人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.10直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系》同步測(cè)試題及答案

第第頁(yè)人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.10直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系》同步測(cè)試題及答案考試時(shí)間：60分鐘；滿(mǎn)分：100分學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿(mǎn)分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系中，“公共點(diǎn)只有一個(gè)”是“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（3分）（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））已知雙曲線(xiàn)x2?y22=1，過(guò)點(diǎn)P1,1A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）（2022·江西·高二期末（理））雙曲線(xiàn)C:x24?y2=1的左,右頂點(diǎn)分別是A1,A2，P是C上任意一點(diǎn)（P點(diǎn)異于A．1 B．3 C．2 D．34．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線(xiàn)x2?y2=4上，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)MA．2 B．22 C．5 D．5．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線(xiàn)2x+y=0交于A，B兩點(diǎn)，若AB=215，則該雙曲線(xiàn)的方程為（A．y2?x2=25 B．y26．（3分）（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））已知直線(xiàn)l：y=kxk≠0與雙曲線(xiàn)C：x24?y2=1交于P，Q兩點(diǎn)，QH⊥x軸于點(diǎn)H，直線(xiàn)PH與雙曲線(xiàn)CA．14 B．12 C．17．（3分）（2022·吉林市模擬預(yù)測(cè)（理））已知直線(xiàn)l:y=kx(k≠0)與雙曲線(xiàn)C:x24?y2=1交于P，Q兩點(diǎn)，QH⊥x軸于點(diǎn)H，直線(xiàn)PHA．?12<k<12且k≠0 B．kPT=k8．（3分）（2021·四川·高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線(xiàn)y=kx交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)PA,PB的斜率分別為kPA,A．a(chǎn)=4B．曲線(xiàn)C的離心率為6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面積為二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）9．（4分）（2021·遼寧·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P(x0,y0)和曲線(xiàn)A．若x0=12，y0=1B．若x0=12，y0=1，C．若x0=12，y0=6D．直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系和P在哪里無(wú)關(guān)10．（4分）（2022·河北唐山·高二期末）已知雙曲線(xiàn)C:x2?y23=1，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)lA．若A在雙曲線(xiàn)右支上，則AF的最短長(zhǎng)度為1B．若A，B同在雙曲線(xiàn)右支上，則l的斜率大于3C．AB的最短長(zhǎng)度為6D．滿(mǎn)足AB=8的直線(xiàn)l11．（4分）（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，且雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x+2y?35=0上，A、B分別是雙曲線(xiàn)CA．雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±12x B．雙曲線(xiàn)C．k1k2為定值12 12．（4分）（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．該雙曲線(xiàn)的方程為x2?y23=1 C．F1P?F1三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)P（0，1）作直線(xiàn)l，使l與雙曲線(xiàn)x2?y2414．（4分）（2020·上海靜安·高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的等軸雙曲線(xiàn)型的拱橋橋洞如圖所示，已知當(dāng)前拱橋的最高點(diǎn)離水面5米時(shí)，量得水面寬度AB=30米，則當(dāng)水面升高1米后，水面寬度為米(精確到0.1米).15．（4分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x29?y27=1，A3,0，F(xiàn)4,0，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，若直線(xiàn)16．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：x24?y25=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(xiàn)y=x+m與C交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)|PQ|最小時(shí)，四邊形F1PF四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x23?y2=118．（6分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)(1)AB的長(zhǎng)；(2)△F19．（8分）（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)x2?y23(1)求直線(xiàn)AB的方程；(2)若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于C、D兩點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？判斷并說(shuō)明理由．20．（8分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于兩點(diǎn)A,B，且OA⊥OB，若△OAB的面積為325，求直線(xiàn)21．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P為航天員的著陸點(diǎn)．某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4s后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)．已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角．22．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C:x24?y22=1的右頂點(diǎn)為A，(1)設(shè)直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)OM的斜率分別為k1，k2，求(2)若AMPQ=1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系中，“公共點(diǎn)只有一個(gè)”是“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答過(guò)程】解：當(dāng)“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”成立時(shí)有可能是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，此時(shí)，“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切”不成立反之，“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切”成立，一定能推出“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”所以“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切”的必要不充分條件故選：C．2．（3分）（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））已知雙曲線(xiàn)x2?y22=1，過(guò)點(diǎn)P1,1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】先確定雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，再分l垂直x軸、l與x軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為y?1=k(x?1)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元整理，再分2?k2=0【解答過(guò)程】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)方程可知a=1∴右頂點(diǎn)為(1,0)，使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況為：①當(dāng)l垂直x軸時(shí)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線(xiàn)方程為x=1，與雙曲線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為y?1=k(x?1)聯(lián)立方程y?1=k(x?1)x2(i)當(dāng)2?k2=0(ii)當(dāng)2?k2≠0時(shí)，Δ=4故選：D.3．（3分）（2022·江西·高二期末（理））雙曲線(xiàn)C:x24?y2=1的左,右頂點(diǎn)分別是A1,A2，P是C上任意一點(diǎn)（P點(diǎn)異于A．1 B．3 C．2 D．3【解題思路】求出直線(xiàn)PA1,PA2的方程，令x=1求得M,N【解答過(guò)程】設(shè)Px0,y0，y0≠0,x0>2，則x02?4y02=4，x02=4y02+4.依題意A1?2,0,A22,0，所以lPA1:y=y0x0+2x+2，lPA2:y=y0x故選：B.4．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線(xiàn)x2?y2=4上，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)MA．2 B．22 C．5 D．【解題思路】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線(xiàn)AB的斜率，然后求出直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求解AB的長(zhǎng).【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則可得方程組：x12?y12=4x22?y22=4，兩式相減得：x1+x故選：D.5．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線(xiàn)2x+y=0交于A，B兩點(diǎn)，若AB=215，則該雙曲線(xiàn)的方程為（A．y2?x2=25 B．y2【解題思路】設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解【解答過(guò)程】由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為y2?x由y2?x2=m2x+y=0得不妨假設(shè)xA=m由圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，AB=215可化為即m3+4×m故雙曲線(xiàn)方程為：y2故選：C.6．（3分）（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））已知直線(xiàn)l：y=kxk≠0與雙曲線(xiàn)C：x24?y2=1交于P，Q兩點(diǎn)，QH⊥x軸于點(diǎn)H，直線(xiàn)PH與雙曲線(xiàn)CA．14 B．12 C．1【解題思路】利用點(diǎn)差法，能得到kPT·kQT的值，則通過(guò)kPT【解答過(guò)程】設(shè)Px1,y1，Q?x由x24?則y12=∵kPH=kPT=y故選：B.7．（3分）（2022·吉林市模擬預(yù)測(cè)（理））已知直線(xiàn)l:y=kx(k≠0)與雙曲線(xiàn)C:x24?y2=1交于P，Q兩點(diǎn)，QH⊥x軸于點(diǎn)H，直線(xiàn)PHA．?12<k<12且k≠0 B．kPT=k【解題思路】由已知，可由雙曲線(xiàn)方程推導(dǎo)結(jié)論kPTkQT=b2a2，選項(xiàng)A，根據(jù)雙曲線(xiàn)方程，可以求得漸近線(xiàn)方程，然后直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，即可求解出k的取值范圍；選項(xiàng)B，利用坐標(biāo)表示出kPT，從而找到kPT與【解答過(guò)程】參考結(jié)論：已知雙曲線(xiàn)方程為：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)推導(dǎo)：由x2a2則y12=k解析：Px1,y1，Q?選項(xiàng)A，雙曲線(xiàn)C:x24?y2=1，所以漸近線(xiàn)方程為y=±12選項(xiàng)B，kPH選項(xiàng)C，kPTkQT=b2a選項(xiàng)D，因?yàn)閗PQkQT故選：D.8．（3分）（2021·四川·高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線(xiàn)y=kx交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)PA,PB的斜率分別為kPA,A．a(chǎn)=4B．曲線(xiàn)C的離心率為6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面積為【解題思路】由題意可求得雙曲線(xiàn)的離心率以及求得a,b的值，故可判斷A,B;根據(jù)PF1⊥PF2，求得焦半徑|PF1|，|PF【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(?x1，則x12a2?y1因?yàn)閗PA?kPB=(y故雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±1因?yàn)榻裹c(diǎn)(c,0)到漸近線(xiàn)y=12x的距離為1，所以c即有a2+b2=5，所以a=2對(duì)于C，不妨設(shè)P在C的右支上，記|PF2|=t，則|PF1解得t=6?2或所以△PF1F2的面積為對(duì)于D，設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)閷y0|=2代入C:x2由對(duì)稱(chēng)性，不妨取P的坐標(biāo)為(25,2)，則|P因?yàn)閏os所以∠PF2F1為鈍角，所以故選：D．二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）9．（4分）（2021·遼寧·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P(x0,y0)和曲線(xiàn)A．若x0=12，y0=1B．若x0=12，y0=1，C．若x0=12，y0=6D．直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系和P在哪里無(wú)關(guān)【解題思路】通過(guò)x0、y0、【解答過(guò)程】當(dāng)x0=12，y0=12，m=1時(shí)，曲線(xiàn)C:x2+y2當(dāng)x0=12，y0=1，m=?1時(shí)，則曲線(xiàn)C:x2?y2=1，直線(xiàn)l:x?2y=2，聯(lián)立方程組當(dāng)x0=12，y0=62，m=12時(shí)，直線(xiàn)l:2x+6y=4與曲線(xiàn)C:x由B、C選項(xiàng)，可知直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系和P在哪里有關(guān)，所以D不正確．故選：ABC．10．（4分）（2022·河北唐山·高二期末）已知雙曲線(xiàn)C:x2?y23=1，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)lA．若A在雙曲線(xiàn)右支上，則AF的最短長(zhǎng)度為1B．若A，B同在雙曲線(xiàn)右支上，則l的斜率大于3C．AB的最短長(zhǎng)度為6D．滿(mǎn)足AB=8的直線(xiàn)l【解題思路】由雙曲線(xiàn)的方程求出a,b,c的值，A在雙曲線(xiàn)右支上，則AF的最短長(zhǎng)度為c?a可判斷A；求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，由直線(xiàn)l的斜率與漸近線(xiàn)斜率的關(guān)系可判斷B，討論l的斜率不存在和斜率為0時(shí)弦長(zhǎng)AB，即可得AB的最短長(zhǎng)度可判斷C，由l的斜率不存在和斜率為0時(shí)弦長(zhǎng)AB，結(jié)合雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】由雙曲線(xiàn)C:x2?y23=1對(duì)于A：若A在雙曲線(xiàn)右支上，則AF的最短長(zhǎng)度為c?a=2?1=1，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：y=±bax=±3x，若A，B同在雙曲線(xiàn)右支上，則l對(duì)于C：當(dāng)A，B同在雙曲線(xiàn)右支上時(shí)，AB⊥x軸時(shí)，AB最短，將x=2代入x2?y23=1可得y=±3，此時(shí)AB=6，當(dāng)A，B在雙曲線(xiàn)兩支上時(shí)，AB對(duì)于D：當(dāng)A，B同在雙曲線(xiàn)右支上時(shí)，ABmin=6<8，當(dāng)A，B在雙曲線(xiàn)兩支上時(shí)，ABmin=2<8，根據(jù)雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知：滿(mǎn)足故選：AD.11．（4分）（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，且雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x+2y?35=0上，A、B分別是雙曲線(xiàn)CA．雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±12x B．雙曲線(xiàn)C．k1k2為定值12 【解題思路】對(duì)于AB，利用雙曲線(xiàn)的概念及幾何性質(zhì)可以容易判斷；對(duì)于C，利用點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上得到m2?4=4n2，進(jìn)而直接化簡(jiǎn)k1k【解答過(guò)程】因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x+2y?35=0上，易得右焦點(diǎn)坐標(biāo)為5,0由于離心率為52，則e=ca=52，所以易得雙曲線(xiàn)C漸近線(xiàn)方程為y=±1設(shè)點(diǎn)Pm,n，又A?2,0、B2,0，則m24因?yàn)镻m,n在第一象限，則0<kOP<12，即0<nm<12故選：ABD.12．（4分）（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．該雙曲線(xiàn)的方程為x2?y23=1 C．F1P?F1【解題思路】由題知2b2a=6，c=2a，進(jìn)而可求得雙曲線(xiàn)的方程判斷A；設(shè)直線(xiàn)PQ:x=my+2，由已知可知【解答過(guò)程】對(duì)于A，依題意可知，PQmin=2b2a=6，c=2a，結(jié)合a對(duì)于B，易知F22,0，拋物線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率為k=3，設(shè)P直線(xiàn)PQ:x=my+2，由直線(xiàn)PQ與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，所以kPQ2>3聯(lián)立x=my+2x2?y23=1，得3若OP⊥OQ，則x1x2+y1y對(duì)于C，由F1?2,0，則F1所以F=36m因?yàn)?≤m2<對(duì)于D，S△設(shè)t=1+m2，則t∈1,233，S△F故D正確，故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)P（0，1）作直線(xiàn)l，使l與雙曲線(xiàn)x2?y24=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的方程為2x－y＋1＝0，2x＋y【解題思路】當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立直線(xiàn)l的方程和雙曲線(xiàn)的方程，消去y得到4?k2x【解答過(guò)程】當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，顯然不合題意所以可設(shè)直線(xiàn)l方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1x2?①當(dāng)4?k2=0，即k=2或k=?2直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，直線(xiàn)l方程為y=±2x+1，②當(dāng)4?k2≠0，即k≠±2，要使直線(xiàn)l則Δ=(?2k)2此時(shí)，直線(xiàn)l方程為y=±5綜上所述，直線(xiàn)l的方程為y=±5x+1或故答案為：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，5x?y+1=0，514．（4分）（2020·上海靜安·高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的等軸雙曲線(xiàn)型的拱橋橋洞如圖所示，已知當(dāng)前拱橋的最高點(diǎn)離水面5米時(shí)，量得水面寬度AB=30米，則當(dāng)水面升高1米后，水面寬度為26.5米(精確到0.1米).【解題思路】建立坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程y2?x2=k【解答過(guò)程】以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為y軸，雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的方程為y2?x2=kk>0，則點(diǎn)15，?k?5在雙曲線(xiàn)上，所以?k?故答案為：26.5.15．（4分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x29?y27=1，A3,0，F(xiàn)4,0，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，若直線(xiàn)【解題思路】設(shè)OA的中點(diǎn)為N,根據(jù)已知條件，利用向量的加法的模的幾何意義可得N到直線(xiàn)l的距離小于等于2.當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左右支各交于一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)即可得到|MN|的最小值為2a=6,接下來(lái)驗(yàn)證在當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)時(shí)，且在N到直線(xiàn)l的距離小于等于2時(shí)，|MN|的長(zhǎng)度大于6即可.【解答過(guò)程】設(shè)OA的中點(diǎn)為N,則N的坐標(biāo)為32由已知可得直線(xiàn)l上存在點(diǎn)P,使得AP即使得|PN|=2，即N到直線(xiàn)l的距離小于等于2.當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左右支各交于一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得弦長(zhǎng)|MN|的最小值為2a=6,此時(shí)直線(xiàn)l即為x軸，N到l的距離為0，符合題意.當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)時(shí)，弦越短，直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值越大，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即MN為通徑時(shí)，|MN|的長(zhǎng)度取得最小值2b2a=143<6,當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)的斜率的取值范圍k>ba=7由N到直線(xiàn)l的距離小于等于2，即：k32?4∴k2∈79,△=8×9易得9k2?7>0,設(shè)M,N的橫坐標(biāo)分別為xMN=k2?7綜上所述，|MN|的最小值為6，故答案為：6.16．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：x24?y25=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(xiàn)y=x+m與C交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)|PQ|最小時(shí)，四邊形F1PF【解題思路】聯(lián)立直線(xiàn)y=x+m與雙曲線(xiàn)的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式求得|PQ|，求出|PQ|的最小值，再由四邊形F1PF2Q為平行四邊形，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，計(jì)算四邊形F1PF2Q的面積即可.【解答過(guò)程】由{y=x+m5x則Δ=64設(shè)P，Q的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，可得x1則|PQ|==2當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，|PQ|取得最小值410，當(dāng)|PQ|最小時(shí)，四邊形F1PF2Q為平行四邊形，由F2（3，0）到直線(xiàn)y=x的距離為d=3所以四邊形F1PF2Q的面積為d|PQ|=3故答案為：125.四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x23?y2=1【解題思路】由x?3【解答過(guò)程】直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組x?3解之得，x=2y=∴直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為2,318．（6分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)(1)AB的長(zhǎng)；(2)△F【解題思路】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，（2）求出A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離，即可得到△F2【解答過(guò)程】(1)解：∵雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F1(?2,0)，設(shè)A(x1，y1則直線(xiàn)AB的方程為y=3代入方程x2?y∴x1+∴|AB|=1+(2)解：F2(2,0)，不妨設(shè)由（1）可得A(1+334，3+334則△F2AB19．（8分）（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)x2?y23(1)求直線(xiàn)AB的方程；(2)若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于C、D兩點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？判斷并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦的斜率及方程；（2）求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的垂直平分線(xiàn)，聯(lián)立后求出CD點(diǎn)的坐標(biāo)，得到CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算得到MC=【解答過(guò)程】(1)設(shè)Ax1,由題意得：3x兩式相減得：3x即y1因?yàn)辄c(diǎn)M(1,3)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以y1所以y1即直線(xiàn)AB的斜率為1，所以直線(xiàn)AB的方程為y?3=x?1，整理得：x?y+2=0(2)聯(lián)立x?y+2=0與x22x解得：x=1±322，當(dāng)x=1+當(dāng)x=1?322不妨設(shè)A1+直線(xiàn)AB的垂直平分線(xiàn)為y=?x+4，與x2?y解得：x=?2±362，當(dāng)x=?2+當(dāng)x=?2?362不妨設(shè)C?2+則CD的中點(diǎn)為M?2,6又MA=3+3MC=所以MC=故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，圓心為M?2,6，半徑為320．（8分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于兩點(diǎn)A,B，且OA⊥OB，若△OAB的面積為325，求直線(xiàn)【解題思路】（1）由已知得2b2a=6，（2）分析設(shè)直線(xiàn)OA的方程為y=kx0<k2<3，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，結(jié)合S再分類(lèi)討論直線(xiàn)OA、OB的斜率為5+12、－5?12和直線(xiàn)OA、OB【解答過(guò)程】（1）過(guò)C的焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為6，將x=c代入雙曲線(xiàn)，得y=±b2a，則2又C的一條漸近線(xiàn)方程為y=3x，則b由①②解得a=1，b=3所以雙曲線(xiàn)C的方程為x2（2）顯然，當(dāng)直線(xiàn)OA斜率為0或不存在時(shí)均不符合題意．當(dāng)直線(xiàn)OA斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)OA的斜率為k，則方程為y=kx0<k聯(lián)立x2?y2則OA2=因?yàn)镾整理得k4?3k2即k=±5+12或k=±考慮到5+1①當(dāng)OA、OB的斜率為5+12、結(jié)合3x2?y2同理可得B115?于是由點(diǎn)A1、B1，據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程并化簡(jiǎn)可得AB方程同理可得AB的方程為3x?y+15=0或x?y?3②同理，當(dāng)OA、OB的斜率為?5+12直線(xiàn)AB的方程為3x+y?15=0，或3x+y+15=0或綜上，直線(xiàn)AB的方程為3x±y±15=0或21．（