專題20二次函數(shù)與對稱變換綜合問題 （原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題20二次函數(shù)與對稱變換綜合問題

【例1】（2021秋?開化縣月考）定義：關(guān)于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“鏡像拋物線”．

例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“鏡像拋物線”為y＝﹣（x﹣h）2+k．

（1）請寫出拋物線y＝（x﹣2）2﹣4的頂點坐標(biāo)，及其“鏡像拋物線”y＝﹣（x﹣2）2+4的頂點坐

標(biāo)．寫出拋物線的“鏡像拋物線”為．

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點，點B的橫坐標(biāo)為1，過點B作x

軸的垂線，交拋物線L的“鏡像拋物線”于點C，分別作點B，C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點B'，C'，連接

BC，CC'，B'C'，BB'．

①當(dāng)四邊形BB'C'C為正方形時，求a的值．

②求正方形BB'C'C所含（包括邊界）整點個數(shù)．（說明：整點是橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

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【例2】（2022?鞏義市模擬）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），

與y軸交于C點，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），且OB＝OC．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)0≤x≤4時，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

（3）設(shè)點C'與點C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．在y軸上是否存在點P，使△PCC'與△POB相似，且PC與

PO是對應(yīng)邊？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【例3】（2022?濟寧二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知B點的坐

標(biāo)為（3，0），C點的坐標(biāo)為（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）圖1中，點P為拋物線上的動點，且位于第二象限，過P，B兩點作直線l交y軸于點D，交直線AC

于點E．是否存在這樣的直線l：以C，D，E為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，請求出這樣的直線l

的解析式；若不存在，請說明理由．

（3）圖2中，點C和點C'關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線上，且∠MBA＝∠CBC'，求M點的橫坐

標(biāo)．

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2

【例4】（2022?合肥四模）已知拋物線L1：y＝ax+bx﹣3與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若兩個拋物線的交點在x軸上，且頂點關(guān)于x軸對稱，則稱這兩個拋物線為“對稱拋物線”，求拋物線

L1對稱拋物線L2的解析式；

（3）在（2）的條件下，點M是x軸上方的拋物線L2上一動點，過點M作MN⊥x軸于點N，設(shè)M的橫坐標(biāo)為

m，記W＝MN﹣2ON，求W的最大值．

一．解答題（共20題）

1．（2022?廣陵區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m為常數(shù)，且m＞0）．

（1）求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象上兩點A（a，ya）、B（a+2，yb），點A和點B間（含點A，B）的圖象上有一點C，

將點C縱坐標(biāo)的最大值和最小值的差記為h．

①當(dāng)m＝1時，若點A和點B關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，求h的值；

②若存在點A和點B使得h的值是4，則m的取值范圍是．

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2．（2022?綠園區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知某二次函數(shù)的圖象同時經(jīng)過點A（0，3）、B（2m，3）、C（m，

m+3）．其中，m≠0．

（1）當(dāng)m＝1時．

①該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線．

②求該二次函數(shù)的表達式．

（2）當(dāng)|m|≤x≤|m|時，若該二次函數(shù)的最大值為4，求m的值．

（3）若同時經(jīng)過點A、B、C的圓恰好與x軸相切時，直接寫出該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)．

2

3．（2022?荷塘區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax+bx+c（a＜0）與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且（x1

＜0＜x2），交y軸于點C，頂點為D．

（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，

①求該二次函數(shù)的對稱軸方程及頂點坐標(biāo)；

②定義：若點P在某函數(shù)圖象上，且點P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱點P為這個函數(shù)的“零和點”，求證：

此二次函數(shù)有兩個不同的“零和點”；

（2）如圖，過D、C兩點的直線交x軸于點E，滿足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．

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4．（2022?綏江縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經(jīng)過（3，0）．

（1）求二次函數(shù)的對稱軸；

（2）點A的坐標(biāo)為（1，0），將點A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到點B，若二次

函數(shù)的圖象與線段AB有公共點，求a的取值范圍．

2

5．（2022?興化市二模）已知一次函數(shù)y＝kx+m的圖象過點（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函數(shù)y＝x

﹣（m﹣2）x+2m圖象上的兩點．

（1）若該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1，分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式；

（2）當(dāng)點A、B在二次函數(shù)的圖象上運動時，滿足|y1﹣y2|＝1，求m的值；

（3）點A、B的位置隨著k的變化而變化，設(shè)點A、B的運動路線分別與直線x＝n交于點P、Q，當(dāng)PQ＝2

時，求n的值．

6．（2022?三門峽一模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．

（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝；

（2）若該二次函數(shù)的圖象開口向上，當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最大值是5，求拋物線的解析式；

（3）若對于該拋物線上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)x2取大于3的任何實數(shù)時，均滿足y1＜y2，請結(jié)

合圖象，直接寫出x1的取值范圍．

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7．（2022?無錫二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點A、B，與y軸交于點C，且A（﹣1，0）、B

（4，0）．

（1）求此二次函數(shù)的表達式；

（2）①如圖1，拋物線的對稱軸m與x軸交于點E，CD⊥m，垂足為D，點F（﹣，0），動點N在線段

DE上運動，連接CF、CN、FN，若以點C、D、N為頂點的三角形與△FEN相似，求點N的坐標(biāo)；

②如圖2，點M在拋物線上，且點M的橫坐標(biāo)是1，將射線MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交拋物線于點P，

求點P的坐標(biāo)；

（3）已知Q在y軸上，T為二次函數(shù)對稱軸上一點，且△QOT為等腰三角形，若符合條件的Q恰好有2個，

直接寫出T的坐標(biāo)．

8．（2022秋?樂陵市校級月考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）求這個二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)；

（3）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連結(jié)BA、BC，求△ABC的面積．

（4）若點D為拋物線與x軸的另一個交點，在拋物線上是否存在一點M，使△ADM的面積為△ABC的面積

的2倍，若存在，請求出M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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9．（2022秋?永城市月考）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點

C，且過點D（﹣1，4）．

（1）求b的值及該二次函數(shù)圖象的對稱軸；

（2）連接AC，AD，CD，求△ADC的面積；

（3）在AC上方拋物線上有一動點M，請直接寫出△ACM的面積取到最大值時，點M的坐標(biāo)．

10．（2022秋?越秀區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB為邊向右作等

腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點C．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）平移該二次函數(shù)圖象的對稱軸所在的直線l，若直線l恰好將△ABC的面積分為1：2兩部分，請求出直

線l平移的最遠(yuǎn)距離；

（3）將△ABC以AC所在直線為對稱軸翻折，得到△AB'C，那么在二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使△PB'C

是以B'C為直角邊的直角三角形？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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11．（2022秋?西城區(qū)校級期中）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點Q中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關(guān)于點Q互

為“對稱函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點O互為“對稱函數(shù)”．

（1）函數(shù)y＝﹣x+1關(guān)于原點O的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為，函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1關(guān)于原點O

的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為；

（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點Q（0，1）互為“對稱函數(shù)”，若函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)

值y都隨自變量x的增大而減小，求x的取值范圍；

（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），與函數(shù)N關(guān)于點C

互為“對稱函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線

段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．

12．（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．

（1）當(dāng)a＝﹣時，求拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)；

（2）請直接寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線（用含a的代數(shù)式表示）及二次函數(shù)圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)

是．

（3）若當(dāng)1≤x≤5時，函數(shù)值有最大值為8，求二次函數(shù)的解析式；

（4）已知點A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個公共點，請直接寫出a的取值范圍．

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13．（2022春?西湖區(qū)校級期末）如圖所示，在矩形AOCD中，把點D沿AE對折，使點D落在OC上的F點．已

知AO＝8，AD＝10．

（1）求F點的坐標(biāo)；

（2）如果一條不與拋物線對稱軸平行的直線與拋物線僅一個交點，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知

拋物線經(jīng)過O，F(xiàn)，且直線y＝6x﹣36是該拋物線的切線．求拋物線的解析式．并驗證點M（5，﹣5）是否在

該拋物線上．

（3）在（2）的條件下，若點P是位于該二次函數(shù)對稱軸右側(cè)圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較∠POF

與∠MOF的大小（不必證明），并寫出此時點P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．

14．（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點，對稱軸為直線x

＝1，對稱軸與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的點，當(dāng)∠ACP＝45°時，求點P的坐標(biāo)；

（3）點F為二次函數(shù)圖象上與點C對稱的點，點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點

F，A，M，N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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15．（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C（2，﹣3），且與x軸交于原點

及點B（8，0），點A為拋物線的頂點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，請求出點M的坐標(biāo)．如果不

存在，請說明理由；

（3）若點P為O上的動點，且O的半徑為，求的最小值．

⊙⊙

16．（2022?南京模擬）已知二次函數(shù)解析式為y＝x﹣1（a≠0），該拋物線與y軸交于點A，其頂點記

為B，點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點記為C．已知點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為2，DE⊥y軸交拋

物線于點E．

（1）求點D的縱坐標(biāo)．

（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時，求出a的值．

（3）當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)的最大值與最小值的差為2時，求a的取值范圍．

（4）設(shè)點R（a﹣3，﹣1），點A、R關(guān)于直線DE的對稱點分別為N、M，當(dāng)拋物線在以A、R、M、N為頂

點的四邊形內(nèi)部的圖象中，y隨x的增大而增大或y隨x的增大而減小時，直接寫出a的取值范圍．

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17．（2021?九龍坡區(qū)校級模擬）若直線y＝﹣2x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，二次函數(shù)y＝ax2+3x+c的

圖象經(jīng)過點A，交x軸于C、D兩點，且拋物線的對稱軸為直線x＝．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）過點C作直線CE∥AB交y軸于點E，點P是直線CE上一動點，點Q是第一象限拋物線上一動點，求

四邊形APBQ面積的最大值與此時點Q的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，點E是拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點G，直線EQ交x軸于點F，在拋物線的

對稱軸上是否存在一點M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求點M的坐標(biāo)．

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18．（2022?成都模擬）如圖1所示，直線y＝x+3與x軸、y軸分別相交于點A，點B，點C（1，2）在經(jīng)過點

A，B的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為線段AB上（不與端點重合）的一動點，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q，求PQ+PB取得

最大值時點P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接BC并延長，交x軸于點D，E為第三象限拋物線上一點，連接DE，點G為x軸上一點，

且G（﹣1，0），直線CG與DE交于點F，點H在線段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，連接BH交OA于

點M，已知∠GDF＝∠HBO，求點H的坐標(biāo)．

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19．（2022秋?甘井子區(qū)校級月考）拋物線y＝x2+bx+c過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，點

C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．

（1）拋物線的解析式是，△ABD的面積為；

（2）在直線AD下方的拋