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋eq\f(1,m)，y＝n＋eq\f(1,n)，則x＋y的最小值是(B)A．4 B．5C．8 D．10[解析]依題意有x＋y＝m＋n＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝1＋eq\f(m＋n,m)＋eq\f(m＋n,n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥3＋2＝5，當且僅當m＝n＝eq\f(1,2)時取等號．故選B．4．某公司租地建倉庫，每月土地費用與倉庫到車站距離成反比，而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站距離成正比．假如在距離車站10km處建倉庫，則土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元，那么要使兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站(A)A．5km處 B．4km處C．3km處 D．2km處[解析]設(shè)倉庫建在離車站xkm處，則土地費用y1＝eq\f(k1,x)(k1≠0)，運輸費用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝eq\f(4,5)，故總費用y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，當且僅當eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5時等號成立．5．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為(B)A．16 B．25C．9 D．36[解析](1＋x)(1＋y)≤[eq\f(1＋x＋1＋y,2)]2＝[eq\f(2＋x＋y,2)]2＝(eq\f(2＋8,2))2＝25，因此當且僅當1＋x＝1＋y即x＝y(tǒng)＝4時，(1＋x)·(1＋y)取最大值25.故選B．6．已知a>0，b>0，且2是2a與b的等差中項，則eq\f(1,ab)的最小值為(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[解析]∵2是2a與b的等差中項，∴2a＋又∵a>0，b>0，∴2ab≤(eq\f(2a＋b,2))2＝(eq\f(4,2))2＝4，當且僅當2a＝b＝2，即a＝1，b∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2).故選B．二、填空題7．若正數(shù)a、b滿意ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是__[9，＋∞)__.[解析]∵a、b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3(當a＝b時取“＝”)，即ab－2eq\r(ab)－3≥0，∴eq\r(ab)≥3或eq\r(ab)≤－1(舍去)，∴ab≥9.8．某種飲料分兩次提價方案有兩種，方案甲：第一次提價p%，其次次提價q%；方案乙：每次都提價eq\f(p＋q,2)%，若p>q>0，則提價多的方案是__乙__.[解析]設(shè)原價為1，則提價后的價格，方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：(1＋eq\f(p＋q,2)%)2，因為eq\r(1＋p%1＋q%)≤eq\f(1＋p%＋1＋q%,2)＝1＋eq\f(p＋q,2)%，因為p>q>0，所以eq\r(1＋p%1＋q%)<1＋eq\f(p＋q,2)%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋eq\f(p＋q,2)%)2，所以提價多的方案是乙．三、解答題9．(如圖)某村安排建立一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室，溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，[解析]設(shè)矩形的一邊長為xm，則另一邊長為eq\f(800,x)m，因此種植蔬菜的區(qū)域?qū)挒?x－4)m，長為(eq\f(800,x)－2)m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4>0,\f(800,x)－2>0))，得4<x<400，所以其面積S＝(x－4)·(eq\f(800,x)－2)＝808－(2x＋eq\f(3200,x))≤808－2eq\r(2x·\f(3200,x))＝808－160＝648(m2)．當且僅當2x＝eq\f(3200,x)，即x＝40∈(4,400)時等號成立．因此當矩形溫室的兩邊長為40m,20m時蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是648m210．已知a、b、c∈R＋，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.[證明]∵a、b、c∈R＋，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,c)，eq\f(c2,a)均大于0，又eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a，eq\f(b2,c)＋c≥2eq\r(\f(b2,c)·c)＝2b，eq\f(c2,a)＋a≥2eq\r(\f(c2,a)·a)＝2c，(當且僅當a＝b＝c時上式等號成立)三式相加得eq\f(a2,b)＋b＋eq\f(b2,c)＋c＋eq\f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·貴州凱里一中高二月考)已知正數(shù)a，b滿意a＋b＝1，則eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值為(D)A．eq\f(5,3) B．3C．5 D．9[解析]∵a＋b＝1，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(4,a)＋eq\f(1,b))·(a＋b)＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)＋\f(a,b))＝5＋4＝9，當且僅當eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b時，等號成立，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,a＋b＝1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3),b＝\f(1,3))).2．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，則a＋eq\f(1,b2－1)的最小值為(A)A．3 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)[解析]令logab＝t，由a>b>1得0<t<1,2logab＋3logba＝2t＋eq\f(3,t)＝7，得t＝eq\f(1,2)，即logab＝eq\f(1,2)，a＝b2，所以a＋eq\f(1,b2－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3，當且僅當a＝2時取等號．故a＋eq\f(1,b2－1)的最小值為3.3．設(shè)M是△ABC內(nèi)一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為(D)A．8 B．9C．16 D．18[解析]由條件可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，設(shè)△ABC的面積為S，則S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝1，∵S△MBC＝eq\f(1,2)，∴x＋y＝eq\f(1,2)，故eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2(x＋y)·(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝2(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))≥18，當且僅當x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)時等號成立．故選D．4．設(shè)a>b>0，則a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值是(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝a2－ab＋ab＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝a(a－b)＋ab＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)≥2eq\r(aa－b·\f(1,aa－b))＋2eq\r(ab·\f(1,ab))＝4，當且僅當a(a－b)＝eq\f(1,aa－b)且ab＝eq\f(1,ab)即a＝2b＝eq\r(2)時，等號成立．故選D．二、填空題5．等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，滿意2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，則eq\f(2Sn＋13,n)的最小值是__eq\f(33,4)__.[解析]因為2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，所以2(a2＋1)＝a2(a2＋1)，即a2＝2(an>0)，所以an＝n，Sn＝eq\f(nn＋1,2)，所以eq\f(2Sn＋13,n)＝eq\f(nn＋1＋13,n)＝n＋eq\f(13,n)＋1由于函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(13,x)(x>0)在(0，eq\r(13))上單調(diào)遞減，在[eq\r(13)，＋∞)上單調(diào)遞增，而3<eq\r(13)<4，且f(3)＝eq\f(22,3)>f(4)＝eq\f(29,4)，所以當n＝4時，n＋eq\f(13,n)＋1的最小值為eq\f(33,4)，即eq\f(2Sn＋13,n)的最小值是eq\f(33,4).6．不等式x2＋2x<eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對隨意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是__(－4,2)__.[解析]不等式x2＋2x<eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對隨意a，b∈(0，＋∞)恒成立，即x2＋2x<(eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a))min，由eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(16b,a))＝8，當且僅當eq\f(a,b)＝eq\f(16b,a)，即a＝4b時，取得等號，則x2＋2x<8，解得－4<x<2.三、解答題7．已知a，b為正數(shù)，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥eq\f(2\r(2)＋12,2a＋b).[解析]因為a>0，b>0，所以(2a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))＝6＋eq\f(b,a)＋eq\f(8a,b)≥6＋2eq\r(\f(b,a)·\f(8a,b))＝6＋4eq\r(2)＝2(eq\r(2)＋1)2，即得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥eq\f(2\r(2)＋12,2a＋b).8．(2024·山東莒縣二中高二月考)某公司生產(chǎn)電飯煲，每年需投入固定成本40萬元，每生產(chǎn)1萬件還需另投入16萬元的變動成本，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)電飯煲x萬件并全部銷售完，每一萬件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝eq\f(4400,x)－eq\f(40000,x2)(10＜x＜100)，該公司在電飯煲的生產(chǎn)中所獲年利潤為W(萬元)，(注：利潤＝銷售收入－成本)(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式，并求年利潤的最大值；(2)為了讓年利潤W不低于2360萬元，求年產(chǎn)量x的取值范圍．[解析](1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋4360＝－(eq\f(40000,x)＋16x)＋4360(10＜x＜100)，∵eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)·16x)＝1600.當且僅當x＝50時，“＝”成立，∴W≤－1600＋4360＝2760，即年利潤的最大值為2760萬元．(2)W＝－eq\f(40000,x)－16x＋4360≥2360，整理得x2－125x＋2500≤0.解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.∴25≤x＜100.故為了讓年利潤W不低于2360萬元，年產(chǎn)量x的范圍是[25,100)．9．某單位在國家科研部門的