人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《1.1集合的概念》同步測試題及答案

第第頁人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《1.1集合的概念》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．4．常用的數(shù)集及其記法5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定義：一般地，設A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．【題型1集合的基本概念】【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例1】（2021秋?雨花區(qū)期末）下列對象不能組成集合的是（）A．不超過20的質數(shù) B．π的近似值 C．方程x2＝1的實數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值【變式1-1】（2021秋?鯉城區(qū)校級期中）以下各組對象不能組成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的實數(shù)解 D．周長為10cm的三角形【變式1-2】（2021春?廣南縣期中）下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實數(shù) B．北附廣南實驗學校2020～2021學年度第二學期全體高一學生 C．高一年級視力比較好的同學 D．中國著名的數(shù)學家【變式1-3】（2021秋?大安市校級月考）有下列各組對象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)的全體；③平面上到點O的距離等于1的點的全體；④直角三角形的全體．其中能構成集合的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型2判斷元素與集合的關系】【方法點撥】直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021秋?河北區(qū)期末）下列關系中正確的個數(shù)是（）①12∈Q；②2?R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2021秋?桂林期末）下列關系中，正確的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【變式2-2】（2021秋?岳陽期末）下列元素與集合的關系中，正確的是（）A．﹣1∈N B．0?N* C．3∈Q D．【變式2-3】（2021秋?綠園區(qū)校級月考）設集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x?B，則x的值為（）A．2 B．3 C．5 D．6【題型3利用集合中元素的特異性求參數(shù)】【方法點撥】①集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；②構成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．③利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用．【例3】（2022?渭濱區(qū)校級模擬）設集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【變式3-1】（2021秋?興寧區(qū)校級月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【變式3-2】（2021秋?大安市校級月考）已知集合A含有三個元素2，4，6，且當a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【變式3-3】（2021春?西湖區(qū)期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【題型4用列舉法表示集合】【方法點撥】①求出集合的元素；②把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．③用花括號括起來．【例4】（2021秋?合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【變式4-1】（2021秋?昌吉州期末）集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【變式4-2】（2021秋?重慶月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【變式4-3】（2021秋?番禺區(qū)校級期中）將集合{（x，y）|x+y=52x?y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【題型5用描述法表示集合】【方法點撥】①用描述法表示集合，首先應弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．②用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．③多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內．【例5】（2021秋?金山區(qū)校級期中）用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合．【變式5-1】（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合．【變式5-2】（2021秋?長寧區(qū)校級月考）用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合．【變式5-3】（2020秋?徐匯區(qū)校級月考）平面直角坐標系中坐標軸上所有點的坐標組成的集合可以用描述法表示為．【題型6集合中的新定義問題】【方法點撥】根據題目所給的有關集合的新定義問題，結合集合的相關知識，進行轉化求解即可.【例6】（2021秋?長壽區(qū)期末）設集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】（2021秋?秦淮區(qū)校級月考）設P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20【變式6-2】（2021秋?黃陵縣校級期末）設集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A?B中所有元素之積為（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【變式6-3】（2021秋?黃陵縣校級月考）定義集合運算：A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設A＝{2，0}，B＝{0，8}，則集合A?B的所有元素之和為（）A．16 B．18 C．20 D．22參考答案【題型1集合的基本概念】【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例1】（2021秋?雨花區(qū)期末）下列對象不能組成集合的是（）A．不超過20的質數(shù) B．π的近似值 C．方程x2＝1的實數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值【解題思路】分析四個答案中所列的對象是否滿足集合元素的確定性和互異性，即可得到答案．【解答過程】解：A、一不超過20的質數(shù)，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構造集合；B、π的近似值，無法確定元素，不滿足集合元素的確定性和互異性，故不可以構造集合；C、方程x2＝1的實數(shù)根為﹣1，1，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構造集合；D、函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值為0，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構造集合；故選：B．【變式1-1】（2021秋?鯉城區(qū)校級期中）以下各組對象不能組成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的實數(shù)解 D．周長為10cm的三角形【解題思路】根據集合元素的特點：互異性、確定性、無序性，判斷各選項即可．【解答過程】解：對于選項A：中國古代四大發(fā)明是指指南針、造紙術、印刷術、火藥，滿足集合元素的特征，構成集合；對于選項B：地球上的小河流，沒有明確的標準確定什么樣的河流稱為小河流，故地球上的小河流不能組成集合．對于選項C：方程x2﹣7＝0的實數(shù)解為±7，滿足集合元素的特征，構成集合；對于選項D：周長為10cm的三角形也有明確的判斷標準，滿足集合元素的特征，構成集合；故選：B．【變式1-2】（2021春?廣南縣期中）下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實數(shù) B．北附廣南實驗學校2020～2021學年度第二學期全體高一學生 C．高一年級視力比較好的同學 D．中國著名的數(shù)學家【解題思路】根據集合的元素必須具有確定性，逐個判斷各個選項即可．【解答過程】解：對于選項A：其中元素不具有確定性，故選項A錯誤，對于選項B：對于任何一個學生可以判斷其是否屬于{北附廣南實驗學校2020～2021學年度笫二學期全體高一學生}，故選項B正確，對于選項C：其中元素不具有確定性，故選項C錯誤，對于選項D：其中元素不具有確定性，故選項D錯誤，故選：B．【變式1-3】（2021秋?大安市校級月考）有下列各組對象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)的全體；③平面上到點O的距離等于1的點的全體；④直角三角形的全體．其中能構成集合的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據集合的元素的確定性可判斷①②是錯誤的，根據集合的定義即可判斷③④正確．【解答過程】解：因為集合的元素必須是確定的，而①②中的數(shù)沒有標準，故①②不能構成集合，根據集合的定義可判斷③④可以構成集合，故選：A．【題型2判斷元素與集合的關系】【方法點撥】直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021秋?河北區(qū)期末）下列關系中正確的個數(shù)是（）①12∈Q；②2?R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據元素與集合的關系進行判斷．【解答過程】解：①12∈Q正確，②2?R不正確，③0∈N*不正確，④π∈故選：A．【變式2-1】（2021秋?桂林期末）下列關系中，正確的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【解題思路】根據元素與集合的關系，用∈?符號，可得結論．【解答過程】解：根據元素與集合的關系，用∈?符號，﹣2?{0，1}，32?Z，π∈R，5??，可知C故選：C．【變式2-2】（2021秋?岳陽期末）下列元素與集合的關系中，正確的是（）A．﹣1∈N B．0?N* C．3∈Q D．【解題思路】根據集合N，N*，Q，R的元素的性質對應各個選項即可判斷求解．【解答過程】解：選項A：因為集合N中沒有負數(shù)，故A錯誤，選項B：因為集合N*中的元素是所有正整數(shù)，故B正確，選項C：因為集合Q表示所有有理數(shù)，故C錯誤，選項D：R為實數(shù)集，25是實數(shù)，故D故選：B．【變式2-3】（2021秋?綠園區(qū)校級月考）設集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x?B，則x的值為（）A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】利用x與集合A和集合B的關系確定x的值．【解答過程】解：∵x∈{2，3，5}，∴x＝2或x＝3或x＝5．∵x?{2，3，6}，∴x≠2且x≠3且x≠6，∴x＝5．故選：C．【題型3利用集合中元素的特異性求參數(shù)】【方法點撥】①集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；②構成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．③利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用．【例3】（2022?渭濱區(qū)校級模擬）設集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【解題思路】分別由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入觀察即可．【解答過程】解：若1﹣a＝4，則a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，則a＝2或a＝﹣1，a＝2時，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1時，1﹣a＝2（舍），故選：C．【變式3-1】（2021秋?興寧區(qū)校級月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【解題思路】利用集合與元素的關系，可得：a＝1或a＝a2﹣2a+2，再利用集合中元素的互異性進行判斷即可．【解答過程】解：a∈{1，a2﹣2a+2}，則：a＝1或a＝a2﹣2a+2，當a＝1時：a2﹣2a+2＝1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當a≠1時：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；故選：B．【變式3-2】（2021秋?大安市校級月考）已知集合A含有三個元素2，4，6，且當a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【解題思路】根據題意，分析可得，滿足當a∈A時，必有6﹣a∈A的有2、4，從而得到a的值．【解答過程】解：集合A含有三個元素2，4，6，且當a∈A，有6﹣a∈A，a＝2∈A，6﹣a＝4∈A，∴a＝2，或者a＝4∈A，6﹣a＝2∈A，∴a＝4，綜上所述，a＝2，4．故選：B．【變式3-3】（2021春?西湖區(qū)期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【解題思路】由題意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再檢驗即可．【解答過程】解：∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．當m＝2時，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合題意，舍去；當m2﹣3m+2＝2時，m＝0或m＝3，但m＝0不合題意，舍去．綜上可知，m＝3．故選：B．【題型4用列舉法表示集合】【方法點撥】①求出集合的元素；②把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．③用花括號括起來．【例4】（2021秋?合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【解題思路】化簡集合，將元素一一列舉出來即可．【解答過程】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．故選：D．【變式4-1】（2021秋?昌吉州期末）集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解題思路】根據x∈N*，63?x∈N?可得出x的取值分別為1，2，從而得出A＝{1，【解答過程】解：∵x∈N*，63?x∴A＝{1，2}．故選：B．【變式4-2】（2021秋?重慶月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【解題思路】先求出不等式的解，結合數(shù)的范圍即可求解．【解答過程】解：{x∈N|x﹣4＜1}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．故選：A．【變式4-3】（2021秋?番禺區(qū)校級期中）將集合{（x，y）|x+y=52x?y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【解題思路】本題考查的是集合的表示方法．在解答時應先分析元素所具有的公共特征，通過解方程組即可獲得問題的解答．注意元素形式為有序實數(shù)對．【解答過程】解：解方程組：x+y=52x?y=1可得：x=2∴集合{(x，故選：B．【題型5用描述法表示集合】【方法點撥】①用描述法表示集合，首先應弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．②用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．③多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內．【例5】（2021秋?金山區(qū)校級期中）用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合{x|x＝2n，n∈Z}．【解題思路】根據描述法的定義即可求出．【解答過程】解：描述法為：{x|x＝2n，n∈Z}．故答案為：{x|x＝2n，n∈Z}．【變式5-1】（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合{x|x＝5k，k∈Z}．【解題思路】利用集合的描述法的定義求解即可．【解答過程】解：用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合為{x|x＝5k，k∈Z}，故答案為：{x|x＝5k，k∈Z}．【變式5-2】（2021秋?長寧區(qū)校級月考）用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合{x|x＝3k+2，k∈N}．【解題思路】根據集合描述法的定義即可求出結果．【解答過程】解：用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合為{x|x＝3k+2，k∈N}，故答案為：{x|x＝3k+2，k∈N}．【變式5-3】（2020秋?徐匯區(qū)校級月考）平面直角坐標系中坐標軸上所有點的坐標組成的集合可以用描述法表示為{（x，y）|xy＝0}．【解題思路】根據描述法的表示方法，不難求出答案．【解答過程】解：平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合表示為{（x，y）|xy＝0}，故答案為：{（x，y）|xy＝0}．【題型6集合中的新定義問題】【方法點撥】根據題目所給的有關集合的新定義問題，結合集合的相關知識，進行轉化求解即可.【例6】（2021秋?長壽區(qū)期末）設集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由集合的定義代入寫出所有元素即可．【解答過程】解：由題意知，P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），