期末復(fù)習(xí)之全等三角形相關(guān)的熱考幾何模型（解析版）

全等三角形相關(guān)的熱考幾何模型（熱考必刷34題8種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）倍長(zhǎng)中線模型一線三垂直模型一線三等角模型截長(zhǎng)補(bǔ)短模型半角模型手拉手模型對(duì)角互補(bǔ)模型婆羅摩及多模型一．倍長(zhǎng)中線模型（共5小題）1．（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過(guò)程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD在△ABD和△ECD中∵∴△ABD≌△ECD（__________）請(qǐng)補(bǔ)齊空白處(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是__________；(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如圖2，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)已作；對(duì)頂角相等；BD；SAS(2)1<AD<7(3)6【分析】本題是三角形的綜合題和倍長(zhǎng)中線問(wèn)題，主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，由“SAS”可證△ABD≌△ECD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得CE=AB=6，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（3））延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，由“ASA”可證△ABD≌△FCD，則CF=AB=2，AD=DF，證明△ADE≌△FDE，得AE=EF，根據(jù)EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，即可得AE的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，在△ABD和△ECD中，AD=ED已作∴△ABD≌△ECD(SAS（2）由（1）得：△ABD≌△ECD，且AB=6，∴CE=AB=6，在△ACE中，8-6<AE<8+6，∴1<AD<7；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，∵AD是△ABC的中線∴BD=CD∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD=∠FCD=90°，在△ABD和△FCD中，∠ABD=∠FCD∴△ABD≌△FCDASA∴CF=AB=2，AD=DF，又∵∠FDE=∠ADE=90°且ED=ED∴△ADE≌△FDESAS∴AE=EF，∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，∴AE=6．即：AE的長(zhǎng)是6．2．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）【方法學(xué)習(xí)】數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，王老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC邊上的中線AD的取值范圍．小李在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1），①延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD；②連接BE，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABE中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍為AB-BE<AE<AB+BE，從而得到AD的取值范圍；方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，請(qǐng)寫(xiě)出AD的取值范圍是．（2）如圖2，OA=OB，OC=OD，∠AOB與∠COD互補(bǔ)，連接AC、BD，E是AC的中點(diǎn)，求證：OE=1【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）1<AD<6；（2）見(jiàn)解析；（3）BE+DF=EF，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．（1）由題意知，△BDE≌△CDA，則BE=AC=3，DE=AD，AE=2AD，由AB-BE<AE<AB+BE，求解作答即可；（2）如圖3，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)P，使OE=EP，連接AP，證明△AEP≌△CEOSAS，則AP=CO=OD，∠CAP=∠C，可證AP∥CO，則∠AOC+∠OAP=180°，由∠AOB與∠COD互補(bǔ)，可得∠AOC+∠BOD=180°，則∠BOD=∠OAP，證明△BOD≌△OAPSAS（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使BH=DF，連接CH，先證明△HBC≌△FDCSAS，再證明△HCE≌△FCESAS，得到【詳解】（1）解：由題意知，△BDE≌△CDA，∴BE=AC=5，DE=AD，∴AE=2AD，∵AB-BE<AE<AB+BE，∴7-5<2AD<5+7，即2<AD<12，故答案為：1<AD<6；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)P，使OE=EP，連接AP，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，又∵EP=OE，∴△AEP≌△CEOSAS∴AP=CO=OD，∴AP∥CO，∴∠AOC+∠OAP=180°，∵∠AOB與∠COD互補(bǔ)，∴∠AOC+∠BOD=180°，∴∠BOD=∠OAP，又∵AP=OD，∴△BOD≌△OAPSAS∴BD=OP，∴OE=1∴OE=1（3）解：BE+DF＝理由如下：如圖③，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使BH=DF，連接CH，∵∠ABC+∠D=180°,∠HBC+∠ABC=180°，∴∠HBC=∠D，在△HBC和△FDC中，DF=BH∠D=∠CBH∴△HBC≌△FDC∴CH=CF,∠HCB=∠FCD，∵∠BCD=100°,∠ECF=50°，∴∠BCE+∠FCD=50°，∴∠ECH=50°=∠ECF，在△HCE和△FCE中，CF=CH∠ECF=∠ECH∴△HCE≌△FCE∴EH=EF，∵HE=BH+EB∴EF=BE+DF．3．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是______；(2)問(wèn)題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF>EF；(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)2<AD<8；(2)見(jiàn)解析；(3)BE+DF=EF，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、角的和差等，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出與圖1中結(jié)構(gòu)相關(guān)的圖形．（1）延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，證明△BDE≌△CDASAS，得出BE=AC=6（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，EM，同（1）得，△BMD≌△CFDSAS，得出BM=CF再證明△EDM≌△EDFSAS，得出（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN=DF，連接CN，證明△NBC≌△FDCSAS得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，再證明△NCE≌△FCE【詳解】（1）解：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，如圖1所示：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∴△BDE≌△CDASAS∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE，∴10-6<AE<10+6，即4<AE<16，∴2<AD<8；故答案為：2<AD<8；（2）證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，EM，如圖所示，同（1）得，△BMD≌△CFDSAS∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF，DE=DE∴△EDM≌△EDFSAS∴EM=EF在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；（3）BE+DF=EF，證明如下：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN=DF，連接CN，如圖所示，∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中，BN=DF∠NBC=∠D∴△NBC≌△FDCSAS∴CN=CF，∠NCB=∠FCD∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中，CM=CF∴△NCE≌△FCESAS∴EN=EF．∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．4．（22-23八年級(jí)上·北京東城·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小麗在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M，使DM=AD，連接BM，可證△ACD≌△MBD，從而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍．

【方法總結(jié)】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，有時(shí)需要考慮倍長(zhǎng)中線（或與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求集中到同一個(gè)三角形中．我們把這種添加輔助線稱為“倍長(zhǎng)中線法”．【問(wèn)題解決】(1)直接寫(xiě)出圖1中AD的取值范圍：(2)猜想圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，判斷線段AD和線段EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)1<AD<5(2)AC∥BM,AC=BM(3)EF=2AD【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線法；（1）延長(zhǎng)AD使得AD=DM，連接BM，先證明△MDB≌△ADC(SAS)得到BM=AC=4，在△ABM中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系（2）由（1）中△MDB≌△ADC(SAS（3）延長(zhǎng)AD使得AD=DM，連接BM，同（1）可得△MDB≌△ADC(SAS)，進(jìn)而判斷出∠EAF=∠ABM，進(jìn)而證明【詳解】（1）解：延長(zhǎng)AD使得AD=DM，連接BM，如圖2，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDM=∠CDA，∴△MDB≌△ADC(SAS∴BM=AC=4，在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM，∴6-4<AM<4+6,2<AM<10，∴1<AD<5；（2）解：AC∥BM,AC=BM；由（1）得：△MDB≌△ADC(SAS∴∠M=∠CAD，AC=BM，∴AC∥BM；（3）解：EF=2AD；延長(zhǎng)AD使得AD=DM，連接BM，如圖，

由（1）得：△MDB≌△ADC(SAS∴AC=BM，∵AC=AF，∴BM=AF，由（2）得：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM=180°，∵∠BAE=∠FAC=90°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∴∠EAF=∠ABM，∵AB=AE，∴△ABM≌△EAF(SAS∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD5．（22-23八年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）【閱讀理解】數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明提出了如下解決方法，延長(zhǎng)線段AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法回答下列問(wèn)題．(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)探究得出AD的取值范圍___________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【問(wèn)題解決】(3)如圖2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE．【答案】(1)B(2)C(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可，據(jù)此即可判定；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AE到F，使AE=EF，連接DF，證明△ABE≌△DFESAS，得出AB=DF，∠F=∠BAE，證明△ADF≌△ADCSAS，得出【詳解】（1）解：∵AD是△ABC中線，∴BD=DC，在△ADC與△EDB中，AD=ED∴△ADC≌故選：B；（2）解：由1知：△ADC≌∴BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊之間的關(guān)系可得：AB-BE<AE<AB+BE，即8-6<2AD<8+6，解得：1<AD<7，故選：C；（3）證明：延長(zhǎng)AE到F，使AE=EF，連接DF，如圖所示：∵AE是△ABD中線，∴BE=DE，在△ABE與△FDE中AE=EF∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△DFE∴AB=DF，∠F=∠BAE，∵CD=AB，∴CD=DF，∵∠F=∠BAE，∴AB∥DF，∴∠BAD+∠ADF=180°，∵∠BDA+∠ADC=180°，∠BDA=∠BAD，∴∠ADF=∠ADC，∵在△ADF和△ADC中AD=AD∠ADF=∠ADC∴△ADF≌△ADCSAS∴∠F=∠C，∴∠C=∠BAE．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，平行線的判斷和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和定理．二．一線三垂直模型（共4小題）6．（24-25八年級(jí)上·云南文山·階段練習(xí)）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個(gè)正方形）中提煉出兩個(gè)三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直線過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：△AEC≌△CFB；（2）如圖3，若改變直線的位置，其余條件與（1）相同，請(qǐng)寫(xiě)出EF，AE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題提出】（3）在（2）的條件下，若BF=4AE，EF=5，求△BFC的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EF=BF-AE，見(jiàn)解析；（3）50【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義和余角的性質(zhì)得到∠FCB=∠EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出△AEC≌△CFB；（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CAE=∠BCF根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=BF，AE=CF，等量代換得到結(jié)論；（3）由（2）得EF=AE+BF且BF=4AE，得到EF=3AE=5，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ECA+∠FCB=90°，又∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEF=∠BFC=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∴∠FCB=∠EAC，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCB∴△AEC≌△CFBAAS（2）解：EF=BF-AE，理由如下：∵∠AEC=∠CFB=90°，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF又∵AC=BC，∴△CAE≌△BCFAAS∴CE=BF，AE=CF，∴EF=CE-CF=BF-AE，即EF=BF-AE；（3）解：由（2）得EF=BF-AE且BF=4AE，EF=5，∴EF=3AE=5，∴AE=∵CF=AE，∴AE=CF=53，則∴S△BFC7．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期中）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，∠BAD=90°,AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥l于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l交于點(diǎn)E．得∠1=∠D．又∠BCA=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE(AAS)．進(jìn)而得到結(jié)論：AC=_____，BC=_____．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠∠BAD=∠MAN=90°,AB=AD,AM=AN,BM⊥l于點(diǎn)C，DE⊥l于點(diǎn)E，ND與直線l交于點(diǎn)P，求證：NP=DP．【答案】(1)DE，AE(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查一線三直角全等問(wèn)題，（1）由∠CBA=∠AED=∠BAD=90°，得∠1+∠2=∠2+∠（2）作NF⊥l于點(diǎn)F，因?yàn)锽M⊥l于點(diǎn)C，DE⊥l于點(diǎn)E，所以∠ACM=∠NFA=∠NFP=∠DEP=90°，由（1）得AC=DE，因?yàn)椤螹AN=90°，所以∠CAM+∠FAN=∠FNA+∠FAN=90°【詳解】（1））解：BC⊥l于點(diǎn)C，DE⊥l于點(diǎn)E，∴∠CBA=∵∠BAD=90°∴∠1+∴∠1=在△ABC和△DAE中，∠1=∠D∠BCA=∠AED∴△ABC≌△DAE（∴AC=DE，BC=AE，故答案為：DE，AE．（2）證明：如圖2，作NF⊥l于點(diǎn)F，∵BM⊥l于點(diǎn)C，DE⊥l于點(diǎn)E，∴∠ACM=由（1同理（1）得AC=NF，∴NF=DE，在△PFN和△PED中，∠MFP=∠DEF∴△PFN≌△PED（∴NP=DP．8．（20-21七年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥MN，BE⊥MN．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：△ADC?△CEB；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系：____________．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；（2）結(jié)論：DE=AD-BE．與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）結(jié)論：DE=BE-AD．證明方法類似．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECB∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BEC∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．（3）DE=BE-AD；如圖3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證明△ACD≌△CBE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．9．（21-22八年級(jí)上·湖北恩施·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為A-2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B0,-4，點(diǎn)C在第三象限，且AB=AC，求點(diǎn)(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為A-2,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B2,0，AB=AC，點(diǎn)P為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于y軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)連接PF且延長(zhǎng)PF交BC于點(diǎn)D，連接AD交PC于點(diǎn)G．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在AD⊥PC，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（提示：作∠BAC的平分線交PC于點(diǎn)(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為A-2,-2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B0,m，點(diǎn)C的坐標(biāo)為Cn,0【答案】(1)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C(2)存在點(diǎn)P，使AD⊥PC，理由見(jiàn)解析(3)存在m+n為定值，其定值為m+n=-4【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，可證明△AMC≌（2）作∠BAC的平分線交PC于H，先證明△EAH≌△FBD，從而AH=BD，進(jìn)而證明△ACH≌△BAD，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為N,K，可得△ACN≌△ABK，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M．∵∠BAC是直角，∴∠1+∠2=90°∵CM⊥x軸，∴∠1+∴∠2=∠3∵∠AOB=∠AMC=90°，AB=AC，∴△AMC∴CM=AO，AM=BO，∵A-2,0，B∴CM=2，OM=6∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為-6,-2（2）存在點(diǎn)P，使AD⊥PC．理由：作∠BAC的平分線交PC于H．∵AB=AC，CA⊥AB，∴∠ABC=45°∵E，F(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴OE=OF，∵OA=OB=2，PO⊥EF，∴AE=BF，∠AEH=∠BFD，∴△EAH≌∴AH=BD∵AB=AC，∠ABD=∠CAH=45°，∴△ACH≌∴∠1=∠3，∵∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，∴AD⊥PC．（3）存在m+n為定值，其定值為m+n=-4．過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、K．∵∠2+∠1=90°，∠1+∴∠3=∠2∵AN=AK=2，∠ANC=∠AKB=90°，∴△ANC≌∴NC=BK∵A-2,-2，B0,m，∴N-2,0，K∴NC=n+2，BK=-2-m，∴n+2=-2-m，∴m+n=-4∴存在m+n為定值，其定值為m+n=-4．【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)之間的關(guān)系，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形．三．一線三等角模型（共5小題）10．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=60°且點(diǎn)B、C、E在一條直線上，連接BD和AE，BD、AE相交于點(diǎn)P，則線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是__________，【深入探究1】（2）如圖2，AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=60°，連接BD和AE，BD、AE相交于點(diǎn)P，則線段BD和【深入探究2】（3）如圖3，AC=BC，CE=CD，且∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥BE，并延長(zhǎng)KC交AD于點(diǎn)Q．求證：Q為【答案】（1）相等，60°；（2）BD=AE，BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為60°；（3）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)∠ECD=∠ACB=60°，得到∠ACE=∠BCD，利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=AE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠DPE=∠DCE；（2）證明△ACE≌△BCDSAS，由全等三角形的性質(zhì)得出BD=AE,∠AEC=∠BDC（3）分別過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)D作KQ的垂線，垂足分別為M,N，證明△ACM≌△CBK，△CDN≌△ECK可得AM=CK,DN=CK，推出AM=DN，再證明△AQM≌△DQN，可得AQ=DQ，即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠ECD=∠ACB=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴BD=AE,∠AEC=∠BDC，由三角形的外角性質(zhì)，∠DPE=∠AEC+∠DBC，∠DCE=∠BDC+∠DBC，∴∠DPE=∠DCE=60°；故答案為：相等，60°；（2）BD=AE,BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為60°．證明：∵∠ECD=∠ACB=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴BD=AE,∠AEC=∠BDC，又∵∠DNA=∠ENC，∴∠DPE=∠DCE=60°；（3）證明：如圖3，分別過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)D作KQ的垂線，垂足分別為M,N，∵CK⊥BE，∴∠CKB=∠CKE=90°，∵AC=BC，CE=CD，且∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACM+∠BCK=∠CBK+∠BCK=90°，∴∠ACM=∠CBK，∵∠AMK=∠CKB=90°,AC=BC∴△ACM≌△CBKAAS∴AM=CK，同理：△CDN≌△ECKAAS∴DN=CK，∴AM=DN，∵∠AMQ=∠DNQ=90°,∠AQM=∠DQN，∴△AQM≌△DQNAAS∴AQ=DQ，∴Q為AD中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．11．（21-22八年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC．(1)如圖1，直線NM過(guò)點(diǎn)B，AM⊥MN于點(diǎn)M，CN⊥MN于點(diǎn)N，且∠ABC=90°，求證：MN=AM+CN．(2)如圖2，直線NM過(guò)點(diǎn)B，AM交NM于點(diǎn)M，CN交NM于點(diǎn)N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，則MN=AM+CN是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由！【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)綜合，利用題目中的已知條件導(dǎo)角，可推導(dǎo)∠CBN=∠BAM，最后證明△AMB≌△BNC(AAS（2）利用∠AMB=∠ABC及∠ABN是△ABM的外角，可以推出∠MAB=∠CBN，再利用AAS可以判定△AMB≌△BNC(AAS【詳解】（1）證明：∵AM⊥MN于點(diǎn)M，CN⊥MN于點(diǎn)N；∴∠AMB=∠BNC=90°；∴∠MAB+∠ABM=90°；∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠NBC=90°；∴∠MAB=∠NBC；在△ABM和△BCN中，∠AMB=∠BNC∴△ABM≌△BCNAAS∴AM=BN，BM=CN；∴MN=BN+BM=AM+CN．（2）MN=AM+CN成立．理由如下：設(shè)∠AMB=∠ABC=∠BNC=α；∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠CBN=180°-α；∴∠BAM=∠CBN；在△ABM和△BCN中；∠BAM=∠CBN∴△ABM≌△BCNAAS∴AM=BN，BM=CN；∴MN=BN+BM=AM+CN；故MN=AM+CN成立．12．（2021九年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．

(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=°，∠DEC=°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)25；115；小(2)當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE(3)可以；∠BDA的度數(shù)為110°或80°【分析】（1）由已知平角的性質(zhì)可得∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而求得∠DEC，即可判斷點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠BDA逐漸變??；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，由已知和三角形內(nèi)角和定理可得∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，等量代換得∠ADB=∠DEC，又由AB=AC=2，可得△ABD≌△DCEAAS（3）根據(jù)等腰三角形的判定定理，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）解：∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°，∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-25°-40°=115°，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變小，故答案為：25；115；?。?）解：當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵∠B=∠C，AB=DC=2，∴△ABD≌△DCEAAS（3）解：當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形；理由：∵∠BDA=110°時(shí)，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BDA=80°時(shí)，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（19-20八年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）（1）如圖①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．則線段DE、BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)：（1）中的結(jié)論是還否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE．若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）DE=BD+CE；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠BDA=∠CEA=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠CAE=∠ABD，根據(jù)“AAS”證明△ADB≌△CEA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形得到DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得到∠ABD=∠CAE，由AAS定理證明△ADB≌△CEA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=AE，DA=CE，得出結(jié)論；（3）根據(jù)△ADB≌△CEA，得到BD=AE，∠DBA=∠CAE，證明△DBF≌△EAF(SAS)，得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，求出【詳解】解：（1）DE=BD+CE．理由：如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA=90°∴△ADB≌△CEA(AAS∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：如圖2，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，∠DBA=∠CAE∠BDA=∠AEC∴△ADB≌△CEA(AAS∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）結(jié)論：△DEF是等邊三角形．理由：如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠EAF，在△DBF和△EAF中，F(xiàn)B=FA∠DBF=∠EAF∴△DBF≌△EAF(SAS∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（22-23八年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期中）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．小華分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證△ABD≌△CAE，此時(shí)，線段DE、BD、CE(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)．請(qǐng)利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)：；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個(gè)等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得∠BAC=∠BDA=∠AEC，請(qǐng)你幫助小華判斷（1）中線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請(qǐng)證明；若變化，寫(xiě)出它們的關(guān)系式并說(shuō)明理由；②如圖丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D、E在直線l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)DE=BD+CE(2)(-4,3)(3)①DE=BD+CE，理由見(jiàn)解析；②DE=【分析】（1）由全等得到邊長(zhǎng)關(guān)系即可．（2）分別按照（1）中情形過(guò)A、B做出x軸垂線，得到三角形全等后根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系得到點(diǎn)A坐標(biāo)．（3）①將（1）中互余的角度變成計(jì)算關(guān)系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，進(jìn)而得到邊長(zhǎng)關(guān)系．②根據(jù)①可證全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到邊長(zhǎng)關(guān)系．【詳解】（1）由等腰直角△ABC得AB=AC，AB⊥AC，又∵BD⊥AD，CE⊥AE∴∠ABD+∠BAD=∴∠ABD=∠CAE又∵AB=CA，∠BDA=∴△ABD∴AD=CE，BD=AE∴DE=BD+CE（2）過(guò)A、B作出x軸垂線AD，BE，由（1）可得∴AD=CE，ED=AD+BE，又∵B(1,2)C(-2,0)得BE=2，OE=1，CO=2，∴AD=CE=3，DE=AD+BE=5∴DO=DE-OE=4∴A(-4,3)（3）①∵∠BAC=∠BDA=∠AEC∴∠ABD+∠BAD=∴∠ABD=∠CAE又∵AB=CA，∠BDA=∠AEC∴△ABD∴AD=CE，BD=AE∴DE=BD+CE②與①中同理可得∠ABD=∠CAE分別取BD，AB中點(diǎn)M，N連接MN．∴BM=1∴MN∥DA又∵BA=2AC∴BN=AC∵M(jìn)N∴∠BMN=∠BDA又∵∠BDA=∠AEC∴∠BMN=∠AEC在△BMN與△AEC中∠NBM=∠CAE∴△NBM∴MN=CE=12∴DE=DA+AE=2CE+【點(diǎn)睛】本題考查一線三等角模型，注重模仿推理能力，結(jié)合一個(gè)示范作遷移應(yīng)用，需要大膽參考示范進(jìn)行相同位置圖像的關(guān)系論證．對(duì)知識(shí)點(diǎn)的充分理解和遷移是解題的關(guān)鍵．四．截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（共3小題）15．（21-22七年級(jí)下·遼寧阜新·期末）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=1【答案】(1)EF=BE+FD；(2)（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立，證明見(jiàn)解析；(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE-FD；證明見(jiàn)解析．【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．如圖2中，延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM，證明△ABM≌△ADFSAS和△AME≌△AFE（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE-FD．如圖3中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，證明△ABG≌△ADFSAS和△AEG≌△AEF本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，補(bǔ)角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADGSAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF，即∠GAF=∠BAE+∠DAF，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°，∴∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF，在△AGF和△AEF中，AF=AF∠GAF=∠EAF∴△AGF≌△AEFSAS∴FG=EF，∵FG=DF+DG，∴EF=BE+FD，故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖2中，延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADFSAS∴AF=AM，∠2=∠3，∵∠EAF=1∴∠2+∠4=1∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF，在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF∴△AME≌△AFESAS∴EF=ME，∵EF=BE+BM，∴EF=BE+DF（3）解：結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE-FD．證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF，在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF∴△ABG≌△ADFSAS∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∴∠GAE=∠EAF，∴AE=AE，∴△AEG≌△AEFSAS∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．16．（21-22八年級(jí)上·四川南充·期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求證：DA=DC．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；方法2：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，使得BN=BC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接AC，當(dāng)∠DAC=60°時(shí)，探究線段AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AB+BC=BD，見(jiàn)解析；（3）BC-AB=2CE，見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，證明△ABD≌△MBDSAS，得出∠A=∠BMD，AD=MD，進(jìn)而得出∠C=∠CMD，則DM=DC，等量代換即可得證；方法2：延長(zhǎng)AB到N，使BN=BC，連接DN，證明△NBD≌△CBDSAS，得出∠BND=∠C，ND=CD，進(jìn)而得出∠BND=∠NAD，則（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系為AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，連接AF，由1知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC為等邊三角形，證明△ABC≌△AFDSAS，得出DF=BC，進(jìn)而即可得證；方法2：延長(zhǎng)CB到P，使BP=BA，連接AP，由1知AD=CD，則△ADC，△ABP是等邊三角形，證明△PAC≌△BADSAS，得出（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC-AB=2CE，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，證明△DFA≌△DECAAS，Rt△BDF≌和Rt△BDE【詳解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，連接DM，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△MBD中，BD=BD∠ABD=∠MBD∴△ABD≌△MBDSAS∴∠A=∠BMD，AD=MD，∵∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°，∴∠C=∠CMD，∴DM=DC，∴DA=DC；方法2：延長(zhǎng)AB到N，使BN=BC，連接DN，∵BD平分∠ABC，∴∠NBD=∠CBD，在△NBD和△CBD中，BD=BD∠NBD=∠CBD∴△NBD≌△CBDSAS∴∠BND=∠C，ND=CD，∵∠NAD+∠BAD=180°，∠C+∠BAD=180°，∴∠BND=∠NAD，∴DN=DA，∴DA=DC；（2）AB，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系為AB+BC=BD．方法1：理由如下：如圖2，在BD上截取BF=AB，連接AF，由（1）知∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠DAC=180°，∵∠DAC=60°，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=∠DBC=60°，∴△ABF為等邊三角形，∴AB=AF=BF，∠BAF=60°，∵AD=DC，∴△ADC為等邊三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°，∴∠DAF=∠BAC，∴△ABC≌△AFDSAS∴DF=BC，∴BD=BF+DF=AB+BC．方法2：理由：延長(zhǎng)CB到P，使BP=BA，連接AP，由（1）知AD=CD，∵∠DAC=60°，∴△ADC是等邊三角形，∴AC=AD，∠ADC=60°，∵∠BCD+∠BAD=180°，∴∠ABC=360°-180°-60°=120°，∴∠PBA=180°-∠ABC=60°，∵BP=BA，∴△ABP為等邊三角形，∴∠PAB=60°，AB=AP，∵∠DAC=60°，∴∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠PAC=∠BAD，在△PAC和△BAD中，PA=BA∠PAC=∠BAD∴△PAC≌△BADSAS∴PC=BD，∵PC=BP+BC=AB+BC，∴AB+BC=BD；（3）線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC-AB=2CE．連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，∴∠FAD=∠C，在△DFA和△DEC中，∠DFA=∠DEC∠FAD=∠C∴△DFA≌△DECAAS∴DF=DE，AF=CE，在Rt△BDF和RtBD=BDDF=DE∴Rt∴BF=BE，∴BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，∴BC-BA=2CE．17．（22-23八年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求證：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)105°【分析】（1）在CD上截取CF=CB，連接AF，證明△BCA≌△FCASAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAC=∠FAC，進(jìn)而證明△ADF≌△ADESAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得∠B+∠E=∠CFA+∠AFD=180°，即可求解．【詳解】（1）解：在CD上截取CF=CB，連接AF．

∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠FCA．在△BCA和△FCA中，CB=CF∴△BCA≌△FCA∴AB=AF，∠BAC=∠FAC．又∵AB=AE，∴AF=AE．又∵∠CAD=1∴∠BAC+∠EAD=∠FAC+∠FAD，∴∠FAD=∠EAD．在△ADF和△ADE中，AF=AE∠FAD=∠EAD∴△ADF≌△ADE∴DE=DF．∴CD=CF+FD=BC+DE．（2）∵△BCA≌△FCA，∴∠B=∠CFA．∵△ADF≌△ADE，∴∠E=∠AFD．∴∠B+∠E=∠CFA+∠AFD=180°．∴∠E=180°-∠B=180°-75°=105°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．五．半角模型（共4小題）18．（20-21七年級(jí)下·上海嘉定·期末）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM=PN時(shí)，試說(shuō)明(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”)．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、【答案】(1)見(jiàn)解析(2)一定成立(3)MN=NC-BM【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到∠PBC=∠PCB=30°，進(jìn)而得到∠PBM=∠PCN=90°，證明Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)（2）延長(zhǎng)AC至H，使CH=BM，連接PH，證明△PBM≌△PCH，得到PM=PH，∠BPM=∠CPH，再證明△MPN≌△HPN(SAS)，得到MN=HN，即可得到答案；（3）在AC上截取CK=BM，連接PK，證明△PBM≌△PCH(SAS)，得到PM=PK，∠BPM=∠CPK，再證明△MPN≌△KPN(SAS)，得到MN=KN，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵∠BPC=120°，BP=CP，∴∠PBC=∠PCB=1∴∠PBM=∠PCN=90°，在Rt△PBM和RtPB=PCPM=PN∴Rt∴∠BPM=∠CPN=30°，∵∠MPN=60°，PM=PN，∴△PMN為等邊三角形，∴PM=PN=MN，在Rt△PBM中，∠BPM=30°∴BM=1同理可得，CN=1∴BM+CN=MN；（2）解：一定成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng)AC至H，使CH=BM，連接PH，，由（1）可知：∠PBM=∠PCN=90°，∴∠PCH=90°，∴∠PBM=∠PCH，在△PBM和△PCH中，BM=CH∠PBM=∠PCH∴△PBM≌△PCH(SAS)，∴PM=PH，∠BPM=∠CPH，∵∠BPM+∠CPN=60°，∴∠CPN+∠CPH=60°，∴∠MPN=∠HPN，在△MPN和△HPN中，PM=PH∠MPN=∠HPN∴△MPN≌△HPN(SAS)，∴MN=HN=BM+CN，故答案為：一定成立；（3）解：如圖，在AC上截取CK=BM，連接PK，，在△PBM和△PCK中，PB=PC∠PBM=∠PCK=90°∴△PBM≌△PCK(SAS)，∴PM=PK，∠BPM=∠CPK，∵∠BPM+∠BPN=60°，∴∠CPK+∠BPN=60°，∴∠KPN=60°，∴∠MPN=∠KPN，在△MPN和△KPN中，PM=PK∠MPN=∠KPN∴△MPN≌△KPN(SAS)，∴MN=KN，∵KN=NC-CK=NC-BM，∴MN=NC-BM．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（22-23八年級(jí)上·山西朔州·期末）（1）問(wèn)題背景：如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且∠EAF=60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，此時(shí)在指揮中心觀測(cè)到兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】（1）問(wèn)題背景：EF=FD+BE，理由見(jiàn)詳解；（2）探索延伸：成立，理由見(jiàn)詳解；（3）實(shí)際應(yīng)用：兩艦艇之間的距離為280海里【分析】（1）問(wèn)題背景：AB=AD，∠B=∠ADC=90°，DG=BE，可證△ABE≌△ADG，由AE=AG，∠GAD+∠DAF=∠EAF，AF為公共邊，可證△AEF≌△AGF，由此即可求解；（2）探索延伸：根據(jù)“問(wèn)題背景”的提示，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，由此即可求解；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖所示（見(jiàn)詳解），延長(zhǎng)EA，使得AC=BF，連接EF，證明△OAC≌△OBF(SAS)，△COE≌△FOE(SAS【詳解】解：（1）問(wèn)題背景：根據(jù)題意，在Rt△ABE，Rt∵AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌△ADG(SAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=120°-60°=60°，即∠FAD+∠DAG=∠GAF=60°，∴在△EAF，△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF=60°∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=GF=FD+DG=FD+BE，∴EF=FD+BE；（2）探索延伸：如圖所示，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE，△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG∵∠EAF=1∴∠BAE+∠FAD=∠BAD-∠EAF=∠BAD-1∴∠FAD+∠DAG=1∴∠EAF=∠FAG，在△EAF，△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=GF=FD+DG=FD+BE，∴EF=FD+BE，∴成立；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，延長(zhǎng)EA，使得AC=BF，連接EF，∵艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，艦艇乙沿北偏東50°的方向行駛，∴∠OAE=60°，∠OAC=120°，∠B=70°+50°=120°，∴在△OAC，△OBF中，OA=OB∠OAC=∠OBF=120°∴△OAC≌△OBF(SAS∴OF=OC，∠BOF=∠AOC，∵∠EOF=70°，∴∠BOF+∠AOE=∠AOB-∠EOF=140°-70°=70°，∴∠COE=∠BOF+∠AOE=70°，即∠COE=∠EOF，在△COE，△FOE中，OC=OF∠COE=∠FOE∴△COE≌△FOE(SAS∴EF=FC=AE+AC=AE+BF，∵艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)，∴AE=60×2=120，BF=80×2=160，∴EF=120+160=280（海里），∴兩艦艇之間的距離為280海里．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用，掌握作輔助線求證三角形全等，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（20-21七年級(jí)下·上海松江·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，點(diǎn)E、F分別在直線BC、CD上，且∠EAF=1(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1），請(qǐng)說(shuō)明EF=BE+FD的理由．(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不成立，EF=BE-FD，見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)EB至G，使BG＝DF，連接AG，通過(guò)證明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，進(jìn)而可說(shuō)明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，連接AM，通過(guò)證明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，進(jìn)而可得EF＝BE﹣FD．【詳解】（1）EF＝BE+DF，理由：延長(zhǎng)EB至G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝12∠BAD∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，AG=AF∠EAG=∠EAF∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠ABM=∠ADF∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝12∠BAD∴∠EAF＝12∠MAF∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，AM=AF∠EAM=∠EAF∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．（20-21九年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且∠MAN=45°，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，連接AM、AN、MN．(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°，連接MN，請(qǐng)寫(xiě)出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，請(qǐng)直接寫(xiě)出BN，DM，MN之間數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)MN=DM+BN(2)MN=BN-DM，證明見(jiàn)解析(3)MN=DM+BN【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）首先利用SAS證明△EAN≌△MAN，得（2）在BC上取BE=MD,連接AE，首先由△ABE≌△ADMSAS，得AE=AM，∠BAE=∠MAD，再利用SAS證明△EAN≌△MAN（3）將△ABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ADE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得點(diǎn)E、D、C共線，由（1）同理可得△EAM≌△NAMSAS，得EM=MN【詳解】（1）解：MN=DM+BN，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=∠D=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠DAM=∠BAE，∴∠ABE+∠ABC=180°，∴點(diǎn)E、B、C共線，∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠BAE+∠BAM=90°=∠EAM，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN，在△EAN和△MAN中，AE=AM∴△EAN≌△MANSAS∴EN=MN，∵EN=BE+BN，∴MN=DM+BN；（2）解：MN=BN-DM，證明如下：如圖，在BC上取BE=MD，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD，∵∠ADC+∠ADM=180°，∴∠ADC=∠ADM=∠ABE=90°，在△ABE和△ADM中，AB=AD∠ABE=∠ADM∴△ABE≌△ADMSAS∴AE=AM，∠BAE=∠MAD，∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∴∠DAM+∠EAD=∠EAM=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN，在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MAN∴△EAN≌△MANSAS∴EN=MN，∵EN=BN-BE，∴MN=BN-DM；（3）解：如圖，將△ABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ADE，∴∠B=∠ADE，AB=AD，AE=AN，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠ADE+∠ADC=180°，∴點(diǎn)E、D、C共線，∵∠BAN+∠NAD=∠BAD=120°，∴∠DAE+∠NAD=∠NAE=120°，∵∠MAN=60°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=60°=∠MAN，在△EAN和△MAN中，AE=AN∠EAM=∠NAM∴△EAM≌△NAMSAS∴EM=MN，∴MN=DM+BN．六．手拉手模型（共7小題）22．（21-22八年級(jí)上·廣東珠海·期中）如圖，△ABC是一個(gè)銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度數(shù)；(3)求證：AF平分∠DFE．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由△ABD、△ACE是等邊三角形，易證∠DAC=∠BAE，繼而可證△ABE≌△ADC；（2）由△ABE≌△ADC，得到∠AEB=∠ACD，進(jìn)一步得到∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作AH⊥DC于點(diǎn)H，AN⊥BE于點(diǎn)N，證明AH=AN，由【詳解】（1）證明：∵△ABD、△ACE是等邊三角形，∴DA=AB，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠AEB+∠CAE=∠ACD+∠EFC，∴∠EFC=∠CAE=60°；（3）證明：如圖，作AH⊥DC于點(diǎn)H，AN⊥BE于點(diǎn)∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE，∵∠AHD=∠ANB=90°，AD=AB，∴△AHD≌△ANB(AAS∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（20-21八年級(jí)上·云南昆明·期末）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）解決問(wèn)題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°，BE＝AD；（3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先判斷出∠BAD＝∠CAE，進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABC和△ADE均是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵∠CDE＝60°，∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案為：60°，BE＝AD；（3）AE＝BE+2CM，理由：同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．24．（20-21八年級(jí)上·山西陽(yáng)泉·期中）問(wèn)題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來(lái)了如下一道題目（原問(wèn)題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖①，△ACB和△∠CDE均為等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE．求證：∠CDE=∠BCE+∠CBE．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：小華說(shuō)：我做過(guò)一道類似的題目：如圖②，△ACB和△CDE均為等邊三角形，其他條件不變，求∠AEB的度數(shù)．（1）請(qǐng)聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫(xiě)出小華的題目要求．拓展研究：（2）如圖③，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CF為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)求∠AEB的度數(shù)及線段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；∠AEB=60°；（2）∠AEB=90°；AE=BE+2CF；理由見(jiàn)解析．【分析】（1）小雪的題目：先利用SAS證明△ADC?△BEC，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等量代換即可得證；小華的題目：先利用SAS證明△ADC?△BEC，再利用全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BEC，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠CDE=∠CED=60°，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念和角的和與差即可得出答案；（2）根據(jù)題意易證△ADC?△BEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的概念即可求得∠AEB的度數(shù)；然后根據(jù)三線合一即可得出CF=DF=EF，最后根據(jù)線段的和與差及等量代換即可得出答案．【詳解】（1）小雪的題目：證明：∵∠ACB=∠DCE∴∠ACD=∠BCE在△ADC和△DCE中，CA=CB∴△ADC?△BEC∴∠CAD=∠CBE又∵∠ACD=∠BCE,∠CDE=∠CAD+∠ACD∴∠CDE=∠CBE+∠BCE；小華的題目：解：∵∠ACB=∠DCE∴∠ACD=∠BCE在△ADC和△DCE中，CA=CB∴△ADC?△BEC∴∠ADC=∠BEC∵△CDE為等邊三角形∴∠CDE=∠CED=60°又∵點(diǎn)A、D、E在同一條直線上∴∠ADC=∠BEC=120°∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°（2）∠AEB=90°；AE=BE+2CF；理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB即∠ACD=∠BCE在△ADC和△DCE中，CA=CB∴△ADC?△BEC∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∵點(diǎn)A、D、E在同一直線上∴∠ADC=180°-45°=135°∴∠BEC=135°∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°∵∠DCE=90°∴CF=DF=EF∴DE=DF+EF=2CF∴AE=AD+DE=BE+2CF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25．（23-24七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若∠AOB=∠COD=60°，連接AC、BD交于點(diǎn)P；(1)求證∶△AOC≌△BOD．(2)求∠APB的度數(shù)．(3)如圖（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，點(diǎn)D是射線AB上的一點(diǎn)，連接CD，在直線AB上方作以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角△CDE，連接BE，若BD=4cm，求【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°(3)BE=10cm或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意得出∠AOC=∠BOD，即可證明△AOC≌△BODSAS（2）根據(jù)題意可得△AOB是等邊三角形，根據(jù)（1）的結(jié)論可得∠OAC=∠OBD，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（3）分情況討論，當(dāng)D在線段AB上時(shí)，當(dāng)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△CAD≌△CBESAS，得出AD=BE【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD