第6講 破解離心率問題之建立齊次式和幾何化（解析版）

一．選擇題（共9小題）1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓的右焦點，直線y=與橢圓交于B，C兩點，且上BFC=【解答】解：設(shè)右焦點F(c,0)，將代入橢圓方程可得x=±a化簡為b2=3a24c2，由b2=a2c2，即有3c2=2a2，可得故選：A.2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的左、右焦點分別為F1，，P為橢圓上一點（在x軸上方連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點Q，且PF1=3F1Q，若PF2垂直于x軸，則橢圓C的離心率為()【解答】解：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1(—c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)P(m,n)，n>0，由PF2垂直于x軸可得m=c，22可得將代入橢圓方程可得即25c22c2故選：C.，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點．圓x2+y2=a2+b2與雙曲線C的右支交于點A，且2|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為() 【解答】解：可設(shè)A為第一象限的點，且|AF1|=m，|AF2|=n，聯(lián)立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2故選：D.4．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線與圓x222在第二象限的一個交點，點Q在雙曲線上，且則雙曲線的離心率為()【解答】解：設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，22c22b2，因為點P是雙曲線與圓x2+y2=a2+b2在第二象限的一個交點，，所以點P坐標為，426e2+17=0，故選：B.|PF|:|F=5:4:2，則曲線Γ的離心率等于()綜上可知，圓錐曲線Γ的離心率為或.故選：D.|FF2|成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為()【解答】解：:|AF1|，|AF2|，|F1F2|成等|AF所以橢圓的離心率故選：A.7．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線一的左、右焦點，點P是雙曲線與圓x222在第二象限的一個交點，點Q在雙曲線上，且則雙曲線的離心率為()22，解得:P在第二象限可得故選：A.:|AB|=2c，:≤α≤,:≤α+≤，故選：A.9．已知在菱形ABCD中，上BCD=60O，曲線C1是以A，C為焦點，橢圓，其離心率為e1；曲線C2是以A，C為焦點，漸近線分別和AB，AD平行的雙曲線， :橢圓C1是以A，C為焦點，且經(jīng)過B，D兩點的橢圓，:c=OC=3，則橢圓的離心率為則雙曲線C2是以A，C為焦點漸近線分別和AB，AD平行的雙曲線， 故選：C.二．多選題（共1小題）10．已知橢圓雙曲線一若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結(jié)論正確的是()B．雙曲線的離心率e=2C．橢圓上不存在點A使得AF1.D．雙曲線上存在點B使得BF1.BF2<0解：橢圓M:雙曲線若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，設(shè)橢圓的右焦點坐標(c,0)，則正六邊形的一個頂點(,)， 對于A．將(,)代入橢圓方程，得：對于C．當A點是短軸的端點時，上F1AF2最大，2AF2對于D．當B對于D．當B點在實軸的端點時，向量BF1與向量BF2夾角為兀，此時，BF1．BF2<0，故D正確；故選：ABD.三．填空題（共9小題）11．已知橢圓M:+=1(a>b>0)，雙曲線若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M與雙曲線 【解答】解：不妨設(shè)m，n>0，可設(shè)橢圓的焦點坐標F(—c,0)，C(正六邊形的一個頂點B(1c，3c)，22 即有橢圓M與雙曲線N的離心率之積為2(·3—1). 故答案為：2(·31).12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點為M，且則該橢圓的離心率為【解答】解：直線A1B2的方程為x+b，直線B1F的方程為，2」OT=3OM，把M代入橢圓方程得=a2b2，22，故答案為：.13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓解得故答案為：51.14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)為橢圓的右焦點，B，C分別為橢圓的上、下頂點，直線BF與橢圓的另一個交點為D，且直線CD的斜率為，則 【解答】解：由題意可得B(0,b)，C(0,—b)，F(xiàn)(c,0)，由直線BF的方程bx+cy=bc代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2，直線CD的斜率為，可得2故答案為：.15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A位橢圓的左頂點，點B、C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且上OAB=45o，則橢圓E的離心率等于 6 3【解答】解：」AO是與x軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形，:BC//OA，則B、C兩點的縱坐標相等，B、C的橫坐標互為相反數(shù)，:B、C兩點是關(guān)于y軸對稱的.四邊形OABC為平行四邊形，則BC=OA=a，可設(shè)B(，y)C(，y)，代入橢圓方程解得：|y|=設(shè)D為橢圓的右頂點，由于上OAB=45O，四邊形OABC為平行四邊形，得a22 故答案為：.222x+y=a相切，且與雙曲線的兩漸近線分別交于點A，B，若(F2A+F2B)AB=0，則該雙曲線C222【解答】解：法1（代數(shù)法因為l與O:x2+y2=a2相切，由對稱性不妨考慮k=情形.又雙曲線C的漸近線方程為x，則l垂直其中一條漸近線，故l與一漸近線的交點A，即為該漸近線與O在第二象限的交點，可得，如圖，設(shè)AB中點為M，由(F2A+F2B)故OA//F2M，且O為F1F2的中點，所以A為F1M的中點，則A，M三等分F1B，由B在另一漸近線x上， 222，法3（參數(shù)方程法直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)代入x，可得B對應(yīng)的參數(shù)22 故答案為：3.17．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，c是雙曲線C的半焦距，點A是圓O:x2+y2=c2上一點，線段F2A交雙曲線C的右支于點B，且有|F2A|=a，則雙曲線C的離心率是2，|PF|:|FF2①若圓錐曲線C是橢圓，則2a=4c，②若圓錐曲線C是雙曲線，故答案為：或.19．已知雙曲線右支上有一點A，它關(guān)于原點的