飛機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)課件：控制體積法

控制體積法《飛機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)》目錄7.4流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)7.1控制體積法的分類與特性7.3微分控制體積法7.2積分控制體積法7.1

控制體積法的分類與特性7.1

控制體積法的分類與特性

1．控制體積法的分類(1)積分控制體積法(Integral

control

volume

method或Integral

CVmethod)是以模型方程為積分形態(tài)或者由積分方程轉(zhuǎn)換而得名。這種方法關(guān)注的范圍是有限體積大小的區(qū)域，因此積分控制體積法又稱為有限體積分析法(Finitevolume

analysis)。(2)微分控制體積法(Differential

control

volume

method或DifferentialCV

method)是以模型方程為微分形態(tài)而得名。這種方法關(guān)注的范圍是非常微小體

積的區(qū)域，也就是研究流場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的流體微團(tuán)(Fluid

micromass)的運(yùn)動(dòng)，因此微分控制體積法又稱為無限小體積分析法(Infinitesimal

volume

analysis)7.1

控制體積法的分類與特性

2．控制體積法的研究目的與方法(1)研究目的使用積分控制體積法，其研究目的主要是計(jì)算流體在研究區(qū)域表面或控制體積內(nèi)

的質(zhì)量變化率，或者流動(dòng)對(duì)研究區(qū)域造成的影響。使用微分控制體積法，其研究目的主要是求解流場(chǎng)內(nèi)各個(gè)位置的流動(dòng)性質(zhì)與流速等物理量隨著位置與時(shí)間變化情況，也就是研究各點(diǎn)的流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。

(2)研究方法積分控制體積法求解流體流動(dòng)問題時(shí)，主要是用理論解析法(Theoreticalanalytic

method)加以計(jì)算。微分控制體積法在求解的過程中，常常使用數(shù)值計(jì)

算法(Numerical

algorithm)加以運(yùn)算。7.1

控制體積法的分類與特性

3．綜合結(jié)論積分控制體積法求解流體流動(dòng)問題，是將流場(chǎng)或研究區(qū)域視為整體，使用的計(jì)算方程式是積分形態(tài)或由積分方程式轉(zhuǎn)換后的公式，而目的是求出流動(dòng)對(duì)整個(gè)研究

區(qū)域造成的影響，例如，工程管道內(nèi)流動(dòng)產(chǎn)生的作用力以及氣體儲(chǔ)存槽中的質(zhì)量變化。但是積分控制體積法的研究結(jié)果對(duì)局部細(xì)節(jié)的信息有缺失，也就是無法得知各點(diǎn)的壓力、溫度、密度與速度等物理量的變化細(xì)節(jié)。微分控制體積法求解流動(dòng)問題的方程式是微分形態(tài)，其目的是研究流場(chǎng)內(nèi)各個(gè)

位置的流動(dòng)性質(zhì)與流速等隨位置與時(shí)間的變化情況。雖然這種方法可以找出各點(diǎn)的流動(dòng)細(xì)節(jié)，但是無法得知流動(dòng)對(duì)整體研究區(qū)域造成的影響7.2

積分控制體積法7.2

積分控制體積法積分控制體積法使用的計(jì)算式為雷諾轉(zhuǎn)換公式，常見有質(zhì)量守恒式與動(dòng)量守恒式。1．雷諾轉(zhuǎn)換公式在處理流體流動(dòng)問題時(shí)，先將控制質(zhì)量系統(tǒng)(Control

mass

system)的質(zhì)量、動(dòng)量以及動(dòng)量矩等物理量分析轉(zhuǎn)換成控制體積系統(tǒng)(Controlvolume

system)的相應(yīng)物理量分析，這種轉(zhuǎn)換用到的定理稱為雷諾轉(zhuǎn)換定理

(Reynoldstransformationtheorem)采用的公式即稱為雷諾轉(zhuǎn)換公式(Reynolds

transformation

equation)，它是積分控制體積法中使用的計(jì)算通式。雷諾轉(zhuǎn)換公式又稱為一般守恒方程式(General

conservationequation)7.2

積分控制體積法(1)公式介紹雷諾轉(zhuǎn)換公式的主要作用是將整個(gè)流體質(zhì)量系統(tǒng)的物理量分析轉(zhuǎn)換成控制體積系統(tǒng)的物理量分析，計(jì)算聚焦在某一個(gè)特定區(qū)域，也就是以控制體積(Control

volume)為研究對(duì)象，控制體積的邊界稱為控制表面(Control

surface)，如圖7-1所示雷諾轉(zhuǎn)換公式的形式為=

+

jjCS

npVdA式中，S表示質(zhì)量系統(tǒng)，CV表示控制體積或研究區(qū)域，CS表示控制表面或邊界，N

=

jjj

npdV代表的是流體的外延性質(zhì)(Extensiveproperty)或動(dòng)量mV

、動(dòng)量矩r

mV，而n

=

即為流體的內(nèi)延性質(zhì)(Intensive

property)或單位質(zhì)量的動(dòng)量V

、動(dòng)量矩r

V

。n值的正負(fù)定義：流出方向?yàn)檎?；流入方向?yàn)樨?fù)。SSSSSSSSCVCVS圖7-1雷諾轉(zhuǎn)換定理7.2

積分控制體積法(2)代表的物理意義雷諾轉(zhuǎn)換公式代表的物理意義：質(zhì)量系統(tǒng)內(nèi)N對(duì)時(shí)間的變化率等于控制體積或研究區(qū)域中N的

累積率與流經(jīng)控制表面或研究區(qū)域表面N的流出率相加之和，這里N為流體的外延性質(zhì)或動(dòng)量、動(dòng)量矩。如果流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)，雷諾轉(zhuǎn)換公式簡(jiǎn)化成=

jjCS

npVdA

，從而得知流體在質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中物理量N(3)公式的應(yīng)用

雷諾轉(zhuǎn)換公式多用于質(zhì)量守恒方程式與動(dòng)量守恒方程式的轉(zhuǎn)換上SS對(duì)時(shí)間的變化率僅與流經(jīng)控制表面N的總流率有關(guān)，與控制體積中N的變化無關(guān)。7.2

積分控制體積法【例7-1】試述雷諾轉(zhuǎn)換公式

=

+

jjCS

npVdA

的使用目

公式中各項(xiàng)代表的物理意義【解答】(1)雷諾轉(zhuǎn)換公式的使用目的是使物理量分析從流體質(zhì)量系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成控制體積系統(tǒng)，它將流體流動(dòng)問題的計(jì)算鎖定在受關(guān)注的區(qū)域以探討物理量的變化。(2)在雷諾轉(zhuǎn)換公式=

+

jjCS

npVdA

中，①

dN

表示物理量N的全變化率，也就是質(zhì)量系統(tǒng)中物理量N隨時(shí)間的變化率；②表示局部的變化率，也就是N的累積率；③jjCS

npVdA

表示物理量N進(jìn)出控制系統(tǒng)所引起的變化率，也就是N的流出率總和SSSSSSSSSCVCVSSSSSSSSSSSSSSCVCVSdt

SCV7.2

積分控制體積法2．質(zhì)量守恒方程式雷諾轉(zhuǎn)換定理應(yīng)用于質(zhì)量守恒方程式中，多用來計(jì)算控制體積(研究區(qū)域)內(nèi)流體質(zhì)量流率、體積流率以及密度、流速等物理量的變化。(1)公式推導(dǎo)將雷諾轉(zhuǎn)換公式=

+

jjCS

npVdA

中的物理量N用質(zhì)量m代替，即N=m且n

=

=

1

，從而可以導(dǎo)S

=

CV

+

jjCS

pVdA

。在整個(gè)系統(tǒng)中，質(zhì)量不變，因此

=0方程式+

jjCS

pVdA

=

0

的速度V用相對(duì)速度

Vr

取代。為了簡(jiǎn)化問題的難度，引入平均流速V

=

=

的概念。式中V為平均流速，Q為體積流率，A為出入口截面面積，Vn

為流體流經(jīng)出入口處截面的法向速度。通常平均流速V上的橫杠不標(biāo)識(shí)出，直接用V表示。這樣方程式+

jjCS

pVdA

=

0

轉(zhuǎn)換成+

?

m&i

=

0

的形式。式中，與m&i分別表示流體流出與流入控制體積的質(zhì)量流率em&CVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVem&CVCVSSm積分形式的質(zhì)量守恒方程?出SSSSSSSSSSSSSSSCVCVS這樣得到?t

CV

+

jjCS

pVdA

=

0

。值得注意的是，如果控制體積以等速度VCV運(yùn)動(dòng)，那么質(zhì)量守恒積分7.2

積分控制體積法(2)物理意義在質(zhì)量守恒方程式+

?

m&i

=

0

中，

項(xiàng)為控制體積(研究區(qū)域)中流體的質(zhì)量累積率，?

m&i

項(xiàng)為控制體積(研究區(qū)域)的流體質(zhì)量總流出率，因此質(zhì)量守恒方程式代表的物理意義為流體在控制體積內(nèi)的質(zhì)量累積率與流經(jīng)控制體積表面質(zhì)量總流出率之和為0，也可理解為流體在控制體積或研究區(qū)域中質(zhì)量的累積率等于流經(jīng)控制體積或研究區(qū)域表面的質(zhì)量總流入率em&CVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVem&7.2

積分控制體積法(3)簡(jiǎn)化與應(yīng)用在工程計(jì)算中，根據(jù)流體流動(dòng)的類型，質(zhì)量守恒方程式可區(qū)分用于非穩(wěn)態(tài)可壓縮流動(dòng)問題、非穩(wěn)

態(tài)不可壓縮流動(dòng)問題、穩(wěn)態(tài)可壓縮流動(dòng)問題以及穩(wěn)態(tài)不可壓縮流動(dòng)問題的求解①

非穩(wěn)態(tài)可壓縮流體流動(dòng)問題如果流動(dòng)特性隨著時(shí)間以及流體密度的改變量不可以忽略不計(jì)，也就是0與

p

C

這類流動(dòng)問題稱為非穩(wěn)態(tài)可壓縮流動(dòng)(Unsteady

compressibleflow)。此時(shí)+

?

m&i

=

0

保持不變，亦可用=

m&i?

。式中m&i

=pi

Ai

V，i

=pe

Ae

Ve②

非穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)問題

CVCVCVem&em&em&如果0與p

=C

，這類流動(dòng)問題稱為非穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)(Unsteadyincompressibleflow)。此時(shí)+?m&i

=0轉(zhuǎn)換為=m&i?

=

p(

Qi

?

Qe

)

式中Qi

=Ai

Vi

和Qe

=Ae

VeCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVCVem&em&7.2

積分控制體積法③

穩(wěn)態(tài)可壓縮流體流動(dòng)問題對(duì)于高速氣體流動(dòng)(速度高于0.3馬赫)問題，如果滿足=

0

與p

豐

C

的條件，這類流動(dòng)問題就稱為穩(wěn)態(tài)可壓縮流動(dòng)(Steady

compressibleflow)問題。

+

?

m&i

=

0

可以簡(jiǎn)化為m&i?

=

0

，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為pi

Ai

Vi

=

pe

Ae

Ve

。對(duì)于單一進(jìn)出口的管道流動(dòng)問題，質(zhì)量守恒方程式再進(jìn)一步簡(jiǎn)化：m&i

=

pi

Ai

Vi

=

pe

Ae

Ve

，這就是第3、4章提及的質(zhì)量流率守恒公式。④

穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)問題如果=

0

與p

=

C

，這類流動(dòng)問題稱穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體流動(dòng)(Steadyincompressibleflow)此時(shí)+

?

m&i

=

0

簡(jiǎn)化為Qi

?

Qe

=

0

對(duì)于低速流體在單一進(jìn)出口管道流動(dòng)中問題，質(zhì)量守恒方程式進(jìn)一步地簡(jiǎn)化成Qi

=

Qe

Ai

Vi

=

Ae

Ve

這就是第3章的體積流率守恒公式CVCVem&em&CVCVem&em&7.2

積分控制體積法【例7-2】如圖7-2所示，玻璃球可以由截面1充氣，其截面面積為A1

，速度為

V1

，密度為p1

，玻璃球的半徑為R，試求玻璃球內(nèi)密度pb

(t)的瞬時(shí)變化率圖7-2例7-2圖示7.2

積分控制體積法【解答】(1)在充氣過程中，玻璃球內(nèi)氣體的質(zhì)量會(huì)越來越多，空氣的密度也就越來越大，所以球內(nèi)空氣質(zhì)量隨著時(shí)間的變化不可以忽略，該問題屬于非穩(wěn)態(tài)可壓縮流動(dòng)。(2)因?yàn)?

xpi

Ai

Vi

?

xpe

Ae

Ve

，且m

=pb

(t)〉玻璃球內(nèi)部的體積=pb

(t)〉TR3

所以氣體密度的瞬時(shí)變化率滿足

pb

〉TR3

=p1A1V1CVCV7.2

積分控制體積法【例7-3】如圖7-3所示，假設(shè)桶內(nèi)所裝液體為水，桶的面積是A，流出孔的面積是

A1

，水面的高度是h，水流出的速度是V，試推導(dǎo)出桶內(nèi)水流干的時(shí)間t與高度h、水流出速度V的關(guān)系式圖7-3例7-3圖示7.2

積分控制體積法【解答】(1)該問題屬于非穩(wěn)態(tài)不可壓縮流動(dòng)，只有單一出口，而沒有入口，所以桶內(nèi)?m

?m(2)將質(zhì)量守恒方程式兩邊積分得?=

?pw

A1V因此t

=

(控制體積CV)液體(水)的質(zhì)量守恒方程式為+=0=?

em&em&?t

CV

?t7.2

積分控制體積法【例7-4】如圖7-4所示，如果空氣在管道中的流動(dòng)為一個(gè)穩(wěn)態(tài)可壓縮過程，試寫出流場(chǎng)內(nèi)密

度

p、比容

v

、面積A以及速度V之間的關(guān)系式圖7-4例7-4圖示【解答】因?yàn)榱鲃?dòng)為穩(wěn)態(tài)可壓縮過程，所以根據(jù)質(zhì)量守恒定律得出m&1

=

p1A1V1

=(如果是穩(wěn)態(tài)不可壓縮流動(dòng)過程，則A1V1

=

A2

V2

)

11 v1=m&2=p2

A2

V2

=

2

2 v2A

VAV7.2

積分控制體積法【例7-5】如圖7-4所示，如果空氣在管道中為穩(wěn)態(tài)不可壓縮的流動(dòng)過程，試寫出流場(chǎng)內(nèi)面積A和速度V之間的關(guān)系式圖7-4例7-4圖示【解答】AV

A

V依題意，管道內(nèi)空氣流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒定律m&1

=

p1A1V1=

=

m&2

=

p2A2V2=

以及p1

=

p2和v1

=v2

條件1122所以流場(chǎng)內(nèi)面積和速度之間的關(guān)系式為AV

=

A

V7.2

積分控制體積法3．動(dòng)量守恒方程式動(dòng)量守恒方程式(Momentum

conservation

equation)是物理學(xué)中的動(dòng)量定理在流體力學(xué)中的具體表達(dá)形式，它反映了流體在流動(dòng)過程中的動(dòng)量變化以及流動(dòng)產(chǎn)生的作用力造成的影響。動(dòng)量守恒方程式利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律并通過雷諾轉(zhuǎn)換定理推導(dǎo)而得，在工程實(shí)際中，

多用于處理流體與控制體積相互作用力的計(jì)算，例如求解流體流動(dòng)作用對(duì)彎管造成的影響、射流對(duì)平板的沖擊力等問題(1)物理意義動(dòng)量守恒方程式F

=Ve

?m&iVi

代表的物理意義是，作用在控制體積的力總和等于流體

流經(jīng)控制表面或研究區(qū)域表面的動(dòng)量總流出率。動(dòng)量守恒方程式是向量方程式，在實(shí)際的工程計(jì)算中，建議要先選定一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，以便找出作用在控制體積上各方向的分量力與流經(jīng)控制表面的動(dòng)量通量分量的關(guān)系em&7.2

積分控制體積法(2)公式推導(dǎo)根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，流體所受作用力為F

=

ma

=

=

m

，將雷諾轉(zhuǎn)換公式=

+

jjCS

npVdA

中的物理量N用動(dòng)量mV代替，即導(dǎo)出動(dòng)量守恒方程式的積分形式：F

=

+

jjCS

V

pVdA將

視為0，并且引入平均速度

V

=的概念，動(dòng)量守恒方程式又轉(zhuǎn)換成

F

=

Ve

?

m&iVi的形式。式中，F(xiàn)為總作用力，是指控制體積所受作用力的總和，這些作用力包括控制體表面力(Surface

force)以及控制體內(nèi)的物體力(Body

force)，分別以符號(hào)FS與FB

表示。表面力FS

包含正向壓(拉)應(yīng)力、剪應(yīng)力；物體力FB

包括重力(Gravity

force)、電磁場(chǎng)力(Electromagneticfield

force)，本書對(duì)電磁場(chǎng)力不予討論，物體力FB

僅表示重力。動(dòng)量守恒方程式中Ve

和m&iVi

分別表示流入與流出控制體表面的動(dòng)量通量(Flux)。從動(dòng)量守恒方程式中可以看出，不必知道流體內(nèi)部的流動(dòng)情況，只需要知道控制體表面流動(dòng)情況，就能夠計(jì)算出流體流動(dòng)與控制體積的相互作用力em&CVCVem&SSSSSSSSCVCVCVS7.2

積分控制體積法【例7-6】試述動(dòng)量守恒方程式

F

=

+

jjCS

V

pVdA

與

F

=

Ve

?

m&iVi

的使用目的是什么？【解答】動(dòng)量守恒方程式的主要目的是用來處理流體與控制體積之間相互作用力的計(jì)算，在工程實(shí)際中，通常為了研究與降低動(dòng)量守恒方程式計(jì)算的復(fù)雜度的需要，在處理流體流動(dòng)問題時(shí)，引入平均速度的概念及使用穩(wěn)態(tài)流體流動(dòng)的假設(shè)，將原有的動(dòng)量守恒方程式F

=

+

jjCS

V

pVdA

簡(jiǎn)化為F

=

Ve

?

m&iVi

的形式，所以在流體力學(xué)中多使用F

=

Ve?

m&iVi來處理流動(dòng)流體與控制體積之間相互作用力的計(jì)算問題CVCVem&em&CVCVem&7.2

積分控制體積法【例7-7】如圖7-5所示，靜態(tài)推力測(cè)試臺(tái)是用于測(cè)試噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)(Jet

engine)靜態(tài)推力的裝置，如果測(cè)試數(shù)據(jù)為

V1

=200m/s、V2

=500m/s、P1

=78.5kPa

、P2

=

101

kPa

、A1

=1.0m2

以及T1

=

268

K，該噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量流率與推力是多少？圖7-5例7-7圖示7.2

積分控制體積法【解答】(1)假設(shè)流動(dòng)為一維穩(wěn)態(tài)過程，質(zhì)量守恒的積分方程式必須滿足=0的條件，則m&=m&1=m&2不p1A1V1

=p2

A2

V2假設(shè)流動(dòng)的是理想氣體，則滿足狀態(tài)方程式P

=

pRT所以質(zhì)量流率為

m&=m&1

=p1A1V1

=

P1

A1V1

=

78.5根10

根1根

200

=

204.12

(kg

/

s)LRT1

」

287

根

26833CV7.2

積分控制體積法【解答】(2)因?yàn)槭欠€(wěn)態(tài)流動(dòng)，動(dòng)量守恒方程必須滿足=

0

條件所以簡(jiǎn)化得F

=

Ve

?

m&iVi

首先確定控制體積以及作用其上的作用力。如圖7-6所示，虛線包圍的區(qū)域?yàn)榭刂企w積，其上的作用力，包括推力以及截面①與截面②上所作用的壓力，因此F

=

T

+P1A1

?P2

A2

?(A1

?A2

)=T

+P1A1

?P2

A2

?P2

(A1

?A2

)=m&(V2

?V1

)從而得到T

=m&(V2

?V1

)+P2

A2

?P1A1

+P2

A1

?P2

A2

=m&(V2

?V1

)+P2

A1

?P1A1所以推力為T

=m&(V2

?V1

)+(P2

?P1

)A1

=204.12(500?200)+(101?78.5)103即T

=61236+22500=83

736

(N)

=

83.736

(kN)

圖7-6

例7-7圖示(2)atmPCVCVem&7.2

積分控制體積法【例7-8】如圖7-7所示，密度為

p

、速度為V的自由射水流沖擊具有轉(zhuǎn)向角

且以穩(wěn)定的速度U移動(dòng)的葉片，假設(shè)葉片安裝在導(dǎo)軌上，受到一個(gè)約束力F，問約束力F所做功率最大時(shí)

U/V的值是多少？圖7-7例7-8圖示注：自由射流指從有壓噴管或孔口射入大氣的一股流束，特點(diǎn)是流束上的壓力均為大氣壓力7.3

微分控制體積法7.3

微分控制體積法微分控制體積法關(guān)注的重點(diǎn)在于流場(chǎng)內(nèi)各個(gè)位置的壓力、溫度與密度等流動(dòng)性質(zhì)，以及流速隨著位置和時(shí)間的變化情況，研究區(qū)域是非常微小體積，所以可以利用微分方程式去求解流動(dòng)的問題。這里針對(duì)其相關(guān)基本觀念、常用公式以及公式的簡(jiǎn)化與手工計(jì)算的方式和應(yīng)用等部分進(jìn)行描述與說明。1．微分控制方程式的種類微分控制方程式包括質(zhì)量守恒微分方程式、動(dòng)量守恒微分方程式與能量守恒微分方程式。能量守恒微分方程式多用于處理有關(guān)燃燒與熱傳的流體流動(dòng)問題，我們求解流體流動(dòng)問題時(shí)，通常只使用質(zhì)量守恒微分方程式和動(dòng)量守恒微分方程式。這里對(duì)這兩種方程式做敘述。7.3

微分控制體積法2．質(zhì)量守恒微分方程式(1)公式介紹質(zhì)量守恒微分方程式(Mass

conservation

differential

equation)又稱為微分形式的連續(xù)方程式(Continuityequationofdifferential

form)，其形式為+

pV

=

0

式中，p和V

分別是表示流體密度與流動(dòng)速度。(2)簡(jiǎn)化與應(yīng)用?p依照流場(chǎng)的類型，?t

+

.

pV

=

0

可寫成非穩(wěn)態(tài)可壓縮流場(chǎng)、穩(wěn)態(tài)可壓縮流場(chǎng)與不可壓縮流場(chǎng)問題求解形式。①對(duì)于非穩(wěn)態(tài)可壓縮流場(chǎng)問題，因?yàn)?

以及p

C，?t所以質(zhì)量守恒微分方程式(連續(xù)微分方程式)

?p+

pV

=

0

保持不變。

?

?t②對(duì)于穩(wěn)態(tài)可壓縮流場(chǎng)問題，因?yàn)?

0

但是p

C所以質(zhì)量守恒微分方程式(連續(xù)微分方程式)+

pV

=

0

可以簡(jiǎn)化為pV

=

0③對(duì)于不可壓縮流場(chǎng)問題，因?yàn)閜

=C

從而=

0

、pV

=p.V，所以質(zhì)量守恒微分方程式(連續(xù)微分方程式)+

pV

=

0

可以簡(jiǎn)化為.V

=0。此方程式又稱為不可壓縮流動(dòng)過程的判定方程式。

?

?t7.3

微分控制體積法(3)討論如前文所述，如果流體是液體或者流速低于0.3馬赫(Ma)的氣體，密度p變化可以忽略不計(jì)，此時(shí)為不可壓縮流場(chǎng)；如果氣體的流速高于0.3馬赫(Ma)，流場(chǎng)視為可壓縮。從質(zhì)量守恒微分方程式(連續(xù)微分方程式)的簡(jiǎn)化過程中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不可壓縮流場(chǎng)，.V

=

0所以判定氣體的流動(dòng)過程是否為不可壓縮有兩種方法：一種是視流速是否小于0.3馬赫；另一種則是視方程式.V是否為0。7.3

微分控制體積法【例7-9】民航機(jī)進(jìn)行巡航

(Cruise)

時(shí)，外部的空氣流場(chǎng)一般屬于可壓縮流還是不可壓縮流？試解釋之?！窘獯稹靠蓧嚎s流動(dòng)是指流體流場(chǎng)的密度變化不可以忽略不計(jì)。民航機(jī)在進(jìn)行巡航時(shí)，飛行速度均大于0.3馬赫(Ma)，由此可以推知，機(jī)身外面是可壓縮流場(chǎng)7.3

微分控制體積法【例7-10】如果流場(chǎng)的速度可以表示為

V

=

xi

+

yj

，試判定此流場(chǎng)是否為不可壓縮流(Incompressible

flow)？【解答】因?yàn)椴豢蓧嚎s流場(chǎng)的判定式為

.V

=0，這里V

=ui+vj+wk，所以u(píng)

=x

；v

=y

；w

=0。而

.

V

=

?u

+

?v

+

?w

=

?x

+

?y

=

1+1

=

2

0因此不是不可壓縮流場(chǎng)，而是可壓縮流場(chǎng)?x

?y

?z

?x

?y7.3

微分控制體積法3．動(dòng)量守恒微分方程式動(dòng)量守恒微分方程式(Momentum

conservation

differential

equation)通常與質(zhì)量守恒微分方程式一起用計(jì)算的方式求解研究區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的壓力、密度以及速度等，也就是利用數(shù)值算法(Numericalalgorithm)或解析方程式去計(jì)算或模擬真實(shí)流動(dòng)問題。這里針對(duì)動(dòng)量守恒微分方程式的計(jì)算公式及簡(jiǎn)化方式說明(1)公式介紹動(dòng)量守恒微分方程式又稱為納維-斯托克斯方程式(Navier-Stokes

equation)，它是基于流體連續(xù)性dV以及牛頓流體(Newtonian

fluid)的假設(shè)推導(dǎo)而得，其微分形式為p

dt

=

pg

?

P+式中，p為流體密度；g為重力加速度；P為流場(chǎng)的壓力；為流體絕對(duì)黏度；V為流動(dòng)速度。(2)簡(jiǎn)化方式

假設(shè)流體的絕對(duì)黏度為0，即為非黏性流體，動(dòng)量守恒微分方程式簡(jiǎn)化為p

=

pg?

P則此方程式稱為歐拉方程式(Euler方程式)。7.3

微分控制體積法【例7-11】納維-斯托克斯方程式(Navier-Stokes方程式)

p

=

pg

?

P

+

V

與歐拉方程式

(Euler方程式)

p

=pg

?P

所做的流體假設(shè)是什么？【解答】(1)納維-斯托克斯方程式是基于流體連續(xù)性以及牛頓流體的假設(shè)推導(dǎo)而得的動(dòng)量微分方程式。(2)歐拉方程式是基于流體連續(xù)性及非黏性流的假設(shè)推導(dǎo)而得的動(dòng)量微分方程式。227.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)1．流線函數(shù)流線函數(shù)在早期平面不可壓縮流體流動(dòng)問題的理論研究中占有極重要的地位，因?yàn)榭梢杂脕砬蠼舛S理想流體的流速變化，從而獲得流場(chǎng)內(nèi)的壓力變化，并以此找出二維理想流體的流動(dòng)規(guī)律(1)流線函數(shù)的定義與存在條件流線函數(shù)(Stream

function)由二維不可壓縮流動(dòng)的質(zhì)量守恒微分方程式，也就是連續(xù)微分方程式.V

=

0推導(dǎo)而得①

存在條件與定義對(duì)于x

-

y

的二維不可壓縮流場(chǎng)，質(zhì)量守恒微分方程式+

pV

=

0

簡(jiǎn)化為.

V

=

+

=

0定義u

=

與v

=?，這個(gè)函數(shù)Q就稱為流線函數(shù)。可以證明，如果流場(chǎng)是二維不可壓縮流，則流線函數(shù)

Q必定存在，且流線函數(shù)Q滿足關(guān)系式.V

=0②

流線函數(shù)存在與否的判定式如果一個(gè)二維不可壓縮流場(chǎng)，滿足連續(xù)微分方程式.V0，則流線函數(shù)Q必定存在；反之，如果.V

=0，則流線函數(shù)Q就不存在。所以.V

是流線函數(shù)Q存在與否的判定方程式7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)(2)流線函數(shù)的應(yīng)用根據(jù)流線函數(shù)Q的定義，可以求得速度分量，從而描述二維不可壓縮流場(chǎng)內(nèi)的速度分布；或者可x-

y從二維不可壓縮流場(chǎng)的速度公式求得流線函數(shù)的表達(dá)式，這里以坐標(biāo)為例說明。①

利用流線函數(shù)Q求得速度分量對(duì)于二維不可壓縮流場(chǎng)，滿足.

V

=

+

=

0

，可以得到u

=

與v

=

?

，Q進(jìn)一步求出流速：V

=ui+vj②

從流場(chǎng)速度求得流線函數(shù)Q對(duì)于二維流場(chǎng)，如果流線函數(shù)Q

存在，則流動(dòng)必定滿足.

V

=

0

的條件，因此可以得到u

=

?y

與v

=

?

，進(jìn)而推導(dǎo)出流線函數(shù)Q為Q=j

udy

?j

vdx

=C(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(x)(x)(x)(y)(y)(y)?Q7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-12】試說明流線函數(shù)的存在條件與判定方程式【解答】(1)流線函數(shù)的存在條件：如果流場(chǎng)是二維不可壓縮流，則流線函數(shù)Q存在。(2)從質(zhì)量守恒微分方程能夠推得流線函數(shù)的判定方程式為.

V

是否為0。7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-13】如果流場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)流(Steady

flow)，流速為V

=x2

i

+y2

j，是否存在流線函數(shù)(Stream

function)

Q

？為什么？【解答】(1)因?yàn)閂

=ui

+vj

+wk

=x2

i

+y2

j所以可以推知u

=x2

、v

=y2

。(2)由于流線函數(shù)判定式.

V

=

+

=

2x

+

2y

0

所以流線函數(shù)Q

不存在。7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-14】已知密度為p

的不可壓縮無黏流體，以均勻流速

U0

流經(jīng)一個(gè)圓柱(二維)，其分布可用流線函數(shù)

Q(x,

y)

=

U0

y

?

D

表示，試求出流場(chǎng)的速度表達(dá)式。【解答】(1)因?yàn)榱鲃?dòng)為二維不可壓縮流場(chǎng)，所以可以判定流線函數(shù)Q必定存在

且u

=

和v

=

?

(2)根據(jù)(1)的關(guān)系式可以求得

v

=

?

=

D

?y

0

(x2

+y)2

2

、

?x

(x2

+

y

)2

2(3)根據(jù)速度表達(dá)式V

=

ui

+

vj

+

wk

，流速為V

=

ui

+

vj

+

wk

=

U0

?

D

i

+

D

j?Q2xy2xy?Q?Q?

y?

yx?

D?

DU=?Q?Q=uu

=?Q2

22

22

27.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-15】如果流場(chǎng)的速度為V

=

u0

i

+

v0

j

，u0與

v0

均分別為一個(gè)固定常數(shù)，是否存在流線函數(shù)

Q

？如果流線函數(shù)存在，其表達(dá)式是什么？【解答】由V

=

ui

+

vj

+

wk

=

u0

i

+

v0

j，可以得知u

=u0

、v

=v0由于

.V

=?u

+?v

=0+0=0，所以流線函數(shù)Q存在。?x

?y根據(jù)Q=j(

y)

udy

?j(

x)

vdx

=C

可以求得Q=

j

udy

?j

vdx

=

u0

y

?

v0

x

+

K式中K為積分常數(shù)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(y)(x)(x)(x)(y)(y)(y)7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)2．速度勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)(Velocity

potential

function)對(duì)非旋性流動(dòng)問題研究非常重要，可通過它求非旋運(yùn)動(dòng)時(shí)流速的變化。(1)渦(旋)度

的定義。有研究指出，對(duì)于流體微團(tuán)，渦度(Vorticity)等于流體旋轉(zhuǎn)角速度的2倍，其計(jì)算公式為=

V

=

，它與速度的散度.

V

=

+

+

不同，渦度

V的計(jì)算結(jié)果是向量，如果流體的渦度=

V

=

0，則流動(dòng)為非旋運(yùn)動(dòng)(Irrotational

motion)；如果流體的渦度=V

0，則流動(dòng)為旋性運(yùn)動(dòng)(Rotational

motion)。因此V

可以作為判定流動(dòng)是否為旋性運(yùn)動(dòng)的方程式。(2)非旋性流的定義與存在條件。如果流體在某一特定區(qū)域的渦度()均為0，則流場(chǎng)為非旋性流(Irrotational

flow)。實(shí)際的流體都不會(huì)是非旋性流，只有無黏性流(Inviscous

fluid)的運(yùn)動(dòng)才可能為非旋性流，那是因?yàn)榱黧w沒有黏性，就不存在剪應(yīng)力，所以不能傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)非旋性流的定義，可以推知，判定流場(chǎng)是否為非旋性流的方程式為：

V如果，V

=

0

則非旋性流；如果V

0，則旋性流。而散度值是標(biāo)量。u

v

wi

j

k7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)(3)位勢(shì)流的定義與非旋性流的關(guān)系所謂位勢(shì)流

(Potential

flow)

指的是無黏性流，它是一種假想的流場(chǎng)。流動(dòng)為無黏性流，則流場(chǎng)的速度位勢(shì)不會(huì)因?yàn)槭艿搅黧w黏性的影響而產(chǎn)生衰減，速度位勢(shì)(Velocity

potential)在流動(dòng)的過程中將是一個(gè)常數(shù)，因此位勢(shì)流的假設(shè)即是流體的黏性可以忽略不計(jì)。根據(jù)“非旋性流的定義與存在條件”的內(nèi)容描述，非旋性流的存在條

件也是假設(shè)流動(dòng)為無黏性流，所以渦度也將保持為一個(gè)常數(shù)。因此可以推知，

位勢(shì)流、非旋性流與無黏性流它們

代表的意義是相同的，也就是假設(shè)

=0時(shí)，流體的渦度與速度位勢(shì)維持不變。(4)速度勢(shì)函數(shù)的定義與存在條件速度勢(shì)函數(shù)(Velocity

potential

function)由位勢(shì)流也就是非旋性流的判定方程式V

=0推導(dǎo)而得①

存在條件如果流場(chǎng)是位勢(shì)流，則流動(dòng)滿足V

=0的條件。因?yàn)椋员囟梢哉业揭粋€(gè)函數(shù)使得速度V

=

，這個(gè)函數(shù)就稱為速度勢(shì)函數(shù)。②

速度勢(shì)函數(shù)存在與否的判定式流動(dòng)滿足V

=0，則速度勢(shì)函數(shù)存在；如果V

士0，則速度勢(shì)函數(shù)不存在。7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)存在。根據(jù)非旋性流或位

V

是否為0【例7-16】試說明速度勢(shì)函數(shù)

的存在條件與判定方程式?！窘獯稹克俣葎?shì)函數(shù)的存在條件：如果流動(dòng)是非旋性流也即位勢(shì)流，則速度勢(shì)函數(shù)勢(shì)流判定方程式，可以推得速度勢(shì)函數(shù)的判定方程式是7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-17】如果流速為

u

=x2

+y2

、v

=?2xy

+3x

，是否存在速度勢(shì)函數(shù)

？【解答】j

?

?y?2xy

+3x所以流場(chǎng)為旋性流，因而速度勢(shì)函數(shù)=

?0?x

?yi

?

?xx2

+y2?(?2xy

+3x)k

?(x2

+y2

)k

不存在。j

?

?yvi

?

?xuk

?

?zwk

?

?z0因?yàn)?/p>

V

==7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)(5)判定式的計(jì)算

i

j

對(duì)于直角坐標(biāo)系統(tǒng)，=

i

+

j

+

k

而V

=(u,v,w)=ui+vj+wk，所以V

=式中，u、v與w分別表示x、y與z方向的速度分量。

u

vk

?

?zw(6)速度勢(shì)函數(shù)的應(yīng)用根據(jù)速度勢(shì)函數(shù)的定義，可以求得非旋性流場(chǎng)內(nèi)速度分布，或者從非旋性流場(chǎng)內(nèi)的速度分量，求得速度勢(shì)函數(shù)表達(dá)式。①

利用速度勢(shì)函數(shù)

求得速度分量如果流動(dòng)滿足V

=

0

的條件，可以從V

=

中求得u

=

與v

=

。從而推知，對(duì)于x

-

y的二維非旋性流場(chǎng)，如果已知，可以求得u和v，進(jìn)一步求出流速：V

=

ui

+

vj②

從速度分量求得速度勢(shì)函數(shù)

如果速度勢(shì)函數(shù)存在，則可以求得u

=、v

=

，進(jìn)而推導(dǎo)出速度勢(shì)函數(shù)為=

j(

x)

udx

+j(

y)

vdy

=

C7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-18】若流場(chǎng)為x

-

y

的二維非旋性流動(dòng)，速度勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為

=4(x2

+y2

)則流速V表達(dá)式是什么？【解答】(1)因?yàn)榱鲌?chǎng)為二維非旋性流動(dòng)，所以速度勢(shì)函數(shù)必定存在，且u

=

、v

=

(2)根據(jù)(1)的關(guān)系方程式可以分別求出u

=

=

=

8x

、v

=

=

=

8y(3)根據(jù)V

=ui

+vj

+wk

，因此V

=ui

+

vj+wk=8xi+8yj7.4

流線函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)【例7-19】若流場(chǎng)為

x

-

y

的二維非旋性流，已知流場(chǎng)的滯止壓力P為101000

Pa，流體的密度為p=

1.19

kg

/

m3

平面勢(shì)流函數(shù)為

=(x2

?y2

)流場(chǎng)內(nèi)點(diǎn)(2,1.5)處的速度值與壓力值是？

【解答】(1)因?yàn)榱鲌?chǎng)為二維非旋性流，所以速度勢(shì)函數(shù)必定存在，且u

=

與v

=

(2)根據(jù)(1)的關(guān)系方程式可以分別求出

u

===2x

、v

==

=

?2y

所以速度大小為V

==

流場(chǎng)內(nèi)點(diǎn)(2,1.5)處的速度值為V

=(2x)2

+(?2y)2

=422

+4(1.5)2

=5m/s(3)根據(jù)伯努利方程式P

+

pV2

=