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文檔簡介
2025屆安徽省重點(diǎn)中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),是非零向量,若對(duì)于任意的,都有成立,則A. B. C. D.2.集合的子集的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.83.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.164.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.5.不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?,則()A., B.,C., D.,6.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.07.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.2339.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.610.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.1111.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.2 C. D.12.已知點(diǎn)、.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.14.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.15.正方體中,是棱的中點(diǎn),是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn),且平面,記與的軌跡構(gòu)成的平面為.①,使得;②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為;④正方體的各個(gè)側(cè)面中,與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).其中正確命題的序號(hào)是________.(寫出所有正確命題的序號(hào))16.已知函數(shù),則不等式的解集為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別為,,的面積.(1)求角C;(2)求周長的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為,求的面積.20.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面積的最大值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.22.(10分)在中,、、分別是角、、的對(duì)邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當(dāng),即時(shí),最小,滿足,對(duì)于任意的,所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點(diǎn)到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
先確定集合中元素的個(gè)數(shù),再得子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意,有三個(gè)元素,其子集有8個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問題,含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè),其中真子集有個(gè).3、C【解析】
根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.4、B【解析】
可解出集合,然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算,涉及一元二次不等式的求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
根據(jù)題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設(shè),分析的幾何意義,可得的最小值,據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,
設(shè),則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,
由圖可得:當(dāng)過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,即,當(dāng)過點(diǎn)原點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最小,即,故AB錯(cuò)誤;
設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,由圖可得最大可到無窮大,最小可到無窮小,故C錯(cuò)誤,D正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用,關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí),屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=8、C【解析】
計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.9、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡單題.11、D【解析】
將多項(xiàng)式的乘法式展開,結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng),即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡單應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點(diǎn)到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可解得的值,即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入數(shù)列的表達(dá)式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前項(xiàng)和,再代入不等式進(jìn)行計(jì)算可得最小正整數(shù)的值.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.則,.,,成等差數(shù)列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.滿足的最小正整數(shù)的值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和,考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想,考查了不等式的計(jì)算、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解析】
求出的范圍,再由函數(shù)值為零,得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】詳解:由題可知,或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.15、①②③④【解析】
取中點(diǎn),中點(diǎn),中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,進(jìn)而求解;③由,取為中點(diǎn),則,則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解;④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點(diǎn),連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得,所以平面平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以,又因?yàn)?所以,故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),直線與直線所成角最小,此時(shí),;當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),直線與直線所成角最大,此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確;③與平面的交線為,且,取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個(gè)側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確.故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】
,,分類討論即可.【詳解】由已知,,,若,則或解得或,所以不等式的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,涉及到解一元二次不等式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由可得到,代入,結(jié)合正弦定理可得到,再利用余弦定理可求出的值,即可求出角;(Ⅱ)由,并結(jié)合正弦定理可得到,利用,,可得到,進(jìn)而可求出周長的范圍.【詳解】解:(Ⅰ)由可知,∴.由正弦定理得.由余弦定理得,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴,.的周長為.∵,∴,∴,∴的周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用,考查了三角形的面積公式,考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線方程;(2)令,然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】(1),,∴,又,∴切線方程為,即.(2)令,,①若,則在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立.②若,令,∴,易知與在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,,當(dāng)即時(shí),在上恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,當(dāng)即時(shí),使,∴在遞增,此時(shí),∴,∴在遞增,∴,不合題意.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問題,第二問的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問題,對(duì)分類討論思想及化歸與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求較高,難度較大,屬拔高題.19、(1);(2)【解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.(2)將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,求得兩個(gè)曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo),即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為.所以的極坐標(biāo)方程為(2)解方程組,得到.所以,則或().當(dāng)()時(shí),,當(dāng)()時(shí),.所以和的交點(diǎn)極坐標(biāo)為:,.所以.故的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,利用極坐標(biāo)求三角形面積,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】(1),,所以,所以,,,,.(2)由余弦定理得.,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,.所以的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.21、(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對(duì)分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時(shí),則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),.∴,即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).22、(1).(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,由余弦定理求得,即可求解C角的值;(2)由正弦定理和三角恒等變
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