2025版高中數(shù)學課時作業(yè)29圓與圓的位置關(guān)系新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時作業(yè)29圓與圓的位置關(guān)系基礎鞏固1．圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：兩圓的圓心分別為(－2，2)，(2，－5)，則兩圓的圓心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（2＋5）2)＝eq\r(65).又兩圓半徑分別為1和4，則d>1＋4＝5，即兩圓外離，因此它們有4條公切線．答案：D2．圓：x2＋y2－2x－2y＝0和圓：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是()A．x＋y＋3＝0 B.x－y＋2＝0C．x＋y－2＝0 D.2x－y－1＝0解析：AB的垂直平分線就是兩圓的連心線，兩圓的圓心分別為(1，1)，(3，－1)，過兩圓圓心的直線方程為x＋y－2＝0.答案：C3．若圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為()A．2 B．－5C．2或－5 D.不確定解析：兩圓的圓心坐標分別為(－2，m)，(m，－1)，兩圓的半徑分別為3，2，由題意得eq\r(（m＋2）2＋（－1－m）2)＝3＋2，解得m＝2或m＝－5.答案：C4．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為()A．(x－4)2＋(y－6)2＝16B．(x±4)2＋(y－6)2＝16C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：設所求圓心坐標為(a，b)，則|b|＝6.由題意，得a2＋(b－3)2＝(6－1)2＝25.若b＝6，則a＝±4；若b＝－6，則a無解．故所求圓方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.答案：D5．若點P在圓O：x2＋y2＝1上運動，點Q在圓C：(x－3)2＋y2＝1上運動，則|PQ|的最小值為()A．3 B．2 C．1 D．4解析：|PQ|的最小值應為圓心距減去兩圓半徑，即(|PQ|)min＝|OC|－2＝3－2＝1.答案：C6．若圓x2＋y2－2ax＋a2＝2和圓x2＋y2－2by＋b2＝1相離，則a，b滿意的條件是________．解析：兩圓的連心線的長為d＝eq\r(a2＋b2).∵兩圓相離，∴d>eq\r(2)＋1，∴a2＋b2>3＋2eq\r(2).答案：a2＋b2>3＋2eq\r(2)7．若點A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，則圓(x－a)2＋y2＝1與圓x2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系是________．解析：∵點A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圓x2＋(y－b)2＝1的圓心C1(0，b)，半徑r1＝1，圓(x－a)2＋y2＝1的圓心C2(a，0)，半徑r2＝1，則|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4)＝2，∴|C1C2|＝r1＋r2.∴兩圓外切．答案：外切實力提升1．已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：設動圓圓心(x，y)，則若兩圓內(nèi)切，則有eq\r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4－1＝3，即(x－5)2＋(y＋7)2＝9；若兩圓外切，則有eq\r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4＋1＝5，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25.答案：D2．若圓C1：x2＋y2＝4和圓C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為()A．x＋y＝0 B.x＋y＝2C．x－y＝2 D.y＝x＋2解析：因為kC1C2＝－1，C2C1的中點為(－1，1)，所以C2C1的垂直平分線即為所求直線l，其方程為y＝x＋2.答案：D3．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，則r的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)－1) B．(0，1]C．(0，2－eq\r(2)] D．(0，2]解析：由已知M∩N＝N知N?M，∴圓x2＋y2＝4與圓(x－1)2＋(y－1)2＝r2內(nèi)切或內(nèi)含，∴2－r≥eq\r(2)，∴0<r≤2－eq\r(2).答案：C4．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，則a、b應滿意的關(guān)系式是()A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0B．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0解析：利用公共弦始終經(jīng)過圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心即可求得．兩圓的公共弦所在直線方程為：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它過圓心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案：B5．過原點O作圓x2＋y2－4x－8y＋16＝0的兩條切線，設切點分別為P，Q，則直線PQ的方程為________．解析：設圓x2＋y2－4x－8y＋16＝0的圓心為C，則C(2，4)，∵CP⊥OP，CQ⊥OQ，∴過四點O，P，C，Q的圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.兩圓方程相減得直線PQ的方程為x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝06．圓x2＋y2－x＋y－2＝0和圓x2＋y2＝5的公共弦長為________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x＋y－2＝0，①,x2＋y2＝5，②))②－①得，兩圓的公共弦所在直線方程為x－y－3＝0，∴圓x2＋y2＝5的圓心到該直線的距離為d＝eq\f(|－3|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(3,\r(2)).設公共弦長為l，∴l(xiāng)＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))))\s\up12(2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．與圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關(guān)于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a＝________．解析：兩圓圓心分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，(2，0)，則eq\f(1－0,\f(a,2)－2)＝－1，且點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,4)，\f(1,2)))在x－y－1＝0上，解得a＝2.答案：28．過直線x－y＋4＝0上隨意一點P(x，y)向圓x2＋y2＝1引切線，求切線長的最小值．解：圖1如圖1，過點O向直線x－y＋4＝0引垂線，垂足為P，過P作圓x2＋y2＝1的一條切線PA，A為切點，此時點P是直線上全部點中到點O的距離最小的點．又|PA|2＝|PO|2－|AO|2，|AO|＝r，∴|PA|2＝(eq\f(4,\r(2)))2－1＝7，∴|PA|＝eq\r(7)，∴切線長的最小值為eq\r(7).9．求過點A(4，－1)，且與圓C：(x＋1)2＋(y－3)2＝5相切于點B(1，2)的圓的方程．解：設所求圓的圓心M(a，b)，半徑為r，已知圓的圓心為C(－1，3)，因為切點B在連心線上，即C，B，M三點共線，所以eq\f(a＋1,b－3)＝eq\f(1＋1,2－3)，即a＋2b－5＝0. ①由于AB的垂直平分線為x－y－2＝0，圓心M在AB的垂直平分線上，所以a－b－2＝0.②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))故圓心坐標為M(3，1)，r＝|MB|＝eq\r(5)，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5.10．已知圓M：x2＋y2＝10和圓N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．解：設兩圓交點為A，B，則以AB為直徑的圓就是所求的圓．直線AB的方程為x＋y－2＝0.兩圓圓心連線的方程為x－y＝0.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＝0，))得圓心坐標為(1，1)．圓心M(0，0)到直線AB的距離為d＝eq\r(2)，弦AB的長為|AB|＝2eq\r(（\r(10)）2－（\r(2)）2)＝4eq\r(2)，所以所求圓的半徑為2eq\r(2).所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝8.11．已知兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0(k<50)．當兩圓有如下位置關(guān)系時：(1)外切；(2)內(nèi)切；(3)相交；(4)內(nèi)含；(5)外離．試確定上述條件下k的取值范圍．解：將兩圓的方程化為標準方程：C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1；C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.則圓C1的圓心坐標C1(－2，3)，半徑r1＝1，圓C2的圓心坐標C2(1，7)，半徑r2＝eq\r(50－k).從而圓心距d＝eq\r(（－2－1）2＋（3－7）2)＝5.(1)當兩圓外切時，d＝r1＋r2，即1＋eq\r(50－k)＝5，解得k＝34.(2)當兩圓內(nèi)切時，d＝|r1－r2|，即|1－eq\r(50－k)|＝5，解得k＝14.(3)當兩圓相交時，|r1－r2|<d<r1＋r2，即|1－eq\r(50－k)|<d<1＋eq\r(50－k)，解得14<k<34.(4)當兩圓內(nèi)含時，d<|r1－r2|，即|1－eq\r(50－k)|>5，解得k<14.(5)當兩圓外離時，d>r1＋r2，即1＋eq\r(50－k)<5，解得k>34.12．(2024年湖北省三校高二聯(lián)考)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝4，相互垂直的兩條直線l1、l2都過點A(a，0)．(1)若A在圓C內(nèi)部，求a的取值范圍；(2)當a＝2時，若圓心為M(1，m)的圓和圓C外切且與直線l1、l2都相切，求圓M的方程；(3)當a＝－1時，若l1、l2被圓C所截得的弦長相等，求此時直線l1的方程．解：(1)圓C：(x＋2)2＋y2＝4，圓心坐標為(－2，0)，半徑為2.由A在圓C內(nèi)部，可得(a＋2)2<4，則－4<a<0.(2)設圓M的半徑為r