專題18二次函數(shù)與旋轉(zhuǎn)變換綜合問(wèn)題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專題18二次函數(shù)與旋轉(zhuǎn)變換綜合問(wèn)題

【例1】（2022?涼山州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段

DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存

在點(diǎn)M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第1頁(yè)共22頁(yè).

【例2】．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣4分別與x，y軸交于

點(diǎn)A，B，拋物線y＝x2+bx+c恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，6），將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．

①寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求BP+EP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第2頁(yè)共22頁(yè).

【例3】．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，射線OD交直線AC于點(diǎn)E，將

射線OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點(diǎn)F，連接DF．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且＝時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

第3頁(yè)共22頁(yè).

2

【例4】．（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax+2x+b與x軸交于兩點(diǎn)A，

B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖，連接BD，若點(diǎn)E在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B，D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x

軸于點(diǎn)F，設(shè)EF＝m，問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)，△BFE與△DEC的面積之和最??；

（3）若將拋物線L1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別記作M，

N．問(wèn)：在拋物線L2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，M，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰

三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第4頁(yè)共22頁(yè).

一．解答題（共20小題）

1．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣6），頂點(diǎn)為D（﹣2，2）．

（1）求拋物線W1的表達(dá)式；

（2）將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點(diǎn)為D′，在拋

物線W2上是否存在點(diǎn)M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第5頁(yè)共22頁(yè).

2．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，拋物線C：y＝ax2+6ax+9a﹣8與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè)），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2，拋物線C的頂點(diǎn)為D．

（1）求a的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C1，記拋

物線C1的頂點(diǎn)為E，拋物線C1與x軸的交點(diǎn)為F，G（點(diǎn)F在點(diǎn)G的右側(cè)）．當(dāng)點(diǎn)P與

點(diǎn)B重合時(shí)（如圖1），求拋物線C1的表達(dá)式；

（3）如圖2，在（2）的條件下，從A，B，D中任取一點(diǎn)，E，F(xiàn)，G中任取兩點(diǎn)，若以

取出的三點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線C1為拋物線C的“勾股伴隨同類

函數(shù)”．當(dāng)拋物線C1是拋物線C的勾股伴隨同類函數(shù)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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3．（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+6與x

軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，其中點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，OC＝3．

（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L1，拋物線L1與x軸交于F點(diǎn)、E點(diǎn)

（點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)M，則拋物線L1的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使

|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及其最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2

4．（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）

兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線W1的表達(dá)式；

（2）將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點(diǎn)為D'，點(diǎn)M為W2

上的一點(diǎn)，當(dāng)△D'DM的面積等于△ABC的面積時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

第7頁(yè)共22頁(yè).

5．（2022?深圳三模）已知拋物線y＝ax2+c過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）和D（﹣1，3）兩點(diǎn)，交x軸

于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是BD上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BD，PD，當(dāng)BD平分∠ADP時(shí)，

求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）將拋物線圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點(diǎn)M，N

分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點(diǎn)．

①直線EF的解析式是；

②點(diǎn)G、H是“心形”圖案上兩點(diǎn)且關(guān)于EF對(duì)稱，則線段GH的最大值是．

第8頁(yè)共22頁(yè).

6．（2022?無(wú)錫二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，

且A（﹣1，0）、B（4，0）．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①如圖1，拋物線的對(duì)稱軸m與x軸交于點(diǎn)E，CD⊥m，垂足為D，點(diǎn)F（﹣，

0），動(dòng)點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動(dòng)，連接CF、CN、FN，若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與

△FEN相似，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，將射線MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，

交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知Q在y軸上，T為二次函數(shù)對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△QOT為等腰三角形，若符合條

件的Q恰好有2個(gè)，直接寫(xiě)出T的坐標(biāo)．

第9頁(yè)共22頁(yè).

7．（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，拋物線f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A

位于點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，．

（1）求拋物線f（x）的解析式；

（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接線段AC，作∠CAB的平分線AE交拋物線于點(diǎn)

E，將拋物線f（x）沿對(duì)稱軸向下平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)C'得到拋物線f'（x）．在射線AE上取點(diǎn)F，

連接FC，將射線FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°交拋物線f'（x）于點(diǎn)P．當(dāng)△ACF為等腰

三角形時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

第10頁(yè)共22頁(yè).

8．（2022?灌南縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，連接MA，MC，AC，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線l．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）直線l上是否存在點(diǎn)N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，若將原拋物線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求新拋物線與y軸交點(diǎn)P坐標(biāo)．

第11頁(yè)共22頁(yè).

9．（2022?紅花崗區(qū)三模）如圖（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，點(diǎn)P在線段AC

上，從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于點(diǎn)D，完成下列問(wèn)題：

（1）①點(diǎn)E到BC邊的距離為；

②若CD＝x，△BDE的面積為S，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為；（不寫(xiě)自變量取

值范圍）

（2）當(dāng)△BDE的面積為15時(shí)，若PC＜AC，以C為原點(diǎn)，AC、BC所在直線分別為x、

y軸建立坐標(biāo)系如圖（2），拋物線C1過(guò)點(diǎn)A、D、B；

①點(diǎn)Q在拋物線C1上，且位于線段PB的下方，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥PB，垂足為點(diǎn)N，是否

存在點(diǎn)Q，使得QN最長(zhǎng)，若存在，請(qǐng)求出QN的長(zhǎng)度和Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

②將拋物線C1繞原點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線C2，當(dāng)﹣2a≤x≤﹣a時(shí)（a＞0），拋物

線C2有最大值2a，求a值．

第12頁(yè)共22頁(yè).

10．（2022?乳源縣三模）如圖，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）圖

象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，

0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1，若點(diǎn)P為拋物線上第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段CO上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

△APC的面積最大時(shí)，求△APM周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2，將原拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，在新拋物線y'的對(duì)稱軸上

是否存在點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

說(shuō)明理由．

第13頁(yè)共22頁(yè).

11．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，

﹣3），與x軸的交點(diǎn)為B、C，直線l：y＝2x+2與拋物線相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D，

P是直線l下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作線段PM∥x軸，與直線l相交于點(diǎn)M，當(dāng)PM最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及

PM的最大值；

（3）把拋物線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，再向上平移使得新拋物線過(guò)（2）中的P點(diǎn)，E是新

拋物線與y軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，G為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，直接

寫(xiě)出所有使得以B、E、F、G為頂點(diǎn)、BF為邊的四邊形是菱形的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并把求其

中一個(gè)點(diǎn)G的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．

第14頁(yè)共22頁(yè).

12．（2021秋?北京期中）定義：如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)，拋物線C2的

2

頂點(diǎn)在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x的頂點(diǎn)（0，

0）在拋物線y＝﹣x2+2x上，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點(diǎn)（1，1）也在拋物線y＝x2上，所

以拋物線y＝x2與y＝﹣x2+2x關(guān)聯(lián)．

22

（1）已知拋物線C1：y＝（x+1）﹣2，分別判斷拋物線C2：y＝﹣x+2x+1和拋物線C3：

2

y＝2x+2x+1與拋物線C1是否關(guān)聯(lián)；

（2）拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線M1

繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關(guān)聯(lián)，求拋物線M2的解析

式；

（3）拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是與M1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，將

線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點(diǎn)B1恰好在y軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)．

第15頁(yè)共22頁(yè).

13．（2021?錫山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸是直線x＝1，與

x軸的交點(diǎn)為A（﹣3，0）和B，將拋物線y＝x2+bx+c繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，

點(diǎn)M1、A1為點(diǎn)M、A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點(diǎn)．

（1）寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)及求原拋物線的解析式；

（2）求證A，M，A1三點(diǎn)在同一直線上；

（3）設(shè)點(diǎn)P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM1之間的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PM1MD

的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PM1MD的面積；如果不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由．

第16頁(yè)共22頁(yè).

14．（2022秋?道里區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝

x+3交x軸于點(diǎn)A，y軸于點(diǎn)D，拋物線y＝x2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P在第三象限拋物線上，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，連接AP、DP，△APD的面積為s，求s

關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫(xiě)自變量t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段AD相交于點(diǎn)E，且∠EPD＝2

∠PDC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PD交PD于G，y軸于點(diǎn)F，連接PF，若，求線

段PF的長(zhǎng)．

第17頁(yè)共22頁(yè).

15．（2022秋?大興區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，

點(diǎn)A（4，0），∠AOC＝60°，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，連接OD，

將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OE．

給出如下定義：

如果拋物線y＝ax2+bx（a≠0）同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，E，則稱拋物線y＝ax2+bx（a≠0）為關(guān)于

點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，此時(shí)關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴

隨拋物線”的解析式為；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接CE．

①當(dāng)CE取最小值時(shí)，求關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式；

②若關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接寫(xiě)出a的取值范圍．

第18頁(yè)共22頁(yè).

16．（2020秋?天心區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y＝﹣x2+bx+c

與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設(shè)點(diǎn)F（m，

0）是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線

C'．

（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；

（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；

（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物

線C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C'上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否

成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第19頁(yè)共22頁(yè).

17．（2022?大慶模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：與x軸、y軸

分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（0，﹣1），拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l的另一個(gè)交

點(diǎn)為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)F

在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長(zhǎng)為p，求p與t的

函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；

（3）M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，得到△A1O1B1，點(diǎn)

A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)

直接寫(xiě)出點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)．

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