福建省福州市2024-2025學(xué)年高二上冊第二階段數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

福建省福州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二階段數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足，則（）A．2 B． C． D．20243．如圖，在四面體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別滿足，，則（）A． B．C． D．4．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A． B． C．3 D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離記為，當(dāng)變化時(shí)，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓的方程為.若直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．8．經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中，正確的有（）A．直線在y軸上的截距是B．直線經(jīng)過第一、二、三象限C．過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為D．過點(diǎn)，且傾斜角為90°的直線方程為10．給出下列命題，其中是真命題的是（

）A．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是B．已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量C．向量在向量上的投影向量為D．已知正方體棱長為2，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為11．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖．若記圖2中第n行白圈的個(gè)數(shù)為，其前n項(xiàng)和為；黑圈的個(gè)數(shù)為，其前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則的面積為.13．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．若點(diǎn)在拋物線上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為．14．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得；②不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為；③點(diǎn)到平面的距離有最小值無最大值；④當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大．其中正確結(jié)論的序號是．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切．(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．16．已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．(1)求拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，求證：直線AB過定點(diǎn)；17．在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)面為正三角形，底面為矩形，是的中點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為.(1)求證：平面；(2)求直線與直線所成角的余弦值；(3)求平面與平面所成夾角的正弦值.18．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程；(3)設(shè)雙曲線C：的半焦距為，直線過兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，求雙曲線的離心率.19．已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足：．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】直線，直線斜率為0，所以直線傾斜角為.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】由，可得，同理可得，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，則.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】由已知.故選：D．4．【正確答案】D【詳解】設(shè),則，因，由余弦定理：，則，，則.故選：D5．【正確答案】A【詳解】在中取得，故，所以.故選：A.6．【正確答案】B【詳解】易知的圓心為，半徑為；且直線過定點(diǎn)0,2，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)，圓心到直線距離最大為，因此可知圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：B7．【正確答案】B設(shè)直線的斜率為k，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，，即，設(shè)點(diǎn)則.兩式相減，得則即，所以雙曲線的方程為.故選：B8．【正確答案】D【詳解】由題意得，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，顯然，則，，故，設(shè)直線傾斜角為，則，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故選：D9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，令x=0，求得，則直線在y軸上的截距為，故A正確；對于B，直線的斜率為，在y軸上的截距為，易知直線經(jīng)過第一、二、三象限，B正確；對于C，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，代入點(diǎn)，求得，此時(shí)直線方程為y=2x；當(dāng)直線截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)，求得，此時(shí)直線方程為，故C錯(cuò)誤；對于D，傾斜角為90°的直線斜率不存在，則過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BC【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選項(xiàng)A為假命題；顯然不共面，，所以選項(xiàng)B為真命題；向量在向量上的投影向量為，所以選項(xiàng)C為真命題；

由題可得示意圖圖一，將放在同一個(gè)平面上得圖二，當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候有最小值為,由題可知，由余弦定理可知，所以選項(xiàng)D為假命題；故選：BC11．【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意得，再利用裂項(xiàng)相消法可求出，，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】由于每一個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，第n行白圈的個(gè)數(shù)為，黑圈的個(gè)數(shù)為，所以，B錯(cuò)誤，由，得，，，A正確，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，D正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，C錯(cuò)誤.故選AD.【思路導(dǎo)引】若通項(xiàng)公式是分式型，分子是常數(shù)，分母是相鄰兩項(xiàng)的積，則可以考慮用裂項(xiàng)相消法求和.12．【正確答案】【詳解】設(shè)，且，由可得故，故，，則，平方可得，化簡可得，求得，故，故13．【正確答案】/【詳解】由題知，設(shè)Ax則，，又，所以，拋物線方程為，聯(lián)立，得，無解，則直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切且與平行的直線為，則聯(lián)立，得，則，解得，則的最小值為.故14．【正確答案】②④【詳解】

以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，對于①，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，所以，解得，不符合題意，所以①錯(cuò)誤；對于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)椋?，此時(shí)方程無解，所以不存在點(diǎn)使得異面直線與所成的角為，所以②正確；

對于③，如圖所示，連接，設(shè)，因?yàn)?，所以，無最小值也無最大值，又因?yàn)槠矫?，且是線段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積，無最大值也無最小值，又的面積為定值，則三棱錐的高也即點(diǎn)到平面的距離，也無最大值和最小值，所以③錯(cuò)誤；對于④，由，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由到變大，單調(diào)遞增，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，所以④正確.故②④.1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；2、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時(shí)，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，

由已知得，

解得，，，

所以圓的方程為，即；（2）①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，

由已知，則圓心到直線的距離

解得，

此時(shí)，直線的方程為，即；

②若直線沒有斜率，則的方程為，

將其代入，可得或，即得，，滿足條件，

綜上所述，直線的方程為或．16．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）拋物線，,其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得，或（舍去），，則拋物線的方程為；（2）如圖，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直線恒過定點(diǎn).17．【正確答案】(1)證明見解析．(2)；(3)．【詳解】（1）底面為矩形，則，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，而平面，所以，又側(cè)面為正三角形，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，過平行于的直線為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為.，所以，解得（負(fù)值舍去），，，所以直線與直線所成角的余弦值為；（3）由（2）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，從而．所以平面與平面所成夾角的正弦值為．18．【正確答案】(1)(2)(3)離心率為或【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線有相同的漸近線，不妨設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，解得，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）不妨設(shè),，,，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)都在雙曲線上，所