清單01 有理數(shù)（13個題型解讀）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages4343頁清單01有理數(shù)（13個題型解讀）【考點題型一】有理數(shù)的分類例1：（24-25七年級上·廣東茂名·期中）在下列數(shù)，，，，0，中，負有理數(shù)有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，與0比較，負有理數(shù)小于0是解本題的關鍵．根據(jù)負有理數(shù)是小于0的有理數(shù)，可判斷負有理數(shù)的個數(shù)．【詳解】解：在數(shù)13，，，，0，中，負有理數(shù)有，，一共2個．故選：A．【變式1-1】（24-25七年級上·江蘇連云港·期中）下列關于有理數(shù)的描述：（

）①有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；②0是非負有理數(shù)；③0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，由此可知0不是有理數(shù)；④一個有理數(shù)如果不是整數(shù)，那么它一定是分數(shù)．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的相關概念和分類．根據(jù)有理數(shù)分為：整數(shù)和分數(shù)或者分為：正有理數(shù)，0，負有理數(shù)解答即可，熟記這些內(nèi)容是解題關鍵．【詳解】解：有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，故①正確；0是非負有理數(shù)，故②正確；0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，是有理數(shù)，故③錯誤；一個有理數(shù)如果不是整數(shù)，那么它一定是分數(shù)，故④正確．綜上可知正確的個數(shù)是3個．故選C．【變式1-2】（24-25七年級上·福建泉州·期中）如圖，下面兩個圈分別表示負數(shù)集和分數(shù)集，(1)請你把下列各數(shù)填入它所在的數(shù)集的圈里；2016，，，，，，，，(2)如圖，這兩個圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合？【答案】(1)見解析(2)這兩個圈的重疊部分表示負分數(shù)集合【分析】此題考查了有理數(shù)的分類．（1）根據(jù)負數(shù)和分數(shù)的定義填表即可；（2）根據(jù)負分數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意如圖：（2）解：這兩個圈的重疊部分表示既是負數(shù)又是分數(shù)，也就是負分數(shù)集合．【變式1-3】（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習）把下列各數(shù)填在相應的大括號內(nèi)：．正分數(shù)集合：______；整數(shù)集合：______；正有理數(shù)集合：______．【答案】；；【分析】本題考查有理數(shù)的分類，分別根據(jù)正分數(shù)、整數(shù)、正有理數(shù)的定義進行分類即可【詳解】解：正分數(shù)集合：；整數(shù)集合：；正有理數(shù)集合：．故答案為：；；．【考點題型二】有理數(shù)的大小比較例2：（24-25七年級上·四川廣安·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，根據(jù)，得出，則，即可作答．【詳解】解：由數(shù)軸得，∴，∴，故選：C【變式2-1】（24-25七年級上·江蘇徐州·期中）有理數(shù)大小比較的歷史可以追溯到古希臘和古印度時期，下列各組有理數(shù)大小比較，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，化簡絕對值和多重符號，先化簡各個數(shù)字，再比較大小即可．【詳解】解：A．∵，∴，故不正確；B．∵，∴，故不正確；C．∵，∴，故正確；

D．∵，∴，故不正確；故選C．【變式2-2】（24-25七年級上·山西朔州·期中）如圖，檢測排球的質(zhì)量，超過標準質(zhì)量的克數(shù)記作正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記作負數(shù)．下列已經(jīng)檢測出的4個排球的質(zhì)量中，最接近標準質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)，絕對值，有理數(shù)比較大小，解題的關鍵是明確正數(shù)和負數(shù)在題目中表示的實際意義．求出超過標準的克數(shù)和低于標準的克數(shù)的絕對值，絕對值小的則是最接近標準的球．【詳解】解：通過求4個排球的絕對值得：，．的絕對值最?。赃@個球是最接近標準的球．故選：B．【變式2-3】（2024七年級上·全國·專題練習）液體沸騰時的溫度叫作沸點，下表是幾種物質(zhì)在標準大氣壓下的沸點：物質(zhì)液態(tài)一氧化碳液態(tài)甲醛酒精食用油沸點則沸點最低的物質(zhì)是（

）A．液態(tài)一氧化碳 B．液態(tài)甲醛 C．酒精 D．食用油【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，比較出各數(shù)的大小即可判斷求解，掌握有理數(shù)的大小比較法則是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴液態(tài)一氧化碳沸點最低，故選：．【變式2-4】（24-25七年級上·江蘇蘇州·期中）比較大小：．（請在橫線上填入“>”、“<”、或“=”）【答案】<【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值越大的負數(shù)反而越小，據(jù)此即可作答．【詳解】解：依題意，，∵，∴，故答案為：<．【變式2-5】（24-25七年級上·廣東茂名·期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把下列各數(shù)用“”號連接起來．，，，，0．【答案】見解析，【分析】本題考查了絕對值、數(shù)軸和比較有理數(shù)的大小等知識，熟練掌握有理數(shù)的基本知識是解題的關鍵．先化簡，再在數(shù)軸上表示，然后即可比較大?。驹斀狻拷猓?，如圖：．大小關系如下：．【考點題型三】相反數(shù)與相反數(shù)的應用例3：（23-24七年級上·湖南衡陽·期末）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵；求一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上一個負號即可．【詳解】解：的相反數(shù)是；故選：B．【變式3-1】（24-25七年級上·福建泉州·期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】本題考查了相反數(shù)，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此判斷即可．【詳解】解：A、，，不互為相反數(shù)，故此選項不符合題意；B、，，不互為相反數(shù)，故此選項不符合題意；C、與不互為相反數(shù)，故此選項不符合題意；D、，，互為相反數(shù)，故此選項符合題意；故選：D．【變式3-2】（24-25七年級上·廣東肇慶·期中）數(shù)軸上表示a，b的點如圖所示，把，，，按照從小到大的順序排列為．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸上點表示數(shù)，相反數(shù)的意義，利用數(shù)軸比較大?。仍跀?shù)軸上表示出，，然后根據(jù)數(shù)軸上點的特點越向右越大得出答案即可．【詳解】解：將，在數(shù)軸上表示出來，如圖，由數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，得．故答案為：．【變式3-3】（24-25七年級上·江蘇蘇州·期中）若m、n為相反數(shù)，且滿足，則m的值為．【答案】3【分析】由、為相反數(shù)得出，再根據(jù)即可求出的值．本題考查了相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：、為相反數(shù)，則，，∴解得，故答案為：3．【變式3-4】（24-25七年級上·浙江紹興·期中）如圖，點Q、P、R、S、T在數(shù)軸上（單位長度為1）．(1)如果點R表示原點，點P表示的數(shù)是______，點S表示的數(shù)是______，點T表示的數(shù)是______；(2)如果點R、T表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點Q和點R到原點的距離的和．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了利用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點之間的距離、相反數(shù)的定義，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．（1）根據(jù)點R表示原點并結(jié)合數(shù)軸即可得解；（2）由相反數(shù)的定義結(jié)合數(shù)軸得出點R表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，從而得出點Q表示的數(shù)為，即可得解．【詳解】（1）解：如果點R表示原點，點P表示的數(shù)是，點S表示的數(shù)是，點T表示的數(shù)是；（2）解：∵點R、T表示的數(shù)互為相反數(shù)，點R、T之間的距離為6，∴點R表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∴點Q表示的數(shù)為，∴點Q和點R到原點的距離的和．【考點題型四】絕對值及其應用例4：（2024七年級上·全國·專題練習）的絕對值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進行求解即可．【詳解】解：的絕對值是，，故選：C．【變式4-1】（24-25七年級上·福建泉州·期中）如果為有理數(shù)，式子存在最大值，這個最大值是（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】A【分析】本題考查的是絕對值的非負性的含義，理解是解本題的關鍵．根據(jù)絕對值的非負性得到，進而求解即可．【詳解】解：∵為有理數(shù)，式子存在最大值，∵∴∴∴的最大值是2024．故選：A．【變式4-2】（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）已知，，，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)比較大小的方法，掌握絕對值的性質(zhì)化簡，有理數(shù)比較大小的方法是解題的關鍵．根據(jù)題意，分別化簡得出具體數(shù)值，再比較大小的方法“正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)”進行判定即可．【詳解】解：，，，∴，故選：A．【變式4-3】（23-24七年級下·河北保定·期中）如圖所示，四個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點分別是，且點與點表示的數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最小的數(shù)對應的點是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】本題主要考查了相反數(shù)的意義和絕對值的意義，掌握相關知識是解答關鍵．先根據(jù)點與點表示的數(shù)互為相反數(shù)，確定原點在點與點之間，再結(jié)合數(shù)軸觀察哪一個點距離原點最近來求解．【詳解】解：點與點表示的數(shù)互為相反數(shù)，原點在點與點之間．距離原點最近，圖中表示絕對值最小的數(shù)的點是點．故選：C．【變式4-4】（24-25七年級上·河南安陽·期中）如果，那么．【答案】【分析】本題主要查了求一個數(shù)的絕對值．根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答，即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：【變式4-5】（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）把下列各數(shù)表示的點畫在數(shù)軸上，并用“”把這些數(shù)連接起來，，0，，【答案】數(shù)軸表示見解析，【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，計算絕對值和化簡多重符號，先計算絕對值和化簡多重符號，再在數(shù)軸上表示出各數(shù)，最后根據(jù)正方向向右的數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用大于號將各數(shù)連接起來即可．【詳解】解：，，數(shù)軸表示如下所示：∴．【考點題型五】有理數(shù)加法例5：（24-25七年級上·廣西玉林·期中）在古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了利用算籌實施“正負術”的方法．圖1表示的是計算的過程．按照這種方法，圖2表示的過程應是在計算（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正負數(shù)的實際應用，由圖1可以看出白色表示負數(shù)，黑色表示正數(shù)是解題的關鍵．先由圖1可得白色表示負數(shù)，黑色表示正數(shù)，然后觀察圖2列式即可．【詳解】解：由圖1知：白色表示負數(shù)，黑色表示正數(shù)，∴圖2表示的過程是在計算．故選A．【變式5-1】（24-25七年級上·天津北辰·期中）計算的結(jié)果等于（）A．2 B． C．8 D．1【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算法則，掌握有理數(shù)的加法運算法則是解題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則計算即可．【詳解】解：．故選：B．【變式5-2】（24-25七年級上·吉林松原·階段練習）某地一天早晨的氣溫是，到了中午，氣溫上升了，則中午的氣溫是（

）A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃【答案】C【分析】本題主要考查正負數(shù)的定義，熟練掌握正負數(shù)的實際意義是解題的關鍵．根據(jù)正負數(shù)的實際意義進行解題即可．【詳解】解：，故某地一天早晨的氣溫是℃，到了中午，氣溫上升了10℃，則中午的氣溫是8℃．故選C．【變式5-3】（24-25七年級上·安徽阜陽·期中）若數(shù)軸上點對應的數(shù)是，將點向右移動個單位長度，此時點表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加法，計算即可求解．【詳解】解：依題意，故答案為：．【變式5-4】（24-25七年級上·湖北襄陽·期中）溫度由上升是．【答案】3【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法的實際應用，用原來的溫度加上上升的溫度即可得到答案．【詳解】解：，∴溫度由上升是，故答案為：3．【變式5-5】（24-25七年級上·重慶·期中）在抗洪搶險中，搶險隊員駕駛的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災民，早晨從地出發(fā)，晚上到達地，約定向東為正方向，當天的航行路程記錄如下（單位：千米）：，，，，，，，．(1)救災過程中，沖鋒舟離出發(fā)點最遠處距離地______千米．(2)請你幫忙確定地相對于地的方位，距離地多少千米．(3)若沖鋒舟每千米耗油升，油箱容量為升，求沖鋒舟當天救災過程中至少還需補充多少升油．【答案】(1)(2)地在地的東邊，距離地千米，過程見解析(3)升，過程見解析【分析】本題主要考查了正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)加減法的實際應用，有理數(shù)四則混合計算的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．（1）分別算出每次航行后離出發(fā)點的位置即可得到答案；（2）將所給的路程記錄相加；（3）先求出總路程，再求出總油耗即可得到答案．【詳解】（1）解：路程記錄中各點離出發(fā)點的距離分別為：千米，千米，千米，千米，千米，千米，千米，千米，救災過程中，沖鋒舟離出發(fā)點最遠處有千米；（2）解：，，；地在地的東邊，距離地千米；（3）解：，，，，若沖鋒舟每千米耗油升，油箱容量為升，求沖鋒舟當天救災過程中至少還需補充升油．【考點題型六】加法運算律例6：（2024七年級上·黑龍江·專題練習）小磊在解題時，將式子先變成，再計算結(jié)果，則小磊運用了（

）A．加法交換律 B．加法交換律和加法結(jié)合律 C．加法結(jié)合律 D．無法判斷【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算律，根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律即可求解，熟練掌握加法交換律和加法結(jié)合律是解題的關鍵．【詳解】解：將式子先變成，再計算結(jié)果，則小磊運用了加法交換律和加法結(jié)合律，故選：．【變式6-1】（2024七年級上·全國·專題練習）計算的結(jié)果為（）A． B． C．49 D．50【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)加法運算，利用結(jié)合律恒等變形，逐個求解即可得到簡便運算方法，熟練掌握有理數(shù)加法運算法則及運算律是解決問題的關鍵．【詳解】解：，故選：A．【變式6-2】（2024七年級上·全國·專題練習）根據(jù)加法的交換律，式子（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查加法交換律．根據(jù)題意利用加法交換律可得，繼而得到本題答案．【詳解】解：∵，故選：A．【變式6-3】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)加法運算，涉及加法運算律，先由有理數(shù)加法交換律及結(jié)合律恒等變形，再由有理數(shù)加法運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．【變式6-4】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)加法運算，涉及加法運算律，熟練掌握有理數(shù)加法運算法則是解決問題的關鍵．（1）先由加法交換律和結(jié)合律恒等變形，再由有理數(shù)加法運算法則求解即可得到答案；（2）先將小數(shù)化為分數(shù)，再由加法交換律和結(jié)合律恒等變形，最后由有理數(shù)加法運算法則求解即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【考點題型七】有理數(shù)的減法運算例7：（24-25七年級上·江蘇徐州·期中）點A是數(shù)軸上一個點，若將點A先向左移動8個單位，再向右移動10個單位，終點恰好是原點，則點A表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點距離計算，有理數(shù)的加減計算，根據(jù)向右移動為加，向左移動為減列式求解即可．【詳解】解：，∴點A表示的數(shù)是，故答案為：．【變式7-1】（24-25七年級上·陜西寶雞·期中）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減計算，直接根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可．【詳解】解：．【變式7-2】（24-25七年級上·河南鄭州·期中）下表列出了國外幾個城市與北京的時差．2024年巴黎奧運會網(wǎng)球女單決賽時間為當?shù)貢r間8月3日，小紅在北京觀看電視直播的時間為．（甲城市與乙城市的時差為兩城市同一時刻的時數(shù)之差，如當北京時間為，東京時間為，那么東京與北京的時差為）城市紐約巴黎東京芝加哥時差/h【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)減法的應用，正負數(shù)的實際意義，理解時差的含義是解題關鍵．根據(jù)巴黎與北京的時差為，即可求解．【詳解】解：2024年巴黎奧運會網(wǎng)球女單決賽時間為當?shù)貢r間8月3日，巴黎與北京的時差為，則小紅在北京觀看電視直播的時間為時分時時分，即北京時間，故答案為：．【變式7-3】（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點，，，其中點到點的距離為3，點到點的距離為8，設點，，所表示的數(shù)的和是．(1)若以為原點，則數(shù)軸上點所表示的數(shù)是________；若以為原點，則________；(2)若點到原點的距離為4，求的值．【答案】(1)3，5(2)或17【分析】本題主要數(shù)軸上點表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間距離的計算，掌握數(shù)軸上點與有理數(shù)的關系，兩點之間距離的計算方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸特點進行計算即可求解；（2）根據(jù)題意，分類討論：當原點在點的左邊時；當原點在點的右邊時；結(jié)合數(shù)軸上兩點之間距離的計算即可求解．【詳解】（1）解：以為原點時，∵點到點的距離為3，∴點所表示的數(shù)是3，以為原點時，則點表示的數(shù)是，點到點的距離為8，∴點表示的數(shù)是8，∵點，，所表示的數(shù)的和是，∴，故答案為3；5．（2）解：當原點在點的左邊時，點到原點的距離為4，∴點表示的數(shù)為，∵點到點的距離為3，∴點表示的數(shù)為，∵點到點的距離為8，∴點表示的數(shù)為，∴；當原點在點的右邊時，∴，，三點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為，，4，∴；綜上所述，的值為或17．【考點題型八】有理數(shù)的乘法例8：（24-25七年級上·福建福州·期中）．【答案】/【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法．根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可求解．【詳解】解：．故答案為：．【變式8-1】（16-17七年級上·湖南長沙·期中）下列運算錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了兩個有理數(shù)的乘法運算，多個有理數(shù)的乘法運算等知識點，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．按照有理數(shù)的乘法運算法則逐項計算并判斷即可．【詳解】解：A.，計算正確，故選項不符合題意；B.，原計算錯誤，故選項符合題意；C.，計算正確，故選項不符合題意；D.，計算正確，故選項不符合題意；故選：．【變式8-2】（2024七年級上·全國·專題練習）下面各組式子的積在和之間的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的乘法，比較有理數(shù)的大小，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關鍵．先依據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算，然后再比較大小即可．【詳解】解：A、，，故A錯誤；B、，，故B正確；C、，，故C錯誤；D、，，故D錯誤；故選：B【變式8-3】（24-25七年級上·廣西南寧·期中）若為有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的位置如圖所示，以下計算正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的四則運算，先根據(jù)數(shù)軸得到，再根據(jù)有理數(shù)四則運算法則求解判斷即可．【詳解】解：由題意得，，∴，，，∴四個選項中只有A選項計算正確，符合題意；故選：A．【變式8-4】（24-25七年級上·山東濟南·開學考試）年月日至年月日期間購買的新能源汽車免征車輛購置稅，每輛新能源車最高免稅額是萬元．車輛購置稅車輛計稅價格，陽陽家購買了一輛新能源車，計稅價格為萬元，應繳納（）元購置稅．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)乘法、減法的應用，根據(jù)題意，可以列出算式，然后計算即可，明確題意，列出相應的算式是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，陽陽家購買的新能源車應繳納購置稅為：（元），故選：．【變式8-5】（24-25七年級上·浙江溫州·期中）小溫與小周在玩數(shù)字游戲，現(xiàn)有5張寫著不同數(shù)字的卡片，小溫請小周按要求抽出卡片，完成下列各問題：

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，請列式計算出最大值．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，請列式計算出最大值．【答案】(1)11；(2)14．【分析】本題考查了有理數(shù)減法法則和有理數(shù)乘法的計算，熟練掌握有理數(shù)減法法則和乘法法則是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)兩數(shù)相減，用最大的數(shù)減去最小的數(shù)差最大，找出并計算即可；（2）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，正數(shù)大于負數(shù)抽取計算即可；．【詳解】（1）解：抽取卡片上的數(shù)字分別為4和這2張，2張卡片上數(shù)字差的最大值為；（2）解：抽取卡片上的數(shù)字分別為和這2張，2張卡片上數(shù)字積的最大值為；【考點題型九】有理數(shù)的乘法運算律例9：（23-24七年級上·江蘇連云港·開學考試）觀察下圖，它的計算過程可以解釋（

）這一運算規(guī)律．

A．加法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．乘法交換律 D．乘法分配律【答案】D【分析】本題考查了乘法運算律，根據(jù)圖形得出，即可得解．【詳解】解：由圖可得：，故它的計算過程可以解釋乘法分配律這一運算過程，故選：D．【變式9-1】（24-25七年級上·河北石家莊·期中）若，則的值可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是乘法的分配律，利用乘法的分配律把原式化為，再展開代入即可得到答案.【詳解】解：故選：B．【變式9-2】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，乘法運算律，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關鍵；將化為，然后乘以，即可求解；【詳解】解：，，故答案為：【變式9-3】（22-23六年級下·上海虹口·期中）計算：【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算．利用乘法分配律進行展開計算即可．【詳解】解：【變式9-4】（24-25八年級上·浙江杭州·期中）簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）先變形，然后根據(jù)乘法分配律計算即可；（2）先把減法轉(zhuǎn)化為加法，再逆用乘法分配律計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：．【考點題型十】倒數(shù)例10：（24-25七年級上·廣東韶關·期中）的倒數(shù)是（

）A． B．-2 C． D．2【答案】C【分析】主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握．需要注意的是倒數(shù)的性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù)．倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．根據(jù)倒數(shù)的概念求解．【詳解】解：的倒數(shù)是．故選：C．【變式10-1】（24-25六年級上·山東淄博·期中）若數(shù)的倒數(shù)的相反數(shù)為，則數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵的相反數(shù)為，的倒數(shù)為，∴，故選：A．【變式10-2】（2024七年級上·全國·專題練習）下列各對數(shù)中，互為倒數(shù)的一對是（

）A．4和 B．和 C．和 D．0和0【答案】B【分析】本題主要考查倒數(shù)，倒數(shù)的定義：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)和相反數(shù)的定義逐一判斷可得．【詳解】解：A、4和互為相反數(shù)，此選項不符合題意；B、和互為倒數(shù)，此選項符合題意；C、和不是互為倒數(shù)，此選項不符合題意；D、0沒有倒數(shù)，此選項不符合題意；故選：B．【變式10-3】（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，則的值是．【答案】【分析】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，有理數(shù)加減運算等知識點的應用，直接利用相反數(shù)以及互為倒數(shù)的性質(zhì)得出x+y=0，，然后代入即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，∴，，∴，故答案為：．【考點題型十一】有理數(shù)的乘方運算例11：（24-25七年級上·云南昭通·期中）下列說法正確的是（

）A．的底數(shù)是 B．表示5個2相加C．與意義相同 D．的指數(shù)是3【答案】D【分析】根據(jù)乘方的意義，底數(shù)，指數(shù)的意義解答即可．本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解題的關鍵．【詳解】解：A.的底數(shù)是，原說法錯誤，不符合題意；

B.表示5個2相乘，原說法錯誤，不符合題意；C.表示3個相乘，表示3個3相乘的相反數(shù)，原說法錯誤，不符合題意；

D.的指數(shù)是3，原說法正確，符合題意；故選：D．【變式11-1】（24-25七年級上·山東淄博·期中）下列各對數(shù)中，相等的一對數(shù)是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方計算，以及化簡多重符號，化簡絕對值，正確的化簡各數(shù)是解題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方計算，以及化簡多重符號，化簡絕對值，進而即可求解．【詳解】解：A、與，故該選項不正確，不符合題意；B、與，故該選項不正確，不符合題意；C、，，則與相等，故該選項正確，符合題意；D、與，故該選項不正確，不符合題意．故選：C．【變式11-2】（24-25七年級上·湖北恩施·期中）已知有理數(shù)a，b滿足，則．【答案】1【分析】本題考查絕對值的非負性及完全平方的非負性，根據(jù)非負式子和為0，它們分別等于0求解即可得到答案；【詳解】解：∵，，，∴，，∴，，∴，故答案為：1．【變式11-2】（2024七年級上·全國·專題練習）［傳統(tǒng)文化］《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完．第1天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半．若按此方式截一根長為1的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度是．【答案】/【分析】本題主要考查分數(shù)乘法的應用以及乘方的意義，熟練掌握乘方的意義是解題的關鍵．根據(jù)分數(shù)乘法的意義求得剩下的長度即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，第一次截取后剩余長度為，第二次截取后剩余長度為，第三次截取后剩余長度為，第次截取后剩余長度為，故第5天截取后木棍剩余的長度是．故答案為：．【變式11-3】（23-24七年級上·浙江湖州·期中）如圖，有4張寫著數(shù)字的卡片：，將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除、乘方混合運算，結(jié)果為24（要求每個數(shù)字只能用一次，例如：），請寫出另一個符合條件的算式：．【答案】【分析】此題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．利用“”，再寫出符合要求的式子即可．【詳解】解：由題意可得，符合要求的運算式子為：，故答案為：.【變式11-4】（24-25七年級上·湖南永州·期中）計算題：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則．（1）利用乘法分配律展開，再進一步計算即可；（2）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減即可；（3）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減即可．【詳解】（1）解：

；（2）；（3）原式．【考點題型十二】有理數(shù)的除法運算例12：（重慶市巴蜀中學教育集團2024-2025學年七年級上學期半期考試數(shù)學試題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的加減乘除的運算，根據(jù)運算法則逐一計算判斷即可．【詳解】解：A、，原計算錯誤，該選項不符合題意；B、，原計算錯誤，該選項不符合題意；C、，原計算錯誤，該選項不符合題意；D、，正確，該選項符合題意；故選：D．【變式12-1】（24-25七年級上·甘肅金昌·期中）計算的結(jié)果是（

）A．0 B．2024 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查有理數(shù)的除法，根據(jù)“零除以零以外的任何數(shù)都得零”解答即可．【詳解】解：故選：A．【變式12-2】（24-25七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）計算：的結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】此題考查有理數(shù)的乘除運算，關鍵是根據(jù)有理數(shù)的除法和乘法法則計算．根據(jù)有理數(shù)的除法和乘法計算即可．【詳解】解：．故選：B．【變式12-3】（24-25七年級上·吉林白城·階段練習）如圖，小天有5張寫著不同數(shù)的卡片，從中抽出2張卡片，使卡片上的數(shù)相除，所得到的商最小，最小的商是．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)除法計算，要使兩張卡片上的數(shù)字的商最小，在保證兩個數(shù)的為一正一負數(shù)的情況下要保證這兩個數(shù)的絕對值是5個數(shù)中除0外最大和最小的，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵要使兩張卡片上的數(shù)字的商最小，∴在保證兩個數(shù)的為一正一負數(shù)的情況下要保證這兩個數(shù)的絕對值是5個數(shù)中除0外最大和最小的，∴根據(jù)題意可選擇一正一負，∴當選擇這兩張卡片時，商最小為，故答案為：．【變式12-4】（2024七年級上·遼寧·專題練習）閱讀下面解題過程并解答問題：計算：．解：原式（第一步）（第二步）．（第三步）(1)上面解題過程有兩處錯誤：第一處錯誤是第______步，錯誤原因是______；第二處錯誤是第______步，錯誤原因是______；(2)請寫出正確的結(jié)果：______．【答案】(1)二，沒有按照同級運算從左至右運算，三，符號弄錯(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運