九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)：專題29 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（北師大版）（解析版）

專題2.9二次函數(shù)中的十二大存在性問題

【北師大版】

?題型梳理

【題型1二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】...................................................1

【題型2二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】...................................................12

【題型3二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】..............................................23

【題型4二次函數(shù)中全等三角形的存在性問題】...................................................33

【題型5二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】...................................................41

【題型6二次函數(shù)中菱形的存在性問題】.........................................................52

【題型7二次函數(shù)中矩形的存在性問題】.........................................................62

【題型8二次函數(shù)中正方形的存在性問題】.......................................................74

【題型9二次函數(shù)中面積問題的存在性問題】.....................................................86

【題型10二次函數(shù)中線段問題的存在性問題】.....................................................97

【題型11二次函數(shù)中角度問題的存在性問題】...................................................109

【題型12二次函數(shù)中最值問題的存在性問題】...................................................123

，舉一反三

【題型1二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】

【例1】(2023春?甘肅張掖?九年級(jí)?？计谥?如圖甲，直線y=-x+3與％軸、y軸分別交于點(diǎn)8、點(diǎn)C,經(jīng)

過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+b%+c與4軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P.

甲乙丙

⑴求該拋物線的解析式;

(2)當(dāng)0cx<3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E,使ACBE的面積有最大值(圖乙、丙供畫圖探究)，并求出最大

面積及E點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所

符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

【答案】(1),=%2-4%+3

(2)最大面積為多，

o\Z4/

(3)存在，見詳解

【分析】(1)把B、C的坐標(biāo)代入拋物線，得出方程組，求出方程組的解即口J；

(2)連接CE、BE,經(jīng)過點(diǎn)E作工軸的垂線FE,交直線BC于點(diǎn)兒設(shè)點(diǎn)產(chǎn)(X,-％+3),則點(diǎn)EG,x2-4%+

3),推出￡^二一/+3,根據(jù)S“8E=S叱"+SA8EF=TE"?0B

代人求出即可.

(3)先求出。、P的坐標(biāo)，由勾股定理可求PC的值，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

【詳解】(1)解：二?直線y=-工+3與％軸、y軸分別交于點(diǎn)8、點(diǎn)C,

???B(3,0),C(0,3),

1

A(n，解得?二；,

l0=9+3b+clc=3

工拋物線解析式為y=/-4%+3；

(2)當(dāng)0<%<3時(shí)，在此拋物線上任取一點(diǎn)E,連接CE、BE,過點(diǎn)E作x軸的垂線FE,交直線BC于點(diǎn)F,

設(shè)點(diǎn)尸(%,-x+3),則點(diǎn)E(x,X2-4X+3),

：.EF=-x2+3x,

1?SACBE=S^CEF+SABEF=yE尸"。8=~2x22X=—5(X—5).+

???a=-|<0,0<x<3,

*,?當(dāng)無=：時(shí)，S.C8E有最大值烏，此時(shí)，y=X2-4x+3=-,

zoq

???Eg-富

(3)Vy=x2-4x+3=(x—2)—1,

???對(duì)稱軸為直線％=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,-1),

：?CP=V(2-0)2+(-l-3)2=2V5,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,m),則PM=|m+l|,CM=74+(m-3)2,若CP=PM=2次,

則|m+l|=2倔

Am=-1±2遍，

???點(diǎn)M(2,-1-2遙)或(2,-1+2遙)；

若CP=CM=26,則J4+(m-3尸=2通,

m=7,

，點(diǎn)M(2,7)；

若PM=CM,如圖，過點(diǎn)C作CH1PM于H,

甲

?""=2,PH=4,

??'CH?+HM?=CM2,

：.4+HM2=（4-，M）2,

2

，點(diǎn)M（2,g,

，滿足條件的點(diǎn)M分別為Mi（2,7）,M2（2,-l-2V5）,M3（2,1）,M4（2,-1+2通）.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的最值，等腰三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的

解析式，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng).

【變式1-11（2023春?廣西貴港?九色級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,拋物線y=ax2+3x+c（aL0）與4軸交于點(diǎn)力（一2,0）

???6(8,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

解得仁,

.*.>?=—x+8>

設(shè)P(t,—g/+3t+8),則G(t,-1+8),

：22

,PG=--2t+3t+8+2t-8=--t+4t,

:?SKBP=1x8x(-1t2+4t)=-2t2+16t=-2(t-4)2+32,

???當(dāng)t=4時(shí)，ABCP的面積有最大值，最大值為32；

(3)①存在點(diǎn)M,使得aBEM為等腰三角形，理由如下：

???拋物線的對(duì)稱軸為直線％=3,

，E(3,5),設(shè)M(3,m),

；?BE=5V2,BM=Vzs+m2,EM=\m-5|,

當(dāng)BE=8M時(shí)，5\/2=V25+m2,

解得m=5(舍)或m=-5,

???M(3,-5)；

當(dāng)BE=EM時(shí)，5V2=|m-5|,

解得m=5V2+5或m=-572+5,

???A，（3,5企+5）或（3,-5加+5）；

當(dāng)8M=EM時(shí)，V25+m2=|m-5|,

解得m=0,

???M(3,0)；

綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或(3,-5)或(3,5企+5)或(3,-5a+5)；

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合一面積問題以及特殊三角

形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-21(2023春?山西晉城?九七級(jí)校考期末)如圖1,拋物線y=Q/+"+3與x軸交于4(-1,0),8(4,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。.點(diǎn)P是直線3C上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)夕作PE_Lx軸于點(diǎn)￡,

交直線BC于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求線段PQ的最大值：

(3)如圖2,過點(diǎn)戶作工軸的平行線交)，軸于點(diǎn)M,連接QM.是否存在點(diǎn)P,使得為等腰三角形？若

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(l)y=-；/+：%+3

44

(2)3

(3)存在一點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為［時(shí)，為等腰三角形

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

⑵先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的解析式，設(shè)P(m,-濘2+,+3),則Q(m,-：?n+3),

則PQ=V(m-2)2+3,由此屏可求出答案;

(3)先證明PQ_LPM,則當(dāng)△PQM為等腰三角形，只存在PM=RQ這一種情況，設(shè)P(n,-；n2+^n+3),

則Q(〃，一:九十3),則一：小+371="，解方程即可.

【詳解】(1)解：把力(一L0),8(4,0)代入、=。/+/比+3中得：

116a+4o4-3=0

3

a=-一

?4

,9,

???拋物線解析式為y=一:/+3；

44

(2)解：設(shè)直線8C的解析式為y=kx+瓦，

在y=一：X2+：%+3中，當(dāng)％=0時(shí)，y=3,

AC(0,3),

杷。(0,3),8(4,0)代入y=依+瓦中得,A：々1°.

33

.k=--

..4，

瓦二3

，直線BC的解析式為y=~^x+3,

設(shè)P(m,-3巾2+(巾+3),則Q(m,—^m+3),

；?PQ=~^m2+(m+3-1m+3)

393

=--m.29+-m+3+-m—3

444

32-

=+3m

4

=-^(m-2)2+3,

V--4<0,

???當(dāng)m=2時(shí)，PQ有最大值，最大值為3；

(3)解：???PQ_Lx軸，PM||萬軸，

：.PQ1PM,

???當(dāng)4PQM為等腰三角形，只存在PM=PQ這一種情況，

設(shè)P(n,-^n2+4-3),則Q(n,-1九+3),

同理可得PQ=—+3n.

又*：PM=n,

/.--n24-3n=n,

4

解得九=g或幾=0，

，存在一點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為g時(shí)，APQM為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的定

義等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-31（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖1,拋物線），=加+汝+2（"0）交x軸于點(diǎn)A（-I,0）,點(diǎn)、B

（4,0）,交），軸于點(diǎn)C.連接8C,過點(diǎn)4作交拋物線于點(diǎn)。（異于點(diǎn)4）.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

12）點(diǎn)P是直線8C上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸￡〃），軸，交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EG_L8C于點(diǎn)

G,連接FG.求△PEG面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；

■3）如圖2,將拋物線嚴(yán)加+必+2（g0）水平向右平移汐單位，得到新拋物線v，在巾的對(duì)稱軸上確

定一點(diǎn)M,使得是以BZ）為腰的等腰三角形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中

一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程.

圖1圖2

【分析】（I）用待定系數(shù)法直接可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)G作GH±PE于H,根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，ZACB=90°,則AC±BC,

由EG_LBC得AC=BG,根據(jù)等角的余角相等得NACO=NGEH,證明△ACO出△GEH,可得GH=AO=

1，用待定系數(shù)法求出直線此為丫=一夕+2,根據(jù)AD〃BC得直線人口為丫=

則E(m,一41一鼻，從而得PE=-：m2+2m+：,即可求出△PEG面積為！PE?GH=-2m2+m+3根據(jù)二

2222244

次函數(shù)性質(zhì)即得答案.

(3)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)D(5,-3),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,t),可得BD2=(5-4)2+32=10,BM2=(4

-3)2+t2=l+t2,MD2=(5-3)2+(t+3)2=t2+6t+13,分兩種情況：①當(dāng)BD=BM時(shí)，②當(dāng)BD=MD

時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：(1)把A(-1,U),B(4,U)代入拋物線y=ax2+bx+2得:

普黑雷=。,解得a=

b=

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-；x2+|x+2：

(2)過點(diǎn)G作GH_LPE于H,

AC(0,2),

VA(-1,0),B(4,0),

AAB=5,AC=Vl2+22=V5,BC=V42+22=25/5,

/.AB2=AC2+BC2,

??.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

AAC±BC,

VADZ/BC,EG±BC,

/.AC=BG=V5,

???PE〃y軸,

AZOCG=ZEFG,

VZACO+ZOCG=90°,ZGEH+ZEFG=90°,

.?.ZACO=ZGEH,

VZAOC=ZGHE=90°,

AAACO^AGEH(AAS),

.\GH=AO=L

設(shè)直線8€：為丫=1^+11,將C(0,2),B(4,0)代入得：

此2n=0,解得忙j，

???苴線BC為y=—gx+2,

VAD/7BC,A(-1,0),

.,?直線AD為y=-%-3

設(shè)P(m,--m2+-m+2),則E(m,--m--),

2222

PE=--2m22+2m+-,

???△PEG面積為;PE?GH=--m2+m+-=-i(m-2)2+p

24444

Am=2時(shí)，△PEG面積的最大值為：，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)；

(3)???拋物線y=-1x2+1x+2=-；(x—)2+言水平向右平移泠單位，得到新拋物線yl=-1(x-3)2+曾

ZZZ28Z2o

，yl的對(duì)稱軸為x=3,

聯(lián)立直線AD為拋物線y=_]2+]+2,解得‘二或[二]3，

AD(5,-3),

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,t),

???BD2=(5-4)2+32=10,

BM2=(4-3)2+t2=l+t2,

MD2=(5-3)2+(t+3)2=t2+6t+13,

①當(dāng)BD=BM時(shí)，

Al+t2=10,

?**t—±3,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,3）或（3,-3）,

,:點(diǎn)、（3,3）與B,D共線，

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,-3）；

ABD2=MD2,

At2+6t+13=10,

At=-3±V6,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,-3+連）或（3,-3-V6）；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,-3）或（3,-3+限）或（3,-3-V6）.

【題型2二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】

【例2】（2023春?四川廣安.九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知拋物線、=。％2+加+（;（。。0）經(jīng)過點(diǎn)力（_3,2）,

（2）試在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)￡,使得△//）￡1的面積最大，并求出最大面積：

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得AAO"是直角三角形？如果存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存

在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（l）y=：x2-3%-2.

（2）E（1,-2》△力DE的面積S有最大值10（

⑶存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸6,13）或G，-7）或G，?）或G，-?）.

/4乙，44

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法，建立方程組求解；

（2）運(yùn)用待定系數(shù)法，確定直線4D解析式為、=-：工+：，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求解得。（5,-2）,過點(diǎn)E

作EF1%軸，交AD于點(diǎn)G,設(shè)E（7n,：7n2——2）,△AOE的面積：,EG.（x。—%斗）=一jm?+令九+10=

一家m—1尸+10會(huì)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得△ADE的面積有最大值10泉F（l,-2|）.

⑶存在.設(shè)點(diǎn)尸6,孔），則力尸？=02―4九+詈；DF2=n2+4n+AD2=80；分情況討論：①若/兄4。=

90%②若NFZM=90。，③若NOB4=90。，根據(jù)勾股定理，建立方程求解得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：由題意，

?12zs「

..>■=-6x--6x-2.

(2)解：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+p(kHO),則

???直線4）解析式為y=—+也

聯(lián)立直線與拋物線解析式，得

過點(diǎn)￡作EFJ.%軸，交AD于點(diǎn)G,

設(shè)E(m,：77i2—-2),G(m,—：7n+3，則EG=(―[TH+3_Cm?一_2)=_：7n2+=m+：

66222266632

△4DE的面積S=^EG?(xD—xA)=3乂(-*/+3血+｝乂(5+3)=-|m2+gm+io

,S=號(hào)/+刎+io=-I)2+io|

???當(dāng)m=l時(shí)，-3vm<5,△的面積有最大值10/

2

此時(shí)，-6m—~6m-23=-2-,

設(shè)點(diǎn)F(|,“)，則

AF2=(-3-1)2+(2-n)2=n2-4n+子;

DF2=(5—1)2+(—2—n)2=n2+4n+?；

AD2=(-3-5)2+(2—(-2))2=80；

①若4FAO=90。，則。尸2=4。2+力尸2,

.*.n2+4n+-=804-n2-4n4--,解得，n=13

44

.才6，13）：

②若"DA=90°,則4戶=DF2+AD2f

.*.n2—4n+—=80+n2+4n4--,解得，n=-7

44

③若產(chǎn)力=90°,則力。2=DF2+力/2,

+i++80,

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸（右13）或C，-7）或或?，一"）.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，函數(shù)圖象交點(diǎn)與方程組的聯(lián)系，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì);

根據(jù)勾股定理建立方程是解題的美鍵.

【變式2-1］（2023春?遼寧盤錦?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線y=x+3與％軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)B,

拋物線y=-x2+"+c經(jīng)過4、B兩點(diǎn),與X軸交于另一個(gè)點(diǎn)C,對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)E,拋物線頂點(diǎn)為D.

⑴求拋物線的解析式；

⑵在第三象限內(nèi)，尸為拋物線上一點(diǎn)，以4、E、尸為頂點(diǎn)的三角形面積為3,求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)尸是對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在某一點(diǎn)P使P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是以BC為直角邊的直角三角形？

若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，說明理由.

【答案】（l）y=-x2-2x+3

⑵空

（3）存在，（一15）和（一1，一|）

【分析】（1）先由直線4B的解析式為y=x+3,求出它與工軸的交點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)8的坐標(biāo)，再將A,B兩

點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c,再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)打的坐標(biāo)為（tn,-/十2租+3）,運(yùn)用配方法求出拋物線的對(duì)稱釉和頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，再

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與無軸交于點(diǎn)G,連接FG,再根據(jù)SMEF=S^AEG+SAAFG-SAEFG=3,列出關(guān)于7幾的方程,

解方程求出m的值，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)：

（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1,九），先由5,C兩點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)用勾股定理求出BC,再分兩種情況討論：①若ZP8C=9O。,

根據(jù)勾股定理列出關(guān)于n的方程，求出幾值，得出P點(diǎn)坐標(biāo)；②若/BCP=90。，同①可求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)，

進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】(1)?.?y=X+3與％軸的交點(diǎn)4,與y軸的交點(diǎn)8的坐標(biāo),

二當(dāng)y=0時(shí),x=-3,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),

當(dāng)大=0時(shí)，y=3,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),

將4(-3,0),B(0,3)代入y=-/+6%+c,

得"。=。，

.\b=-2

"(c=3

???拋物線的解析式為y=-X2-2X+3

(2)如圖1,設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,-巾2-2血+3),

圖1

則n<0,—m2—2m+3<0.

vy=-x2-2%+3=-(%+l)2+4,

???對(duì)稱軸為直線x=-1，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,4),

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)G,連接FG,則G(-1,0),AG=2.

???直線A8的解析式為y=x+3,

.?.當(dāng)X=-l時(shí)，y=-l+3=2,

E點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2).

SMEF=SMEG+SMFG~

111

=~^2X2+—x2x(ni2+27n-3)——x2x(—1—TH)

4/)4

=n24-3m

.?.以4、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3時(shí)，m2+3?n=3,

解得：機(jī)】=三①，血2=帶包(舍去)，

當(dāng)利=壽更時(shí).

—m2—2m+3

=-zu2-3m+m+3

=-3+TH+3

=m

二2

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(二^,三四)：

(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(一1,71),

???8(0,3),C(l,0)

:.BC2=12+32=10

分兩種情況

則PB?+BC2=PC2,即(0+I)2+(n-3)2+10=(1+I)2+(n-0)2,

8

???n=

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(T,J;

②如圖3,

圖3

若iBCP=90。，

則8c2+pc2=PB2,即104-(1+l)2+(n-0)2=(0+l)2+(n-3)2

2

A?l=-一

3

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,一5

綜上所述，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,J或(-L一|).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，函數(shù)圖像二的點(diǎn)的坐標(biāo)

特征，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和三角形面積的求法，直角三角形性質(zhì)和勾股定理，其中利用面積的和差表示出

S-EF和分類討論是解本題的關(guān)鍵?

【變式2-21(2023春?廣東梅州?九年級(jí)?？计谥?己知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過火一2,5),8(-1,0),

與工軸交于點(diǎn)C

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P直線為C下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求4面積的最大值；

(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使AACQ是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【答案】(I)二次函數(shù)的解析式為，二無2一2工一3

⑵品"=v

(3)存在,QI(1,8),Q2(1,-2)?3(L6),QK1，T)

【分析】⑴直接把點(diǎn)力(-2,5),8(-1,0)代入、=%2+以+以求出反(:的值即可得出拋物線的解析式；

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)S“AC=：PE(%C-XA)；得出SA/MC=-J%2+3%+15,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)，即可求解.

(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(l,y),然后分三種情況討論：①乙QAC=90。；②，QC4=90。：③乙CQA=90。.由勾

股定理得到關(guān)于y的方程，解方程求出y的值即可.

【詳解】(1)解：將4(一2,5),8(-1,0)代入丫=/+.+。

省(4-2b+c=5

皿l-b+c=0

解叱二二；

???二次函數(shù)的解析式為尸/一2%-3

(2)將y=0代入y=%2—2x—3得％2—2x—3=0,解得與=—l,x2=3

???點(diǎn)C(3,0)

???點(diǎn)P直線AC下方拋物線上的一匆點(diǎn)，過點(diǎn)P作PElx軸交AC于點(diǎn)￡如圖所示:

則SA/MC=：PE(%C-4)

由4(-2,5),C(3,0)得直線4c的解析式為：y=-x+3

???設(shè)P(X,--2X-3),則點(diǎn)￡。,一%+3)

?*-^c-xA=3-(-2)=5

22

PE=yE-yP=(-x+3)-(x-2x-3)=-x+x+6

22

,SAPAC=^PE{XC-XA)=1(-X+x+6)x5=-|x+|x+15

..b51

.x=—=—y-=

2a2x(啜2

將x=之代入SMAC=—；/+|x+15可得最大面積為SNAC=殍；

4//o

(3)解：存在，Qi(1,8),Q2(l,-2),Q3(1，6)，＜241，-1)

,:y=x2-2%-3=(%-l)2-4,

???對(duì)稱軸是直線x=1.

???A(-2,5),C(3,0),

???AC2=(3+2)2+(0-5)2=50.

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(l,y),分三種情況：

①如果ZQ4C=90°,那么。力2+AC2=QC2t

則(1+2)2+(y—5)2+50=(1-3)2+(y—0)2,解得y=8,

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,8)：

②如果“C4=90。,那么QC2=Q42,

則(1-3)2+(y—0)2+50=(1+2)2+(y—5)2,解得y=-2.

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2)：

③如果々CQ4=90。，那么＜242=402,

則(1-3)2+(y-0)24-(1+2)2+(y—5)2=50,解得y=-1或6,

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(1,—1)或(？(1,6).

綜上所述，所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Qi(l,8),(22(1，-2),Q3(l，6)，＜?式1,一1)?

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形

的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí).熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?甘肅金昌?九年級(jí)統(tǒng)考期中)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Q(X-1)2+3與％軸交于

A,8(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)4。的坐標(biāo)；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使ABCP是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在,

請(qǐng)說明理由：

(3)如圖，點(diǎn)M是直線8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM,OM,是否存在點(diǎn)M使AM+OM最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

【答案］(19=一9(%—1)2+￡*—2,0),C(0,4)

(2)存在，尸(1,5),(1,-3),(1.2+V7),(1,2-V7)

(3)存在,M(一當(dāng))

【分析】(1)將8(4,0)代入y=Q(x—1)2+(待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令％y=0,解方程即可求

解；

(2)根據(jù)題意y=-1(x-1)2+￡對(duì)稱軸為宜線％=1,設(shè)P(l,〃)，根據(jù)勾股定理=42+42=32,BP2=

(4-l)z+n2,PC2=l2+(4-n)2,分①當(dāng)48cp=90°時(shí)，②當(dāng)上C8P=90°時(shí)，③當(dāng)乙BPC=90°時(shí)，根

據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解；

(3)存在點(diǎn)M使力M+OM最小，作0點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接力Q交BC于點(diǎn)M,連接8Q,求得直線4Q的

解析式y(tǒng)=+$直線BC的解析式為y=-x+4,聯(lián)立方程即可求解.

【詳解】(1)解：將B(4,0)代入y=Q(x-1)2+(

即0=9a+￡解得：a=

?,*>"=一：(%-I)?+'

令x=0,則、=一3+：=4,

令y=0,則一-+g=0,

解得:%i=4,x2=-2,

>4(-2,0),C(0,4)

(2)解：存在點(diǎn)P,使aBCP是直角三角形，

Vy=-1(x—I)2+p對(duì)稱軸為直線x=l,

設(shè)P(l,n),

VB(4,0),C(0,4),

：,BC2=42+42=32,BP2=(4-l)2+n2,PC2=l2+(4-n)2

①當(dāng)乙BCP=90。時(shí)，BP2=BC2PC2,

.*.(4-I)2+n2=32+l2+(4-n)2

解得：n=5

②當(dāng)/CBP=90。時(shí)，PC2=BC2BP2,

I2+(4—n)2=(4—l)2+n2+32

解得：n=-3

③當(dāng)NBPC=90。時(shí)，BC2=BP2+PC2,

32=(4-I)2+n2+l2+(4-n)2

解得：n=2-夕或九=2+V7.

綜上所述：P(l，5),(1,-3),(1,2+夕)，(1,2-V7)

(3)存在點(diǎn)M使力M+OM最小，理由如下：

作0點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接AQ交鳳:于點(diǎn)M,連接8Q,

由對(duì)稱性可知，OM=QM,

???AM+OM=AM+QM>AQ,

當(dāng)W、M、Q三點(diǎn)共線時(shí)，AM+OM有最小值,

???8(4,0),C(0,4),

???OB=OC,

A/.CBO=45°,

由對(duì)稱性可知NQBM=45。，

BQ1BO,

；.Q(4,4),

設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+b,

.(-2k+b=0

i4k+b=4'

解斛k=-3

b=-

3

直線力Q的解析式y(tǒng)=|x+p

設(shè)直線8c的解析式為y=mx+4.

4m+4=0,

:.m=—1,

二直線BC的解析式為y=—%+4?

(y=-x+4

聯(lián)立方程組2.4

y=/+5

解得《

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)求解析式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段長的最值問題,

熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型3二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】

【例3】(2023春?山西陽泉?九年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Q%2+.一2與

x軸交于點(diǎn)力(一1,0)和點(diǎn)8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,過動(dòng)點(diǎn)0(0,m)作平行于％軸的直線!，直線，與勉物線y=

a"+b%-2相交于點(diǎn)E,F.

(備用圖)

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求m的取值范圍；

(3)直線L上是否存在一點(diǎn)P,使得A8CP是以8c為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)、=；%2一|%一2：

(2)771>

8

(3)存在,2或4.

【分析】(1)把點(diǎn)4(一1,0)和點(diǎn)B(4,0)代入y=a/+.一2,求解即可；

(2)將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，求得y的最小值為-算.由直線Z與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即可得出m>-§；

o8

(3)分兩種情況：①當(dāng)"CP=90。，83=PC時(shí),②如圖,當(dāng)“BP=90。,BC=8P時(shí),分別求解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線、=aM+b%-2經(jīng)過點(diǎn)力(一1,0)和點(diǎn)3(4,0),

.a-b-2=0,

?116。+4b-2=0.

("二

解得12

[b=-l

???拋物線的表達(dá)式為y=1X2-1Z-2.

(2)解:y=；x2-；x-2=

???N的最小值為—號(hào).

o

;直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

.*.771>——.

8

(3)解：存在.

當(dāng)x=0時(shí)，y=1x2-1x-2=-2.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2).

①3圖，當(dāng)乙BCP=90。，BC=PC時(shí)，過點(diǎn)。作PG1y軸于G,

：.LB0C=Z.CGP=90°.

?:乙BC0+Z.PCG=90°,Z.GPC+Z.PCG=90°,

:.乙BC0=乙CPG.

??ABCO—△CPG.

:?CG=BO=4.

?：C0=2,

，仇=OG=4—2=2.

延長PC至P'使得CP'=CP,此時(shí)△BCP'也是等腰直角三角形.

易得,此時(shí)巾二一6.（不合題意，舍去）

②如圖，當(dāng)NC8P=90。，8C=BP時(shí)，過點(diǎn)P作尸M_Lx軸于M,

VzBOC=Z.BMP=90°,乙BCO+乙OBC=90°,/.PBM4-Z.OBC=90°,

：.LBCO=乙PBM.

***ABCO=△PBM.

：.PM=8。=4.

An=PM=4.

延長PB,使得BP=8P,此時(shí)△BCP'也是等腰直角三角形.

同理可得，m=-4.（不合題意，舍去）

綜上所述，直線，上存在一點(diǎn)P,使得4BCP是以8C為直角邊的等腰直角三角形.

m的值為2或4.

【點(diǎn)睛】本題屬二次函數(shù)綜合題目，主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次

函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)問題，全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，屬中考?？荚囶}目，要求學(xué)生

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，注意（3）問要分類討論，以免漏解.

【變式3-11（2023春?福建漳州?九年級(jí)校考期中）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)8（1,0）,

與『軸交于點(diǎn)4其對(duì)稱軸為直線，：x=2,過點(diǎn)力作4ch軸交拋物線于點(diǎn)C,41OB的角平分線交線段AC于

點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的解析式；

⑵若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形40PE面積最大，并求出其最

大值;

⑶如圖②，尸是拋物線的對(duì)稱軸〃二的?點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使aPOF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（l）y=/一4%+3

（2）當(dāng)機(jī)=李時(shí)，四邊形力OPE面積最大，最大值為孩

（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：匕（爭(zhēng)，1）,「2（爭(zhēng)，雪），匕（芋，竽），外（雪，子）

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸可得％=-/=2,將8（1,0）代入，待定系數(shù)法求解析式可得拋物線的解析式:

（2）設(shè)P（m,Hi?-4m+3）,根據(jù)。E的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOOE

的面積，利用配方法可得其最大值：

（3）存在四種情況：如圖3,作鞋助線，構(gòu)建全等三角形，證明A0MP三△「可「，根據(jù)。M=PN列方程可

得點(diǎn)P的坐標(biāo)：同理可得其他圖形中點(diǎn):P的坐標(biāo).

【詳解】Q)解：依題意，x==2,

2a

.*.fc=—4a,

，拋物線解析式為y=ax2-4ax+3,

將點(diǎn)8(1,0)代入得Q—4Q+3=0

解得：Q=1,

二拋物線的解析式；y=/—4%+3；

(2)如圖2,設(shè)P(m,7n2-4?n+3),

x

I

圖2

???砧平分4/。8,Z.AOB=90°,

:.Z.AOE=45°,

???△40E是等腰直角三角形，

???AE=OA=3,

.-.￡(3,3),

設(shè)直線OE的解析式為y=kx,

3=3k,

解得：k=T,

則直線OE的解析式為：y=x,

過P作PGIIy軸，交OE于點(diǎn)G,

:.G(771,771),

???PG=m-(?n2-4?n+3)=-m2+5?n-3,

A§四邊形HOPE=SAA0E+S”0E，

=-x3x3+-PG-AE,

22

=；+|x3x(—m2+5?n—3),

3i15

=~2m2+~,1，

=；(m-1)'+7)

???-；vo，

.?.當(dāng)m=J時(shí)，S有最大值是g；

No

(3)如圖3,過P作MN_Ly軸，交y軸于M,交［于N,

圖3

???△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

???AOMP=z.OPF=乙FNP=90°

乙MOP=90°-乙0PM=乙NPF

???△0MP三〉PNF,

???0M=PN,

???P(m,m2-4m4-3),

則一Tn?+4rn.-3=2—m,

解得：m=

?“的坐標(biāo)為（畔，苧）或（T1-店

2

如圖4,過P作MN_LX軸于N,過F作FMJ.MN于M,連接PP.

同理得AON尸三△PMG

PN=FM,

則-W+4m-3=m-2,

解得：x=等或等;

P的坐標(biāo)為（苧。）或（子1+傷

2

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：心（于，），七（寧，手），匕（手，寧），伍（亨，望）?

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元

二次方程的方法，解第（2）問時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題.

【變式3-2］（2023春?湖南湘西?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=r+3交x軸于點(diǎn)

B,交y軸于點(diǎn)C,直線力。交工釉于點(diǎn)4,交），軸于點(diǎn)。，交直線于點(diǎn)E（—；,且CO=1.

圖1圖2

（1）求直線4。解析式；

⑵點(diǎn)。從4點(diǎn)出發(fā)沿線段BA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A,3兩點(diǎn)重合），設(shè)點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為人則是否存在/,使得為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出I的值，若不存在，請(qǐng)說明

理由;

⑶在（2）的條件下，點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)Q從。點(diǎn)出發(fā)沿射線C。方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也

停止運(yùn)動(dòng)，連接4Q,PQ,設(shè)△4PQ的面積為S,S與/的函數(shù)關(guān)系式為S=1#2—12t+萬(0&'<D

la(t-l)(t-7)(1<t<7)

其圖象如圖2所示，結(jié)合圖1、圖2的信息，請(qǐng)求出。的值及當(dāng)△力PQ的面積取得最大值時(shí)AQ的長.

【答案】(l)y=%+4

(2)存在t=，吏得△4EP為等腰直角三角形

(3)a=-AQ=V97

【分析】(1)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)CO=1求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)。和點(diǎn)￡的坐標(biāo)利用待定系數(shù)

法求解即可；

(2)先求出點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)，得到。4=。。=4,則乙。4。=45。，推出當(dāng)△4EP為等腰直角三角形時(shí)，

只存在/APE=90?；颉?=90。兩種情況，當(dāng)乙4PE=90。時(shí)，此時(shí)EP1AP,即EP1工軸，當(dāng)心AEP=90°

時(shí)，則點(diǎn)E在線段AP的中垂線上，則此時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)尸關(guān)于直線％=-：對(duì)稱，據(jù)此求解即可；

(3)將(3,12)代入S=a(C—1)(—7)中即可求出。的值；再根據(jù)當(dāng)1<￡V7時(shí)，S是關(guān)于/的二次函數(shù)，

利用二次函數(shù)的對(duì)稱性得到當(dāng)￡=4時(shí)，5有最大值，最大值為§，進(jìn)而求出AP=3,利用三角形面積法求出

OQ=9,即可利用勾股定理求出/1Q=歷.

【詳解】(1)解：當(dāng)％=0時(shí)，y=-%+3=3,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

*：CD=1,

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4),

設(shè)直線力。的解析式為y=kx+b,

.(--k+b=-

.J22,

(b=4

.僅=1

**U=4，

工直線40的解析式為y=x+4：

(2)解：當(dāng)、=-％+3=0時(shí)，%=3,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,0),

當(dāng))，="+4=0時(shí)，x=-4,

**.71(—4?0),

/.0A=OD=4,

又=90°,

：,LOAD=45°,

???當(dāng)4力EP為等腰直角三角形時(shí)，只存在/L4PE=90?；?AEP=90。兩種情況,

當(dāng)乙APE=90°時(shí)，此時(shí)EP1AP,即EP1%軸，

當(dāng)"EP=90。時(shí)，則點(diǎn)E在線段”的中垂線上，

???此時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)P關(guān)于直線％=對(duì)稱，

???點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(3,0)(舍去，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合)；

綜上所述，存在￡=(使得仆AEP為等腰直角三角形；

(3)解：將(3,12)代入5=。?-1)。-7)中得：。(3—1)x(3—7)=12,

???當(dāng)1ct<7時(shí)，S=-|(t-l)(t-7),即S此時(shí)是關(guān)于/的二次函數(shù)，

???由對(duì)稱性可知，當(dāng)"子=4時(shí)，S有最大值，最大值為一卜(4一1)x(4-7)二1

；?BP=4,

.'.AP=3-(-4)-4=3,

^^APQ=^APOQ,

.《X3OQ號(hào)，

：.OQ=9,

：.AQ=yj0Q2+0A2=V97.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等等，正確理解題意并讀懂函數(shù)

圖象是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?北京通州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，拋物線以=。/-2%+::的圖象與工牯交點(diǎn)為4和

B,與y軸交點(diǎn)為。(0,3),與直線?2=-％-3交點(diǎn)為A和C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)在直線丫2=-％-3上是否存在一點(diǎn)M,使得是等腰直角三角形，如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，

如果不存在請(qǐng)說明理由.

(3)若點(diǎn)E是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把點(diǎn)￡向下平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)R點(diǎn)/向右平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)

G,點(diǎn)G向上平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)“，若四邊形EFGH與拋物線有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)出

的取值范圍.

【答案】(l)y=—/—2x+3

(2)存在,M(-1,-2)或M(l,-4)

⑶-2聲-5<<2V2-1

【分析】(1)先求得4(一3,0),然后將4(一3,0),。(0,3)代入丫1=。/-2%+5即可求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)M(m,rn-3),根據(jù)△48M是等腰三角形，分類討論，根據(jù)勾股定理即可求解；

(3)設(shè)點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)注，分別求出，F(xiàn)(XE,一4),6(益+4,-4),H(&+4,0),當(dāng)尸點(diǎn)在拋物線上時(shí),

x￡=-1+2&或&=-1-2vL當(dāng)G點(diǎn)在拋物線上時(shí)，XE=-5+2直或&=-5-2V2,結(jié)合圖象可得

-242-5<冷<2或一1時(shí)，四邊形EFG”與拋物線有公共點(diǎn).

【詳解】(1)解：由y=—x-3得，y=0時(shí)，x=-3,

?M(-3,0).

???拋物線y=