專題36 中考命題核心元素含45°角的問題的幾種解題思路（原卷版）

專題36含45°角的問題的幾種解題思路（原卷版）

模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練

思路1：套用半角模型常用結(jié)論．

模型解讀：

常用結(jié)論：如圖①，BM＋DN＝MN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周長＝2AB.

常用證明方法：如圖②，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABN′，證明△AMN≌△AMN′.

常用結(jié)論：如圖③，BP2＋QD2＝PQ2.

常用證明方如圖④，在正方形ABCD中，AD＝a，點(diǎn)M，N分別在BC，CD邊上，且∠MAN＝45°.

拓展結(jié)論：

(1)BM＋DN＝MN；

(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；

(3)△CMN的周長＝2a(為定值)；

(4)S△ABM＋S△ADN＝S△AMN；

MN

(5)的最小值為22－2；

AB

2

(6)S△AMN的最小值為(2－1)a；

2

(7)S△CMN的最大值為(3－22)a；

(8)BP2＋QD2＝PQ2；

(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；

(10)BQ·DP＝AB·AD＝a2(定值)；

(11)△APQ∽△ANM(相似比為1∶2)；

(12)S△AMN＝2S△APQ；

(13)P，M，N，Q四點(diǎn)共圓；

(14)△AMC∽△AQD(相似比為1∶2)；

(15)CM·CN＝2BM·DN；

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(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；

(17)△APN與△AQM均為等腰直角三角形；

(18)A，B，M，Q四點(diǎn)共圓；

(19)A，P，N，D四點(diǎn)共圓．

法：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADP′，證明△AQP≌△AQP′.

思路2：作垂直，將45°角置于直角三角形中，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．

思路3：利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，構(gòu)造直角三角形，解決問題．

思路4：利用兩角和或差的正切公式

；

典例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)∠BCA＝45°

時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（盡可能用多種方法解題）

針對訓(xùn)練

1．（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，已知反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，5），若在該圖象

?

上有一點(diǎn)P，使得∠AOP＝45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是=．

2．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面積．

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典例2（2022?東莞市校級一模）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°．

（1）小聰同學(xué)通過將△BAF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．

①請直接寫出線段CE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系：（用等式表示）；

②若AB＝2，E為CD邊中點(diǎn)，求AF．

（2）如圖2，將正方形ABCD改為矩形，且AB＝2，BC＝3，其他條件不變，即：E、F分別是邊CD、

AD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°．

③記EF＝y(tǒng)，CE+AF＝x，試探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；

④當(dāng)BF⊥EF時(shí)，求線段EF的長．

針對訓(xùn)練

1．（2020?泗水縣二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、

AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：

①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE＝AF時(shí)，；④BE+DF＝EF．其

??2

=

中正確的個數(shù)有（）??2

A．1個B．2個C．3個D．4個

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2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且EG與FH的夾角為45°，

若正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為，求EG的長．

5

2

典例3（2022秋?寧化縣月考）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，

延長CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)EF，AG．

①判定AE和AG關(guān)系，并證明；

②證明：EF＝FG；

（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°，

若BM＝1，CN＝3，求MN的長．

針對訓(xùn)練

1．（2020春?太倉市期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，∠

DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，則△ABC的面積為．

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模塊二2023中考押題預(yù)測

1．（2021秋?潛江校級月考）如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)F是正方形ABCD的邊BC和邊CD上的兩動點(diǎn)，且∠EAF＝

45°，有下列結(jié)論：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么

DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是；其中正確的結(jié)論有（）個．

2

A．1B．2C．3D．4

2．（2023?天河區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若將AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

AE，連接OE，則在D點(diǎn)運(yùn)動過程中，線段OE的最小值為．

3．如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0）和（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系x軸上方的動點(diǎn)，并且滿足

∠APB＝45°，滿足條件的點(diǎn)P有多少個？畫出這一些點(diǎn)．

4．（2016秋?銅山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，點(diǎn)D、E是BC上的兩點(diǎn)，且

∠DAE＝45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對稱．求證：（1）∠FAE＝∠BAE；

（2）CD2+BE2＝DE2．

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5．（2022??？谀M）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若

EG⊥FH，

（1）求證：EG＝FH；

（2）如果把題目中的“正方形”改為“長方形”，若AB＝3，BC＝4（如圖②），求的值；

??

（3）如果把題目中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”（如圖③），若正?方?形ABCD的邊長

為2，F(xiàn)H的長為，求EG的長．

5

6．（2020秋?寧德期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上的一個動點(diǎn)，連接BE，以BE為斜邊

在正方形ABCD內(nèi)部構(gòu)造等腰直角三角形