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第1頁(共1頁)2024年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數(shù)學(xué)三診試卷一、單選題1.實(shí)數(shù)﹣3的絕對值是()A.﹣3 B. C.3 D.﹣2.今年端午節(jié)假期第一天,國內(nèi)游客人數(shù)達(dá)3050萬人次,將數(shù)據(jù)“3050萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.3.05×106 B.30.5×106 C.3.05×107 D.3.05×1083.古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分,一窗一姿容,一窗一景致.下列窗戶圖案中()A. B. C. D.4.下列幾何體中,其主視圖為三角形的是()A. B. C. D.5.小軍為了了解本校運(yùn)動員百米短跑所用步數(shù)的情況,對校運(yùn)會中百米短跑決賽的8名男運(yùn)動員的步數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),記錄的數(shù)據(jù)如下:66、68、67、68、67、69、68、71()A.67、68 B.67、67 C.68、68 D.68、676.估算的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)是()A.6<x<7 B.7<x<8 C.8<x<9 D.無法確定7.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(3,0).關(guān)于這個二次函數(shù)的描述:①a<0,c<0;②當(dāng)x=2時;③當(dāng)x>3時,y的值小于0.正確的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度.如圖,旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等.小明將PB拉到PB′的位置,測得∠PB′C=α(B′C為水平線),則旗桿PA的高度為()A. B. C. D.9.已知關(guān)于x的方程x2﹣(2m﹣1)x+m2=0的兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,則m的值為()A.﹣3 B.1 C.﹣3或1 D.﹣1或310.如圖,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,將△ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,則sin∠BED的值是()A. B. C. D.11.如圖,⊙O是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ,Q為切點(diǎn)()A.2 B.4 C.8﹣2 D.212.如圖△ABC中,,DE⊥AC,若CE=5,且△BEC的面積是△ADE面積的10倍,則BE的長度是()A. B. C. D.二、填空題13.因式分解:a﹣9a3=.14.如圖,已知AB∥DE,∠ABC=75°,則∠BCD的度數(shù)為°.15.如果方程組的解也是方程3x+my﹣8=0的一個解,則m的值為.16.在直角三角形ABC中,已知AB=6,AC=8,如果把該三角形繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐,則該圓錐側(cè)面展開得到的扇形的圓心角大小是.17.如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′在x軸上,則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為.18.如圖,菱形紙片ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)A、D分別落在A′、D′處,且A′D′經(jīng)過B,當(dāng)D′F⊥CD時,若DF=6.三、解答題19.(1)計(jì)算:;(2)先化簡,再求值:,其中x=﹣1.20.“切實(shí)減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)”是我市作業(yè)改革的一項(xiàng)重要舉措.某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外作業(yè)時間,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為A、B、C、D四個等級;B:1小時﹣﹣1.5小時;C:1.5小時﹣﹣2小時,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:(1)該校共調(diào)查了學(xué)生;(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;(3)表示等級A的扇形圓心角α的度數(shù)是;(4)在此次調(diào)查問卷中,甲、乙兩班各有2人平均每天課外作業(yè)量都是2小時以上,從這4人中人選2人去參加座談21.如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C,AE,AE的延長線交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.(1)求證:BD=ED;(2)若AB=10,,求BC的長.22.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2=(k≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)O是線段CH的中點(diǎn),AC=4.(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使三角形PAC是等腰三角形?若存在,請求出P點(diǎn)坐標(biāo),請說明理由.23.某茶葉銷售商計(jì)劃將120罐茶葉按甲、乙兩種禮品盒包裝出售,其中甲種禮品盒每盒裝4罐,每盒售價240元,每盒售價300元,恰好全部裝完.已知每罐茶葉的成本價為30元,乙種禮品盒的數(shù)量為y盒.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)若120罐茶葉全部售出后的總利潤不低于3000元,則甲種禮品盒的數(shù)量至少要多少盒?24.已知拋物線y=ax2﹣4x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0),B兩點(diǎn)(1)求拋物線解析式;(2)若點(diǎn)P為拋物線上點(diǎn),當(dāng)PB=PC時,求點(diǎn)P坐標(biāo);(3)若點(diǎn)M為線段BC上點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且△MAB與△ABC相似,求點(diǎn)M坐標(biāo).25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣8,0),B(﹣5,4),BC∥x軸,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,連接CD.(1)若令∠CDA=α,證明:∠BAD=2α;(2)如圖1,點(diǎn)M為線段BC上的點(diǎn),N為射線CD上點(diǎn),BM=2,請求出點(diǎn)N坐標(biāo);(3)如圖2,點(diǎn)E在線段AB上,其橫坐標(biāo)為﹣6,與CD交于點(diǎn)F,在EF延長線上有動點(diǎn)P,且∠APQ=∠ABC,若,求的值(用含t的代數(shù)式表示).
2024年四川省綿陽市涪城區(qū)中考數(shù)學(xué)三診試卷參考答案與試題解析題號1234567891011答案CCCDCCBAABA題號12答案C一、單選題1.實(shí)數(shù)﹣3的絕對值是()A.﹣3 B. C.3 D.﹣【解答】解:實(shí)數(shù)﹣3的絕對值是:3.故選:C.2.今年端午節(jié)假期第一天,國內(nèi)游客人數(shù)達(dá)3050萬人次,將數(shù)據(jù)“3050萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.3.05×106 B.30.5×106 C.3.05×107 D.3.05×108【解答】解:3050萬=30500000=3.05×107,故選:C.3.古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分,一窗一姿容,一窗一景致.下列窗戶圖案中()A. B. C. D.【解答】解:選項(xiàng)C能找到這樣的一個點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合,選項(xiàng)A、B,使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合,故選:C.4.下列幾何體中,其主視圖為三角形的是()A. B. C. D.【解答】解:A、圓柱的主視圖為矩形,∴A不符合題意;B、正方體的主視圖為正方形,∴B不符合題意;C、球體的主視圖為圓形,∴C不符合題意;D、圓錐的主視圖為三角形,∴D符合題意.故選:D.5.小軍為了了解本校運(yùn)動員百米短跑所用步數(shù)的情況,對校運(yùn)會中百米短跑決賽的8名男運(yùn)動員的步數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),記錄的數(shù)據(jù)如下:66、68、67、68、67、69、68、71()A.67、68 B.67、67 C.68、68 D.68、67【解答】解:因?yàn)?8出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)次數(shù)最多.將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得到:66,67,68,68,71,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為68.故選:C.6.估算的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)是()A.6<x<7 B.7<x<8 C.8<x<9 D.無法確定【解答】解:===,∵64<75<81,∴,故選:C.7.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(3,0).關(guān)于這個二次函數(shù)的描述:①a<0,c<0;②當(dāng)x=2時;③當(dāng)x>3時,y的值小于0.正確的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【解答】解:①如圖所示,拋物線開口方向向下.對稱軸在y軸的右側(cè),則a,即b>0.拋物線與y軸交于負(fù)半軸,則b<0.綜上所述,a<3,c<0.故①正確;②∵拋物線與x軸另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)0<x<4,∴拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)<x<2.∵拋物線開口向下,且過點(diǎn)(1,∴點(diǎn)(1,2)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2,∴當(dāng)x=2時,y的值大于2;③觀察函數(shù)圖象,可知:當(dāng)x>3時,故③正確;故選:B.8.小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度.如圖,旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等.小明將PB拉到PB′的位置,測得∠PB′C=α(B′C為水平線),則旗桿PA的高度為()A. B. C. D.【解答】解:設(shè)PA=PB=PB′=x,在RT△PCB′中,sinα=,∴=sinα,∴x﹣1=xsinα,∴(2﹣sinα)x=1,∴x=.故選:A.9.已知關(guān)于x的方程x2﹣(2m﹣1)x+m2=0的兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,則m的值為()A.﹣3 B.1 C.﹣3或1 D.﹣1或3【解答】解:∵x1,x2是方程x6﹣(2m﹣1)x+m7=0的兩實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2﹣6ac=[﹣(2m﹣1)]4﹣4m2=2﹣4m≥0,∴,∴,∵(x5+1)(x2+6)=x1x2+(x4+x2)+1=4,∴m2+2m﹣8+1=3,解得:m=6(舍)或m=﹣3;故選:A.10.如圖,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,將△ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,則sin∠BED的值是()A. B. C. D.【解答】解:∵△DEF是△AEF翻折而成,∴△DEF≌△AEF,∠A=∠EDF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠EDF=45°,由三角形外角性質(zhì)得∠CDF+45°=∠BED+45°,∴∠BED=∠CDF,設(shè)CD=1,CF=x,∴DF=FA=2﹣x,在Rt△CDF中,由勾股定理得,CF7+CD2=DF2,即x3+1=(2﹣x)7,解得:x=,∴sin∠BED=sin∠CDF==.故選:B.11.如圖,⊙O是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ,Q為切點(diǎn)()A.2 B.4 C.8﹣2 D.2【解答】解:∵P在直線y=﹣x+8上,∴設(shè)P坐標(biāo)為(m,8﹣m),連接OQ,OP,得到PQ⊥OQ,在Rt△OPQ中,根據(jù)勾股定理得:OP5=PQ2+OQ2,∴PQ8=m2+(8﹣m)4﹣=2m2﹣16m+52=4(m﹣4)2+20,則當(dāng)m=3時,切線長PQ的最小值為.故選:A.12.如圖△ABC中,,DE⊥AC,若CE=5,且△BEC的面積是△ADE面積的10倍,則BE的長度是()A. B. C. D.【解答】解:如圖,作BF⊥AC于點(diǎn)F,則,設(shè)BF=x,則FC=2x,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AED=∠AFB=90°,又∵∠DAE=∠BAF,∴△AED∽△AFB,∴,∴,∴,∵△BEC的面積是△ADE面積的10倍,,即,整理得x2+6x﹣10=0,∴(x+5)(x﹣2)=0,解得x1=﹣8(舍),x2=2,經(jīng)檢驗(yàn),x=3是原方程的解,∴BF=2,EF=5﹣2×2=1,由勾股定理得,故選:C.二、填空題13.因式分解:a﹣9a3=a(1+3a)(1﹣3a).【解答】解:a﹣9a3=a(8﹣9a2)=a(5+3a)(1﹣2a),故答案為:a(1+3a)(2﹣3a).14.如圖,已知AB∥DE,∠ABC=75°,則∠BCD的度數(shù)為40°.【解答】解:如圖,延長ED與BC相交于點(diǎn)F,∵AB∥DE,∴∠BFD=∠ABC=75°,∴∠CFD=180°﹣75°=105°,∵∠CDE=145°,∴∠CDF=180°﹣145°=35°,在△CDF中,∠BCD=180°﹣∠CDF﹣∠CFD=180°﹣35°﹣105°=40°.故答案為:40.15.如果方程組的解也是方程3x+my﹣8=0的一個解,則m的值為2.【解答】解:,把②代入①得:5x+3(2x﹣2)=7,解得:x=2,把x=7代入②得:y=2×2﹣7=1,∴原方程組的解為.∵方程組的解也是方程5x+my﹣8=0的一個解,∴7×2+m﹣8=4,解得:m=2,∴m的值為2.故答案為:7.16.在直角三角形ABC中,已知AB=6,AC=8,如果把該三角形繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐,則該圓錐側(cè)面展開得到的扇形的圓心角大小是216.【解答】解:∵AB=6,AC=8,∴,由題意,得:圓錐的底面圓的半徑為6,設(shè)展開后扇形的圓心角的度數(shù)為n°,則:,解得:n=216;故答案為:216.17.如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′在x軸上,則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(,).【解答】解:如圖,過點(diǎn)A作AC⊥OB于C,∵A(3,),∴OC=7,AC=,∵OB=6,∴BC=OC=6,則tan∠ABC==,由旋轉(zhuǎn)可知,BO′=BO=6,∴==,設(shè)O′D=x,BD=6x,由O′D2+BD2=O′B4可得(x)2+(5x)2=65,解得:x=或x=﹣,則BD=3x=,O′D=,∴OD=OB+BD=4+=,∴點(diǎn)O'的坐標(biāo)為(,),故答案為:(,).18.如圖,菱形紙片ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)A、D分別落在A′、D′處,且A′D′經(jīng)過B,當(dāng)D′F⊥CD時,若DF=6.【解答】解:如圖,延長A′D′,設(shè)BC與D′F交于點(diǎn)O,∵菱形紙片ABCD中,∠A=60°,∴BC=CD,∠BCD=∠A=60°,∵∠A′D′F=∠D=120°,D′F=DF=6,∵D′F⊥CD,∴∠BOD′=∠COF=90°﹣60°=30°,∴∠OBD′=180°﹣∠A′D′F﹣∠BOD′=30°,∴∠M=∠BCD﹣∠OBD′=30°,∴∠M=∠OBD′,∴BC=CM,∴CM=BC=CD,設(shè)CF=x,則CM=BC=CD=DF+CF=6+x,∴MF=CF+CM=3+2x,在Rt△D′MF中,D′M=2D′F=12,∴,∴,解得,即,故答案為:.三、解答題19.(1)計(jì)算:;(2)先化簡,再求值:,其中x=﹣1.【解答】解:(1)原式===8;(2)原式=====x+6,將x=﹣1代入得:原式=﹣7+6=5.20.“切實(shí)減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)”是我市作業(yè)改革的一項(xiàng)重要舉措.某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外作業(yè)時間,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為A、B、C、D四個等級;B:1小時﹣﹣1.5小時;C:1.5小時﹣﹣2小時,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:(1)該校共調(diào)查了200學(xué)生;(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;(3)表示等級A的扇形圓心角α的度數(shù)是108°;(4)在此次調(diào)查問卷中,甲、乙兩班各有2人平均每天課外作業(yè)量都是2小時以上,從這4人中人選2人去參加座談【解答】解:(1)共調(diào)查的中學(xué)生數(shù)是:80÷40%=200(人),故答案為:200;(2)C類的人數(shù)是:200﹣60﹣80﹣20=40(人),補(bǔ)圖如下:(3)根據(jù)題意得:α=×360°=108°,故答案為:108°;(4)設(shè)甲班學(xué)生為A1,A2,乙班學(xué)生為B6,B2,一共有12種等可能結(jié)果,其中2人來自不同班級共有7種,∴P(2人來自不同班級)==.21.如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C,AE,AE的延長線交⊙O于點(diǎn)D,連接BD.(1)求證:BD=ED;(2)若AB=10,,求BC的長.【解答】(1)證明:由圓周角定理可得:∠CAD=∠CBD,∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,∴∠BED=∠DBE.∴BD=ED.(2)解:連接OC、CD,OD交BC于點(diǎn)F,由圓周角定理可得:∠BAD=∠BCD,由(1)知∠BAD=∠CAD=∠CBD,∴∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD.∴BD=DC.∵OB=OC.∴OD垂直平分BC.∵AB為直徑,BD=ED,∴∠ADB=90°,則△BDE是等腰直角三角形.∵,BE2=BD2+ED2=2BD5,∴.∵AB=10,AB5=BD2+AD2,∴OB=OD=5.設(shè)OF=t,則DF=5﹣t,在Rt△BOF和Rt△BDF中,OB2﹣OF5=BD2﹣DF2=BF4,即:,解得t=6,即OF=3,∴,∴BC=8.22.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2=(k≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)O是線段CH的中點(diǎn),AC=4.(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使三角形PAC是等腰三角形?若存在,請求出P點(diǎn)坐標(biāo),請說明理由.【解答】解:(1)∵AC=4,cos∠ACH=,∴=,解得,CH=6,由勾股定理得,AH=,∵點(diǎn)O是線段CH的中點(diǎn),∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣8,8),0),∴反比例函數(shù)的解析式為:y5=﹣,,解得,,∴一次函數(shù)解析式為y1=﹣2x+3;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)時,PH=CH=4,則OP=3,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣6,0);當(dāng)點(diǎn)C為等腰三角形的頂點(diǎn)時,PC=CA=6,則OP=4+2或4,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣4,0)或(4,0);當(dāng)點(diǎn)P為AC垂直平分線與x軸的交點(diǎn)時,PA=PC,則(2﹣m)8=(﹣2﹣m)2+62,解得,m=﹣8,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣8,0).23.某茶葉銷售商計(jì)劃將120罐茶葉按甲、乙兩種禮品盒包裝出售,其中甲種禮品盒每盒裝4罐,每盒售價240元,每盒售價300元,恰好全部裝完.已知每罐茶葉的成本價為30元,乙種禮品盒的數(shù)量為y盒.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)若120罐茶葉全部售出后的總利潤不低于3000元,則甲種禮品盒的數(shù)量至少要多少盒?【解答】解:(1)由題意,得:4x+6y=120,∴;(2)由題意,得:240x+300y﹣30×120≥3000,由(1)知:,∴,解得:x≥15;答:甲種禮品盒的數(shù)量至少要15盒.24.已知拋物線y=ax2﹣4x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0),B兩點(diǎn)(1)求拋物線解析式;(2)若點(diǎn)P為拋物線上點(diǎn),當(dāng)PB=PC時,求點(diǎn)P坐標(biāo);(3)若點(diǎn)M為線段BC上點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且△MAB與△ABC相似,求點(diǎn)M坐標(biāo).【解答】解:(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:0=a﹣4+7,解得:a=1,故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣5x+3…①,令x=0,則y=3,則x=1或3,故點(diǎn)C(7,3),0);(2)PB=PC時,則點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上,線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),則BC中垂線的k值為1,過點(diǎn)(,),則其表達(dá)式為:y=x…②,①②聯(lián)立并求解得:x=,則點(diǎn)P坐標(biāo)為(,)或(,);(3)M為線段BC上點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且△MAB與△ABC相似,則△MAB∽△ACB,即:,過點(diǎn)M分別作x、y軸的垂線交于點(diǎn)H、G,∵OB=OC=3,∴∠CBO=45°,則MH=MG=MB×=,OH=OB﹣BH=,即點(diǎn)M(,)25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣8,0),B(﹣5,4),BC∥x軸,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,連接CD.(1)若令∠CDA=α,證明:∠BAD=2α;(2)如圖1,點(diǎn)M為線段BC上的點(diǎn),N為射線CD上點(diǎn),BM=2,請求出點(diǎn)N坐標(biāo);(3)如圖2,點(diǎn)E在線段AB上,其橫坐標(biāo)為﹣6,與CD交于點(diǎn)F,在EF延長線上有動點(diǎn)P,且∠APQ=∠ABC,若,求的值(用含t的代數(shù)式表示).【解答】(1)證明:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣8,B(﹣5,BC∥x軸,連接AC.∴AB===3,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,
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