第4講 利用三角形的中位線、中線、角平分線、中垂線解決圓錐曲線問題（解析版）

一．選擇題（共10小題）1．已知橢圓的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是()【解答】解：如圖所示，設(shè)線段PF的中點為M，連接OM.設(shè)橢圓的右焦點為F，連接PF．則OM//PF.故選：A.2．如圖，從雙曲線的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標(biāo)原點，則|MO|—|MT|與ba的大小關(guān)系為()A．|MO||MT|>baC．|MO||MT|=baD．以上三種可能都有【解答】解：將點P置于第一象限.設(shè)F1是雙曲線的右焦點，連接PF1:M、O分別為FP、FF1的中點，:|MO|=|.又由雙曲線定義得，故|MO||MT|3．從雙曲線的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標(biāo)原點，則|MO||MT|等于()【解答】解：如圖所示，設(shè)F是雙曲線的右焦點，連接PF.:點M，O分別為線段PF，F(xiàn)F的中點，:|OM||MT|=|MF||MT|a=|FT|a，連接OT，因為PT是圓的切線，故選：B.，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，已知|PF1|是O，則該雙曲線的離心率為()則點P在C的右支上，F(xiàn)2:m=2c2a，n=2c4a，|PF解得：曲線的離心率為，故選：D.右焦點，O為坐標(biāo)原點，若M是上F1PF2的角平分線上的一點，且F1M丄MP，則|OM|的取值范圍是()【解答】解：如圖，延長PF2，F(xiàn)1M，交于N點，:|PN|=|PF1|，M為F1N中點，連接OM，」O為F1F2中點，M為F1N中點」在橢圓中，設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)00」P點在橢圓上，:|x0|故選：A.于頂點的任意一點，PQ是上F1PF2的角平分線，過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標(biāo)原點，則|OQ|的長為()A．定值aB．定值bD．不確定，隨P點位置變化而變化【解答】解：過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，交PF2的延長線于M，由三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點，由三角形的中位線定理可得|OQ|=M|=a，故選：A.7．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．直線l:x+2y-8=0與橢圓相切于點P，橢圓C的焦點為F1，F(xiàn)2，由光學(xué)性質(zhì)知直線PF1，PF2與l的夾角相等，則上F1PF2的角平分線所在的直線的方程為()A．2x-y-1=0B．x-【解答】解：由光學(xué)性質(zhì)知直線PF1，PF2與l的夾角相等，則上F1PF2的角平分線所在的直線為法線，即與直線l垂直的直線，而直線l:x+2y-8=0，所以設(shè)所求的直線的方程為2x-y+m=0，聯(lián)立整理可得：y2-6y+9=0，解得y=3，即P(2,3)，將P(2,3)代入所求的直線方程可得：2×2-3+所以上F1PF2的角平分線所在的直線的方程為2x-y-1=0，故選：A.8．根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．請解決下面問題：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2-=1的左、右焦點，若從點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點A(x0，2)反射后，反射光線為射線AM，則上F2AM的角平分線所在的直線的斜率為()【解答】解：由已知可得A(x0，2)在第一象限， 所以直線AN的傾斜角為150O，故選：B.B，若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是() 【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為x，:AB中點坐標(biāo)為::a=2b，:c=·5b，故選：A.10．橢圓=1(a>b>0)的右焦點為F(c,0)關(guān)于直線y=x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是():a=3，【解答】解：設(shè)Q(m,n)，由題意可得解得故選：B.二．多選題（共1小題）PQ為上F1PF2的平分線，則下列正確的是() D．點P到x軸的距離為【解答】解：:漸近線l的方程為3x，::雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為即選項A正確；由角分線定理知即選項B正確；F2yP故選：三．填空題（共7小題）12．已知橢圓的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則|PF|=2；P點的坐標(biāo)為.設(shè)橢圓的右焦點為F/，連接PF/，線段PF的中點A在以原點O為圓心，2為半徑的圓，故答案為.13．已知F是拋物線y2=x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為【解答】解：由于F是拋物線y2=x的焦點，得F(，0)，準(zhǔn)線方程，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，2:線段AB的中點橫坐標(biāo)為.:線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.故答案為：.14．拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足上AFB=120O．過弦AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值3【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由余弦定理得，222又ab≤,故答案為：.15．設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，已知A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足上AFB=60O，過弦AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為的最大【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由余弦定理得，222abcos6022ab又ab≤2，故答案為：116．拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足上AFB=90O，過弦AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為的最大 2【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，---由余弦定理得，---22，配方得22ab，又:ab≤2，得到即的最大值為.故答案為：2【解答】解：不妨設(shè)A在雙曲線的右支上:AM為上F1AF2的平分線故答案為618．如圖，從橢圓的一個焦點F1發(fā)出的光線射到橢圓上的點P，反射后光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點F2，事實上，點P(x0，y0)處的切線垂直于上F1PF2的角平分線．已知橢圓的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上除長軸端點外的任意一的角平分線PT交橢圓C的長軸于點T(t,0)，則t的取值范圍是:切線的斜率為一，而上F1PF2的角平分線的斜率為，又切線垂直于上F1PF2的角平分線，故答案為四．解答題（共8小題）19．已知橢圓的左右焦點分別為：F1(—2,0)，F(xiàn)2(2,0)，P為橢圓E上除長軸端點外任意一點，△PF1F2周長為12.（1）求橢圓E的方程；（2）作上F1PF2的角平分線，與x軸交于點Q(m,0)，求實數(shù)m的取值范圍.:△PF1F2周長為12，:橢圓E的方程為:PQ為上F1PF2的角平分線，由合比性質(zhì)得20．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于該橢圓的另一個焦點F2上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個焦點，即橢圓上任意一點P處的切線與直線PF1、PF2的夾角相等．已知|FF2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系.（1）求截口BAC所在橢圓C的方程；（2）點P為橢圓C上除長軸端點和短軸端點外的任意一點.①是否存在m，使得P到F2和P到直線x=m的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請說明理由；②若上F1PF2的角平分線PQ交y軸于點Q，設(shè)直線PQ的斜率為k，直線PF1、PF2的斜率分別為k1，k2，請問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.【解答】解1）設(shè)所求橢圓方程為則FB則FB2F1242+32所以橢圓的方程為①存在直線x=8，使得P到F2和P到直線x=m的距離之比為定值.設(shè)橢圓上的點P(x0，y0)，即存在m=8，使得P到F2和P到直線x=8的距離之比為定值.又橢圓=1在點P處的切線方程為證明如下：對于橢圓所以橢圓=1在點P處的切線方程為所以在點P(x0，y0)處的切線l的斜率為—，所以那么在直線l上.(I)求橢圓C的方程；(Ⅱ)若動點P在直線l上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，使得|PM|=|PN|，再過P作直線l丄MN．證明直線l恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【解答】(I)解：由題意有3個點在橢圓C上，根據(jù)橢圓的對稱性，則點(—3,1)，(3,—1)一定在橢圓C上， 所以，所以橢圓C的方程為…（6分）當(dāng)y0≠0時，設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，顯然x1≠x2，又PM=PN，即P為線段MN的中點，M，N代入橢圓方程相減可得直線MN的斜率為，…（10分）0當(dāng)y0綜上所述，l’恒過定點…（16分）22．已知橢圓的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B．Q為拋物(Ⅱ)過定點P(0,4)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(M在P，N之間設(shè)直線l的斜率為k(k>0)，在x軸上是否存在點A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.在Rt△F1BQ中，F(xiàn)2為線段F1Q的中點，于是橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，N(x2，y2)，取MN的中點為E(x0，y0).假設(shè)存在點A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AE丄MN.2所以.23．在①離心率，②橢圓C過點，③△P面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1、F，過F1且斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點，已知橢圓C的短軸長為23，.（1）求橢圓C的方程；（2）若線段PQ的中垂線與x軸交于點N，求證：為定值.【解答】解1）選擇①離心率可得，2b=2即b==，即有橢圓的方程為選③△PF1F2面積的最大值為，可得P位于短軸的端點時，取得最大值，且為.2c.b=，即有橢圓的方程為x22.(x12.N可得即為定值.24．已知A，B，C是橢圓W+y2=1上的三個點，O是坐標(biāo)原點.(Ⅰ)當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(Ⅱ)當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.【解答】解：(I)四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點(2,0):直線AC是BO的垂直平分線，可得AC方程為x=12:A的坐標(biāo)為同理可得C的坐標(biāo)為因此，|AC|=可得菱形OABC的面積為|AC|(II)四邊形OABC為菱形，:|OA|=|OC|，與橢圓W+y2=1的公共點，解之得=r2-1設(shè)A、C兩點橫坐標(biāo)分別為x1、x2，可得A、C兩點的橫坐標(biāo)滿足①當(dāng)x1時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點(2,0)；②若x1且x2可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC綜上所述，可得當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形.y2)(x1<x2)兩點，且|AB|=（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準(zhǔn)線為l，焦點為F，點P為直線m:x+y-2=0上的動點，且點P的橫坐標(biāo)為a