第15講 設(shè)點(diǎn)設(shè)線技巧之設(shè)點(diǎn)技巧歸納總結(jié)（解析版）

一．解答題（共19小題）B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè)．記ΔAFG，ΔCQG的面積為S1，S2.（1）若直線AB的斜率為求以線段AB為直徑的圓的面積；求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).【解答】解1）由題意可得=1，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x，由已知設(shè)直線AB的方程為（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(xC，yC)，重心G(x0，y0)，令y12，由直線AB過點(diǎn)F，故直線AB的方程為y+1，代入所以由于點(diǎn)Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故t2>2，當(dāng)且僅當(dāng)即m=時(shí)，取得最小值1+，此時(shí)G(2,0).2．如圖，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記ΔAFG，ΔCQG的面積分別為S1，S2.2(Ⅱ)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).2：，:p=2，:拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1；A，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)，由于直線AB過F，故直線AB的方程為y+1，代入y2=4x，得：y2-y-4=0，B:直線AC的方程為y-2t=2t(x-t2)，得Q(t2-1，0)，Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，:t2>2， :當(dāng)m=時(shí)，取得最小值為1+，此時(shí)G(2,0).3．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓Γ1的方程；（2）設(shè)S為橢圓Γ1的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l1與Γ1交于M、N兩點(diǎn)（均異于S)，直線MS、NS分別交直線x=4于U、V兩點(diǎn)，證明：U、V兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，并求出該定值；（3）記以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)、F(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線為Γ2，如圖，過點(diǎn)F的直線與Γ2交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在Γ2上，并使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在F的右側(cè)，設(shè)ΔAFG、ΔCQG的面積分別為S1、S2，是否存在銳角θ,使得cosθ成立？請(qǐng)說明理由.【解答】解1）依題意，得b=·,且a2-b2=1，:橢圓Γ1的方程為.（2）證法1:由橢圓Γ1的方程可知S(2,0).若直線l1的斜率不存在，則直線l1:x=1，:M(1,)，N(1,-)，直線MS、NS的方程分別為3x+2y-6=0、3x-2y-6=0，易得U(4,-3)，V(4,3)，:U、V兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為3×(-3)=-9.若直線l的斜率存在，則可設(shè)直線l:y=k(x-1)，聯(lián)立橢圓的方程，得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MS的方程為，:點(diǎn)U的縱坐標(biāo)同理，點(diǎn)V的縱坐標(biāo).所以.綜上，U、V兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值-9.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y12直線MS的方程為，:點(diǎn)U的縱坐標(biāo)同理，點(diǎn)V的縱坐標(biāo). 2y12y24y1y24y1y2yUyV=x12.x22=(ty11)(ty21)=t2y1y2t(y1+y2)+1=9 證法3：由橢圓Γ1的方程可知S(2,0).設(shè)U(4,m)，V(4,n)，則直線MS的方程為由韋達(dá)定理可得2xM=即于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為同理，點(diǎn)N的坐標(biāo)為M、F、N三點(diǎn)共線，:FM//FN證法4：由橢圓Γ1的方程可知S(2,0).若直線l的斜率不存在，則直線l:x=1，若直線l的斜率存在，則可設(shè)M(2cosα,·sinα)，N(2cosβ,·sinβ)，,化簡(jiǎn)整理得2sin(α一β)=sinα一sinβ,注意到直線l的斜率存在，:sin，又直線MS的方程為可得點(diǎn)U的縱坐標(biāo)同理，點(diǎn)V的縱坐標(biāo)，（3）不存在.理由如下：顯然，拋物線Γ2的方程為y2=4x.則直線AB方程可為y+1，故2tyB=4（注：這里yB表示點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，余類似進(jìn)而C((t)2,2t)，..若存在銳角θ,使得cosθ成立，則cosθ<1+即<1+，這與(?)矛盾.因此，不存在銳角θ,使得cosθ成立.t2.S2c3，:Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，:Ψ>1，t2t2)11若存在銳角θ,使得=(1+)cosθ成立，則cosθ<1+ 因此，不存在銳角θ,使得=(1+)cosθ成立.4．已知雙曲線的焦距為3，其中一條漸近線的方程為xy=0．以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn).若點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|，求證為定值. :a2+b2=① :一條漸近線的方程為x一·2y=0，②:橢圓E的方程為y2=1. (Ⅱ)解：:點(diǎn)P為橢圓的左頂點(diǎn)，:P(一·3，0)，:G設(shè)A(x1，y1)，則B(-x1，-y1)，(Ⅲ)證明：由|PA|=|PB|，知P在線段AB垂由橢圓的對(duì)稱性知A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①若A、B在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)P在橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)上，此時(shí)②當(dāng)點(diǎn)A，B，P不是橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx(k≠0)，則直線OP的方程為x，設(shè)A2)2，綜上所述M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M.（1）求橢圓C的方程；（2）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍.（2）設(shè)M(x0，y0)，則圓M的半徑圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x0|，…（8分）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)則有r>d即>|x0|，…:M為橢圓上的點(diǎn):2≤x0≤2，…（13分）（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）作直線垂直于x軸，交橢圓C于點(diǎn)Q，R，點(diǎn)P是橢圓C上異于Q，R兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PQ，PR分別與x軸交于S，T兩點(diǎn)，判斷|OS|.|OT|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.F222|MFF，22故所求橢圓方程為（2）依題意得知：Q，R兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，由y=0得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)由y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo):|OS|.|OT||=4，為定值.7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(—,0),F2(,0)，且橢圓E經(jīng)過（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓E上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線MB與x軸交于點(diǎn)C，直線MA與y軸交于點(diǎn)D，求四邊形ABCD的面積.【解答】解1）因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)坐所以2a=P????（3分）2（2）設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)(0<x0<2，0因?yàn)锳(2,0)，且A，D，M三點(diǎn)共線，所以解得…………（8分）…………（10分）…………（12分）因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在橢圓上，所2代入上式得：:四邊形ABCD的面積為2.…………（14分） 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:過點(diǎn)A(,)，B(,).（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)Q(x0，y0)是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P，M，N是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足OP=x0OM+y0ON，求證：直線OM與證明2）令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由OP=x0OM+y0ON，可知P(x0x1+y0x2，x0y1+y0x222x2222xyxxx222x2222xyxx（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)Q(x0，y0)是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P，M，N是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足OP=x0OM+y0ON，探討OM:橢圓E的方程為+y2=1；2（2證明如下：令M(x1，y1)，N(x2，y2)，0OM+y0ON，得P(x0x1+y0x2，x0y1+y0y2)，整理得x02+y02+220202得2).y2.故y12222222222222故OM+ON是定值，等于9.10．定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)P到曲線Γ上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到曲線Γ的距離．在平離與到A點(diǎn)的距離相等，記P點(diǎn)的軌跡為曲線W.(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線l(l不與坐標(biāo)軸重合）與曲線W交于不同的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)E在曲線W上，且CE丄CD，直線DE與x軸交于點(diǎn)F，設(shè)直線DE，CF的斜率分別為k1，k2，求k2所以P點(diǎn)的軌跡為以A、M為焦點(diǎn)的橢圓2分），y1)(x1y1≠0)，E(x2，y2)，則D(x1，y1)，則直線CD的斜率為kCD=，又CE丄CD，所以直線CE的斜率是kCE=—記設(shè)直線CE的方程為所以（9分）所以直線DE的方程為y+y1=，令y=0，得x=2x1，即F所以k1（其他方法相應(yīng)給分）l:y=kx+m交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，且OA.OB=（1）求橢圓C的方程.（2）討論3m22k2是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由. 【解答】解1）由題意可知=，2b2)，整理，得a2=2b2，①又點(diǎn)在橢圓上，所以有②故所求的橢圓方程為+y2=1.（2）3m22k2為定值，理由如下：2+y1y212．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+y2=1(a>1)的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的上、下頂(Ⅲ)過橢圓的右頂點(diǎn)C的直線l與橢圓交于點(diǎn)D（點(diǎn)D異于點(diǎn)C)，與y軸交于點(diǎn)P（點(diǎn)P———→———異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，直線AD與BC交于點(diǎn)Q．證明：OP———→——— A，B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，F(xiàn)2到直線AF1的距離為·2.2b22，解得a=s2，:橢圓E的方程為+y2=1.MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN:y=k(x—1)，代入橢圓方程可得2)x24k2x+2k22=0，x22 (Ⅲ)證明：」橢圓的右頂點(diǎn)C(·2，0)，設(shè)點(diǎn)Q(x,,y,)，直線BC的方程為，A、D、Q三點(diǎn)共線，則有將xD=代入，得：k，:y,=-2k 13．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，且離心率為.(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與曲線C相交于異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)D、E，且直線AD與直線AE的斜率之和為2，則直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由.因?yàn)殡x心率為，所以②又a222，③所以橢圓的方程為，E(x2，y2)，聯(lián)立x22因?yàn)橹本€AD與直線AE的斜率之和為—2，因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)A(2,1)，14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Ω:的離心率為，直線l:y=2上的點(diǎn)和橢圓Ω上點(diǎn)的最小距離為1.（1）求橢圓Ω的方程；（2）已知橢圓Ω的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是Ω上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，F(xiàn)．記直線AC與AB的斜率分別為k1，k2.①求證：k1.k2為定值；②求ΔAEF的面積的最小值.b2202 |≤·i2，:≥,≥2s2， :ΔAEF的面積的最小值為15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y12（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡；2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.【解答】解1）設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).故所求點(diǎn)P的軌跡為直線.直線MTA方程為即，直線NTB方程為即聯(lián)立方程組，解得：所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為.（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,m)直線MTA方程為即直線NTB方程為，即y=直線MN方程為令y=0，解得：x=1．此時(shí)必過點(diǎn)D(1,0)；2時(shí)，直線MN方程為：x=1，與x軸交點(diǎn)為D(1,0).所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D(1,0).此時(shí)直線MN的方程為x=1，過點(diǎn)D(1,0).ND，所以直線MN過D點(diǎn).因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1,0).16．已知A是橢圓E:+=1的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，且AM.AN=（1）當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求ΔAMN的面積；（2）當(dāng)19|AM|=8|AN|時(shí)，求k的值.【解答】解1）設(shè)M(x1，y1)，由題可知A(—2,0)，y1>0，故直線AM的方程為y=x+212y7所以ΔAMN27749ΔAMN27749設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2)，聯(lián)立，得x22x212所以2x1 2同理可設(shè)直線AN的方程為解得|AN|=，所以k=2. 17．已知橢圓G:+=1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)F(1,0)．過點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線l，交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M(2,0)是一個(gè)定點(diǎn)．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)（不同于A、B)，記直線CD的斜率為k1.(Ⅱ)在直線l的斜率k變化的過程中，是否存在一個(gè)常數(shù)λ,使得k1=λk恒成立？若存在，求出這個(gè)常數(shù)λ;若不存在，請(qǐng)說明理由.:橢圓G的方程為+y2=1.?設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).直線AM的斜率聯(lián)立可得●x3=進(jìn)一步可得.將t1=代入，則同理可得.，+y42=1兩式相減可得，k1=