河北省景縣梁集中學2025屆高三下學期第五次調研考試數學試題含解析

河北省景縣梁集中學2025屆高三下學期第五次調研考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則集合的非空子集個數是（）A．2 B．3 C．7 D．82．已知數列是公比為的等比數列，且，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若的內角滿足，則的值為（）A． B． C． D．4．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．5．已知函數的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．6．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．67．一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是（）．A． B． C． D．8．定義，已知函數，，則函數的最小值為（）A． B． C． D．9．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．若實數、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．11．正項等差數列的前和為，已知，則=（）A．35 B．36 C．45 D．5412．一個封閉的棱長為2的正方體容器，當水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半．若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉，則容器里水面的最大高度為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知若存在，使得成立的最大正整數為6，則的取值范圍為________.14．在的二項展開式中，所有項的系數的和為________15．設，若關于的方程有實數解，則實數的取值范圍_____．16．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長為的正方形中，，分別為，邊上的中點，現以為折痕將點旋轉至點的位置，使得為直二面角．（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值．18．（12分）已知函數．（1）討論的單調性并指出相應單調區(qū)間；（2）若，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數k的取值范圍．19．（12分）已知橢圓：的兩個焦點是，，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.20．（12分）已知橢圓（）經過點，離心率為，、、為橢圓上不同的三點，且滿足，為坐標原點．（1）若直線、的斜率都存在，求證：為定值；（2）求的取值范圍．21．（12分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數的取值范圍.22．（10分）在本題中，我們把具體如下性質的函數叫做區(qū)間上的閉函數：①的定義域和值域都是；②在上是增函數或者減函數.（1）若在區(qū)間上是閉函數，求常數的值；（2）找出所有形如的函數（都是常數），使其在區(qū)間上是閉函數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先確定集合中元素，可得非空子集個數．【詳解】由題意，共3個元素，其子集個數為，非空子集有7個．故選：C．【點睛】本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個元素的集合其子集個數為，非空子集有個．2、D【解析】

先根據已知條件求解出的通項公式，然后根據的單調性以及得到滿足的不等關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數列是單調遞增數列，所以，則，化簡得，所以.故選：D.【點睛】本題考查數列通項公式求解以及根據數列單調性求解參數范圍，難度一般.已知數列單調性，可根據之間的大小關系分析問題.3、A【解析】

由，得到，得出，再結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數的性質，以及三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.4、B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點睛】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．5、A【解析】

畫出函數的圖像，函數對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.6、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當且僅當時，取等號.故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.7、A【解析】

作出其直觀圖，然后結合數據根據勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個四棱錐中最長棱的長度是．故選．【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關計算，正確還原直觀圖是解題關鍵，屬于基礎題．8、A【解析】

根據分段函數的定義得，，則,再根據基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.9、B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.10、D【解析】

根據約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯立，得，可得點，由得，平移直線，當該直線經過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故選：D.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合的解題思想方法，是基礎題．11、C【解析】

由等差數列通項公式得，求出，再利用等差數列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數列的前項和，，，解得或（舍），，故選C.【點睛】本題主要考查等差數列的性質與求和公式，屬于中檔題.解等差數列問題要注意應用等差數列的性質（）與前項和的關系.12、B【解析】

根據已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半，由此得到結論．【詳解】正方體的面對角線長為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉，所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半，即最大水面高度為，故選B.【點睛】本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意得，分類討論作出函數圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于，當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數圖象如圖此時，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查了對勾函數的圖象與性質，函數的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉化與化歸的思想.14、1【解析】

設，令，的值即為所有項的系數之和。【詳解】設，令，所有項的系數的和為。【點睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數的和的求法─賦值法。一般地，對于，展開式各項系數之和為，注意與“二項式系數之和”區(qū)分。15、【解析】

先求出，從而得函數在區(qū)間上為增函數；在區(qū)間為減函數．即可得的最大值為，令，得函數取得最小值，由有實數解，，進而得實數的取值范圍．【詳解】解：，當時，；當時，；函數在區(qū)間上為增函數；在區(qū)間為減函數．所以的最大值為，令，所以當時，函數取得最小值，又因為方程有實數解，那么，即，所以實數的取值范圍是：．故答案為：【點睛】本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用，屬于中檔題.16、【解析】

基本事件總數，抽得的第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數包含的基本事件有10種，由此能求出抽得的第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數的概率．【詳解】從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件總數，抽得的第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數包含的基本事件有10種，分別為：，，，，，，，，，，則抽得的第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數的概率為．故答案為：【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，求解時注意辨別概率的模型．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）在折疊前的正方形ABCD中，作出對角線AC，BD，由正方形性質知，又//，則于點H，則由直二面角可知面，故.又，則面，故命題得證；（2）作出線面角，在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：在正方形中，連結交于．因為//，故可得，即又旋轉不改變上述垂直關系，且平面,面，又面，所以（2）因為為直二面角，故平面平面,又其交線為,且平面,故可得底面，連結，則即為與面所成角，連結交于，在中，，在中，．所以與面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查了線面垂直的證明與性質，利用定義求線面角，屬于中檔題.18、（1）答案見解析（2）【解析】

（1）先對函數進行求導得，對分成和兩種情況討論，從而得到相應的單調區(qū)間；（2）對函數求導得，從而有，，，三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉化成關于的函數，再構造新函數利用導數研究函數的最小值，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）由，，則，當時，則，故在上單調遞減；當時，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增．綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.設，則,∴在上單調遞減；當時，.∴，即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查分類討論思想和數形結合思想，求解雙元問題的常用思路是：通過換元或消元，將雙元問題轉化為單元問題，然后利用導數研究單變量函數的性質.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標，表示出，根據韋達定理即可求證為定值.【詳解】（1）因為，由橢圓的定義得，，點在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設，，直線的斜率為，設直線的方程為，聯立方程組，消去，整理得，所以，，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）首先根據題中條件求出橢圓方程，設、、點坐標，根據利用坐標表示出即可得證；（2）設直線方程，再與橢圓方程聯立利用韋達定理表示出，即可求出范圍.【詳解】（1）依題有，所以橢圓方程為．設，，，由為的重心，；又因為，，，，（2）當的斜率不存在時：，，，代入橢圓得，，，當的斜率存在時：設直線為，這里，由，，根據韋達定理有，，，故，代入橢圓方程有，又因為，綜上，的范圍是.【點睛】本題主要考查了橢圓方程的求解，三角形重心的坐標關系，直線與橢圓所交弦長，屬于一般題.21、（1）；（2）【解析】

（1）將代入可得集合B，解對數不等式可得集合A，由并集運算即可得解.（2）由可知B為A的子集，即；當符合題意，當B不為空集時，由不等式關系即可求得的取值范圍.【詳解】（1）若，則，依題意，故；（2）因為，故；若，即時，，符合題意；若，即時，，解得；綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了集合的并集運算，由集合的