專題7二次函數(shù)與菱形存在性問(wèn)題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘

專題7二次函數(shù)與菱形存在性問(wèn)題

我們已經(jīng)知道菱形是特殊的平行四邊形，它的判定方法一共有五種，分別是

①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③鄰邊相等的平行四邊形

是菱形；④對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形；⑤一條對(duì)角線平分一個(gè)頂角的平行四邊形是菱形.

在做幾何證明題的時(shí)候我們常用的判定方法主要是前三種.

二次函數(shù)和菱形存在性問(wèn)題作為壓軸題目，結(jié)合了“分類討論思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，

勢(shì)必要比單純的菱形判定思考難度要大的多，縱觀歷年中考真題，菱形存在性問(wèn)題主要是以“兩定兩動(dòng)”

為設(shè)問(wèn)方式，其中兩定指的是四邊形四個(gè)頂點(diǎn)其中有兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的或者是可求解的；兩動(dòng)指的

是其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一條直線或者拋物線上，另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)或者該動(dòng)點(diǎn)也在一條直線或者

拋物線上.

【例1】（2020?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直

線x＝4，拋物線與x軸相交于A（2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若將該拋物線的圖象繞x軸上一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)C、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C'、E'，當(dāng)以C、E、

C'、E'為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)后的拋物線的表達(dá)式，

第1頁(yè)共25頁(yè).

【例2】（2021?齊齊哈爾三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、

B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．OA、OB的長(zhǎng)是不等式組的整數(shù)解（OA＜

OB），點(diǎn)D（2，m）在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式及m的值；

（2）y軸上的點(diǎn)E使AE和DE的值最小，則OE＝；

（3）將拋物線向上平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．當(dāng)AD∥FB時(shí)，拋物線向上平移了個(gè)單位；

（4）點(diǎn)M在在y軸上，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)N使以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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【例3】（2022?煙臺(tái)）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)

過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D

點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)

角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【例4】（2022?武昌區(qū)模擬）如圖，直線y＝﹣2x+8分別交x軸，y軸于點(diǎn)B，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c過(guò)B，

C兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸MN與直線BC交于點(diǎn)N．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)

P，使四邊形MNPQ為菱形？并說(shuō)明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)G為y軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC，直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與直

線y＝﹣4x交于點(diǎn)H，若，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

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1．（2022?蒲城縣一模）如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2+3x+c

經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l對(duì)稱，Q點(diǎn)是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使

得以E、F、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第5頁(yè)共25頁(yè).

2．（2022?撫順縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求

點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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3．（2022?歷下區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C，OB＝3OA＝3，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值

及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q，交直線BC于點(diǎn)M，在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得以

M，P，C，G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由．

2

4．（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y＝﹣x+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2），

拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）將拋物線L1平移到拋物線L2，拋物線L2的頂點(diǎn)記為D，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為E．已知點(diǎn)

C（2，﹣1），若以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則請(qǐng)求出拋物線L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

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5．（2022?佛山校級(jí)三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

直線AC的解析式為y＝x﹣2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知k為正數(shù)，當(dāng)0＜x≤1+k時(shí)，y的最大值和最小值分別為m，n，且m+n＝，求k的值；

（3）點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．（2022?邵陽(yáng)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和

點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；

（2）如圖，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，若∠BPD＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為

菱形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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7．（2022?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)），與y軸

相交于點(diǎn)A．已知點(diǎn)B坐標(biāo)為B（1，0），BC＝3，△ABC面積為6．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交線段AC于點(diǎn)D．求PD長(zhǎng)度

的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線，M為新拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，N為平

面內(nèi)一點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解其中一

個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程．

第9頁(yè)共25頁(yè).

8．（2022?恩施市模擬）如圖，已知直線y＝﹣x﹣3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝x2+bx+c

的頂點(diǎn)是（2，﹣1），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作PG⊥AB于點(diǎn)G．

（1）求b、c的值；

（2）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上任意點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，D，M，

N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段PG的長(zhǎng)最小？最小值為多少？

第10頁(yè)共25頁(yè).

9．（2020秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+2交x軸于點(diǎn)A、B，

交y軸于點(diǎn)C．

（1）求△ABC的面積；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作射線CM，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)M，且∠OCM＝∠OAC，點(diǎn)P為線段AC上方拋物

線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線交CM于點(diǎn)G，求線段PG的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將該拋物線沿射線AC方向平移個(gè)單位后得到的新拋物線為y′＝ax2+bx+（ca≠0），新拋物線y′

與原拋物線的交點(diǎn)為E，點(diǎn)F為新拋物線y′對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以

點(diǎn)A、E、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第11頁(yè)共25頁(yè).

10．（2020秋?射陽(yáng)縣期末）已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)A（﹣4，0）

和B（2，0），C（0，8），點(diǎn)M是該拋物線頂點(diǎn)．

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)M坐標(biāo)；

（2）在拋物線上A、C兩點(diǎn)之間的部分（不包含A、C兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D，使的S△DAC＝S△MAC？

若存在，求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)E是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形

是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

2

11．（2020?碑林區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝﹣x﹣4x﹣2的頂點(diǎn)為A，與y軸交于

點(diǎn)B，將拋物線C1繞著平面內(nèi)的某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，拋物線C2與y軸正半軸相交于點(diǎn)C．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若拋物線C2上存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線C2

的表達(dá)式．

第12頁(yè)共25頁(yè).

12．（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AP，CP，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試探究：過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線1，交線段AC于點(diǎn)D，在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，

B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13．（2020?葫蘆島三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BC，在直線BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接AD，與直線BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)DE：AE

＝4：5時(shí)，求tan∠DAB的值；

（3）點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，C，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若

存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第13頁(yè)共25頁(yè).

14．（2020?師宗縣一模）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線

y＝x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在x軸的上方時(shí)，求四邊形COAM周長(zhǎng)的最小值；

（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以C，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)寫出

所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第14頁(yè)共25頁(yè).

15．（2021?兩江新區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．其中

點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），連接AC、BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在拋物線上B，C兩點(diǎn)間有一動(dòng)點(diǎn)P（點(diǎn)P不與B、C兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線，

交BC于點(diǎn)G，求PG的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射線CB方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y′，點(diǎn)

M為新拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N使得以A，C，M，N為頂

點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由．

第15頁(yè)共25頁(yè).

16．（2021?淮安區(qū)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（﹣3，4）、B（﹣3，

0）、C（﹣1，0）．以D為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)，

沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，

交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接BG，求△BGD的面積最大值；

（3）如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)

P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在矩形ABCD內(nèi)（包括其邊界）是否存在點(diǎn)H，使以B，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出t的值：t＝．

第16頁(yè)共25頁(yè).

17．（2021?渝中區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，

B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PF∥x軸交直線BC于點(diǎn)F，過(guò)P作PE∥y軸交

直線BC于點(diǎn)E，求線段EF的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）將該拋物線沿著射線AC方向平移個(gè)單位得到新拋物線y′，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在

平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第17頁(yè)共25頁(yè).

18．（2022?岳池縣模擬）如圖1，一次函數(shù)y＝x﹣4的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點(diǎn)，二次

函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象過(guò)B，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在

點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由．

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19．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，

與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上第一

象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對(duì)稱軸上

是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若（2）中點(diǎn)Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請(qǐng)直接寫出其位似中心的坐標(biāo)．

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20．（2021秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與

y軸交于點(diǎn)C，連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是新

拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)以D、E、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，

直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)F的坐標(biāo)的過(guò)程．

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21．（2021?諸城市三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，

過(guò)點(diǎn)C作直線CD∥x軸，與拋物線交于點(diǎn)D，作直線BC，連接AC．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足∠ECD＝∠ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在y軸上，且位于點(diǎn)C的上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，若

以點(diǎn)C，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)．

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22．（2021?鞍山一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、C兩

點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形BCPQ為菱

形時(shí)，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，且點(diǎn)B在線段OC上時(shí)，將拋物線y＝﹣x2+bx+c向上平移m個(gè)單位，平移后

的拋物線與直線AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在第二象限），點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，若∠DNB＝90°，且符合條件的

點(diǎn)N恰好有2個(gè)，求m的取值范圍．

23．（2022?巨野縣一模）如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y軸于C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，P到BC的距離為h，求h與t的函

數(shù)關(guān)系式，并求出h的最大值；

（3）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)．

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24．（2021?洛陽(yáng)一模）如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、

C，且與x軸另一交點(diǎn)為A，連接AC．

（1）求拋物線的解析