2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題20 空間向量與立體幾何（八大題型+模擬精練）（原卷版）

專(zhuān)題20空間向量與立體幾何（八大題型+模擬精練）目錄：01空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算02空間向量的數(shù)量積03空間向量的基本定理04空間向量的坐標(biāo)表示05利用空間向量判斷位置關(guān)系06利用空間向量求角度07利用空間向量求距離08空間向量與立體幾何解答題01空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇常州·期中）如圖，在正三棱柱中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．3．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）下列命題正確的是（

）A．若是空間任意四點(diǎn)，則有B．若表示向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)，則向量一定不共面C．若共線(xiàn)，則表示向量與的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線(xiàn)的三點(diǎn)、、，若（其中、、），則、、、四點(diǎn)共面4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如圖，三棱柱中，分別為中點(diǎn)，過(guò)作三棱柱的截面交于，且，則的值為（

）A． B． C． D．102空間向量的數(shù)量積5．（23-24高二下·湖北·期末）空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·福建龍巖·期中）如圖，在斜三棱柱中，，，，則（

）A．48 B．32 C． D．7．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．03空間向量的基本定理9．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，在四面體OABC中，，，，若，且∥平面ABC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．211．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）以等腰直角三角形斜邊上高為折痕，把和折成的二面角.若，，則最小值為（

）A． B． C． D．04空間向量的坐標(biāo)表示12．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱錐中，，，兩兩垂直，且.若為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．14．（23-24高二下·福建·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(含頂點(diǎn))，則滿(mǎn)足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．12 C．18 D．2405利用空間向量判斷位置關(guān)系15．（23-24高二下·甘肅·期中）已知平面外的直線(xiàn)l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．l與斜交 B． C． D．16．（23-24高三下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）空間四邊形中分別為的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.四邊形為平面四邊形且其法向量為.下列論述錯(cuò)誤項(xiàng)為（

）A．，則//平面B．，則平面C．，則四邊形為矩形.D．，則四邊形為矩形.17．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，動(dòng)點(diǎn)在平面上，且平面，線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．18．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)為平面與平面的交線(xiàn)，現(xiàn)有如下說(shuō)法①不存在點(diǎn)，使得平面②存在點(diǎn)，使得平面③當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面④當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面其中正確的說(shuō)法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④06利用空間向量求角度19．（23-24高二下·福建廈門(mén)·期末）在四面體中，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．20．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線(xiàn)與BD所成的角為90°B．線(xiàn)段的長(zhǎng)度為C．直線(xiàn)與所成的角為90°D．直線(xiàn)與平面ABCD所成角的正弦值為21．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線(xiàn)和所成角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．07利用空間向量求距離22．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）平行六面體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．23．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為正方形和正方形的中心，則點(diǎn)到平面的距離為.24．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊使得△ACD垂直于底面ABC，則異面直線(xiàn)AD與BC的距離為．25．（24-25高二上·上海·單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則與平面的位置是．26．（19-20高二·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.08空間向量與立體幾何解答題27．（24-25高三上·湖南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，是側(cè)棱的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)求銳二面角的余弦值.28．（23-24高二下·上海·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：；(2)當(dāng)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離.29．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．30．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動(dòng)點(diǎn)，為圓柱的一條母線(xiàn)，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.(1)求證：；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值.一、單選題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．3．（2024·山西·三模）正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．4．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿(mǎn)足，，，則直線(xiàn)CE與DF所成的角為（

）A． B． C． D．5．（2024·山東日照·二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形，，將沿對(duì)角線(xiàn)折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，四面體的體積為，則對(duì)，的最小值是（

）A． B． C． D．68．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·河北承德·二模）如圖，在正四棱柱中，是棱的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．是平面的一個(gè)法向量B．C．點(diǎn)到平面的距離為D．二面角的正弦值為10．（2024·山東濱州·二模）圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若分別沿，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使、兩點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則在四面體中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．到直線(xiàn)的距離為C．三棱錐外接球的半徑為D．直線(xiàn)與所成角的余弦值為11．（2024·江西宜春·三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)P是棱的中點(diǎn)，Q是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），M是正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，使B．當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，必存在點(diǎn)M，使C．三棱錐的體積存在最大值和最小值D．直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的取值范圍是三、填空題12．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為.13．（2024·河南·一模）三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段，上運(yùn)動(dòng).若二面角的大小為，則的最小值為.14．（2024·山東青島·一模）已知球O的表面積為，正四面體ABCD的頂點(diǎn)B，C，D均在球O的表面上，球心O為的外心，棱AB與球面交于點(diǎn)P．若平面，平面，平面，平面，且與之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與交于點(diǎn)Q，R，則的周長(zhǎng)為.四、解答題15．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直四棱柱中，.

(1)證明：平面；(2)求與平面所成的角的正弦值.16．（2024·青海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，，M為AC的中點(diǎn)，．(1)證明：．(2)若，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.17．（2024·山東煙臺(tái)·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求二面角的余弦值.18．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行翻折，得到如圖2所示的三棱錐，且.(1)求翻折后線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)滿(mǎn)足，求與平面所成角的正弦值.19．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為直角梯形，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，且，，.(1)若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若平面平面，且，在線(xiàn)段上是否存在