《計(jì)算方法ch》課件

《計(jì)算方法ch》課程概述本課程介紹數(shù)值計(jì)算方法。課程涵蓋數(shù)值分析基本概念和常用算法，以及在科學(xué)計(jì)算、工程設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域中的應(yīng)用。第一章緒論本課程將帶領(lǐng)大家走進(jìn)計(jì)算方法的世界，探索數(shù)值分析的基礎(chǔ)理論和重要應(yīng)用。我們將學(xué)習(xí)如何利用計(jì)算機(jī)解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括方程求解、數(shù)值積分、微分方程求解等等。1.1計(jì)算方法的定義數(shù)值計(jì)算計(jì)算方法是指用數(shù)值方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如方程求解、積分計(jì)算等。近似解由于計(jì)算機(jī)只能處理有限精度的數(shù)據(jù)，因此計(jì)算方法通常得到的是問(wèn)題的近似解，而不是精確解。算法計(jì)算方法的核心是算法，即一系列步驟，用于計(jì)算問(wèn)題的近似解。誤差分析誤差分析是計(jì)算方法的重要組成部分，用于評(píng)估算法的精度和可靠性。1.2計(jì)算方法的發(fā)展歷程古代文明早在古代，人類(lèi)就積累了豐富的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，如古巴比倫人利用六十進(jìn)制進(jìn)行天文計(jì)算，古埃及人使用象形文字進(jìn)行測(cè)量和工程計(jì)算。文藝復(fù)興時(shí)期隨著文藝復(fù)興的興起，數(shù)學(xué)和科學(xué)得到了快速發(fā)展，這一時(shí)期誕生了牛頓、萊布尼茨等數(shù)學(xué)巨匠，為計(jì)算方法的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。近代19世紀(jì)，隨著工業(yè)革命的興起，計(jì)算方法得到了廣泛應(yīng)用，并出現(xiàn)了許多新的計(jì)算方法，如有限差分法、微分方程數(shù)值解法等。現(xiàn)代20世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，計(jì)算方法得到了前所未有的發(fā)展，出現(xiàn)了許多新的計(jì)算方法，如蒙特卡羅方法、有限元方法等，并開(kāi)始應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。1.3計(jì)算方法的應(yīng)用領(lǐng)域科學(xué)計(jì)算計(jì)算方法廣泛用于物理、化學(xué)、工程等領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)值模擬，解決復(fù)雜科學(xué)問(wèn)題。數(shù)據(jù)分析計(jì)算方法用于處理海量數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析、預(yù)測(cè)、建模，幫助人們更好地理解數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。金融領(lǐng)域計(jì)算方法用于金融模型的構(gòu)建、風(fēng)險(xiǎn)管理、投資組合優(yōu)化，幫助金融機(jī)構(gòu)做出更明智的決策。人工智能計(jì)算方法是人工智能領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)，用于訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型，實(shí)現(xiàn)智能化應(yīng)用。第二章數(shù)值逼近數(shù)值逼近是計(jì)算方法中一個(gè)重要分支，它研究如何用簡(jiǎn)單的函數(shù)去近似表示復(fù)雜的函數(shù)。數(shù)值逼近在科學(xué)計(jì)算、工程應(yīng)用和數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。2.1函數(shù)逼近的概念和方法插值法通過(guò)有限個(gè)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使它在這些點(diǎn)上與原函數(shù)的值相等。該函數(shù)可以是多項(xiàng)式、三角函數(shù)或其他函數(shù)形式。最小二乘法找到一個(gè)函數(shù)，使它在所有數(shù)據(jù)點(diǎn)上的誤差平方和最小。常用于擬合曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)分析。級(jí)數(shù)逼近法使用無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)逼近函數(shù)，例如泰勒級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等。這是一種常用的函數(shù)逼近方法，可以得到高精度的逼近結(jié)果。2.2插值法11.定義插值法是在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況下，找到一個(gè)函數(shù)來(lái)近似地表示這些數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系。22.應(yīng)用插值法在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如，數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分、數(shù)值微分。33.分類(lèi)插值法可以根據(jù)插值函數(shù)的不同而分為不同的種類(lèi)，例如，多項(xiàng)式插值、樣條插值。44.誤差插值法產(chǎn)生的誤差被稱(chēng)為插值誤差，它反映了插值函數(shù)與真實(shí)函數(shù)之間的偏差。2.3最小二乘法定義最小二乘法是一種常用的函數(shù)擬合方法。它通過(guò)最小化誤差平方和來(lái)找到最符合數(shù)據(jù)點(diǎn)的函數(shù)。該方法假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)存在一定的誤差，并試圖找到一個(gè)函數(shù)，使該函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的誤差平方和最小。步驟定義目標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)可以是直線(xiàn)、曲線(xiàn)或其他形式。根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算誤差平方和。通過(guò)求解誤差平方和的最小值，得到最佳擬合函數(shù)。第三章方程求解本章探討方程求解的數(shù)值方法，解決實(shí)際問(wèn)題中難以直接求得解析解的問(wèn)題。3.1方程的定義和性質(zhì)方程定義方程是包含未知數(shù)的等式，表示未知數(shù)之間的一種關(guān)系。方程性質(zhì)方程具有唯一性，即同一個(gè)方程只有一個(gè)解或解集，方程的解可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或其他數(shù)學(xué)對(duì)象。方程分類(lèi)方程可以分為代數(shù)方程、超越方程、微分方程等，不同的方程具有不同的解法和性質(zhì)。3.2迭代法1初始值選擇一個(gè)初始值2迭代公式使用迭代公式計(jì)算下一個(gè)值3誤差判斷判斷當(dāng)前值與上一個(gè)值之間的誤差是否滿(mǎn)足要求4結(jié)束條件如果滿(mǎn)足誤差要求，則停止迭代，否則繼續(xù)迭代迭代法是一種常用的數(shù)值解法，它通過(guò)不斷重復(fù)計(jì)算來(lái)逼近方程的解。迭代法通常包含四個(gè)步驟：選擇一個(gè)初始值，使用迭代公式計(jì)算下一個(gè)值，判斷當(dāng)前值與上一個(gè)值之間的誤差是否滿(mǎn)足要求，如果滿(mǎn)足誤差要求，則停止迭代，否則繼續(xù)迭代。3.3牛頓-拉夫森法1迭代公式牛頓-拉夫森法是一種迭代法，利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來(lái)逼近根。2初始值需要一個(gè)初始值來(lái)啟動(dòng)迭代過(guò)程。初始值的選取對(duì)收斂速度和精度有影響。3收斂性該方法的收斂速度很快，但在某些情況下可能不收斂或收斂到錯(cuò)誤的根。第四章數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分，也被稱(chēng)為數(shù)值求積，是用來(lái)近似計(jì)算定積分的方法。在實(shí)際應(yīng)用中，許多函數(shù)的積分無(wú)法用初等函數(shù)表示，需要用數(shù)值方法來(lái)近似計(jì)算。4.1積分的概念和性質(zhì)積分的定義積分是微分的逆運(yùn)算，表示函數(shù)曲線(xiàn)下的面積。定積分定積分表示函數(shù)曲線(xiàn)在兩個(gè)特定點(diǎn)之間與坐標(biāo)軸圍成的面積。不定積分不定積分表示一個(gè)函數(shù)的所有原函數(shù)的集合，它表示函數(shù)的累積變化。4.2牛頓-科特斯公式插值公式牛頓-科特斯公式基于插值多項(xiàng)式，利用函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值逼近積分。積分近似公式提供了不同階數(shù)的近似公式，例如梯形公式、辛普森公式等，可根據(jù)精度要求選擇合適的公式。誤差估計(jì)公式的誤差可以進(jìn)行分析和估計(jì)，幫助理解公式的精度和適用范圍。4.3高斯積分11.高斯求積公式高斯求積公式是一種數(shù)值積分方法，它使用在積分區(qū)間內(nèi)選取的特定點(diǎn)來(lái)逼近積分值。這些點(diǎn)稱(chēng)為高斯點(diǎn)，并且它們的位置和權(quán)重由高斯-勒讓德多項(xiàng)式確定。22.高斯點(diǎn)的選擇高斯點(diǎn)的位置由高斯-勒讓德多項(xiàng)式的根確定，這些根在積分區(qū)間內(nèi)是等間距的。權(quán)重由高斯-勒讓德多項(xiàng)式的系數(shù)確定。33.精度提高高斯積分公式的精度比其他數(shù)值積分方法（如梯形公式或辛普森公式）更高，特別適用于積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)存在奇異點(diǎn)的情況。44.適用范圍廣高斯積分公式可以用于各種積分問(wèn)題，包括一維、二維和多維積分。它在許多工程和科學(xué)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，例如物理學(xué)、化學(xué)和金融學(xué)。第五章數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分是利用函數(shù)在離散點(diǎn)上的值來(lái)近似計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法。它在實(shí)際應(yīng)用中，可以用于解決許多無(wú)法直接求出解析解的微分方程問(wèn)題。5.1導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處變化率的度量，反映了函數(shù)值隨自變量的變化而變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的概念在微積分、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它能夠幫助我們理解和解決許多實(shí)際問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)性質(zhì)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其指數(shù)減1和、差、積、商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則鏈?zhǔn)椒▌t，用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5.2有限差分公式11.前向差分使用函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)和未來(lái)點(diǎn)的值來(lái)近似導(dǎo)數(shù)。22.后向差分使用函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)和過(guò)去點(diǎn)的值來(lái)近似導(dǎo)數(shù)。33.中心差分使用函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)前后點(diǎn)的值來(lái)近似導(dǎo)數(shù)，精度更高。5.3Richardson外插法提高精度Richardson外插法是通過(guò)利用低階數(shù)值微分公式的結(jié)果來(lái)提高數(shù)值微分精度的方法。遞推公式該方法采用遞推公式，通過(guò)逐步逼近來(lái)獲得更精確的數(shù)值微分結(jié)果。應(yīng)用范圍Richardson外插法廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、工程仿真等領(lǐng)域，以提升數(shù)值微分的準(zhǔn)確性。第六章常微分方程數(shù)值解常微分方程是描述物理現(xiàn)象的常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型，在工程、科學(xué)和金融領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用。數(shù)值解法是解決常微分方程問(wèn)題的重要手段，它可以提供近似解，幫助我們理解和分析復(fù)雜的系統(tǒng)。6.1微分方程的概念和性質(zhì)函數(shù)關(guān)系描述變量之間變化關(guān)系，例如速度和時(shí)間的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)微分方程體現(xiàn)了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，揭示了變量變化率之間的聯(lián)系。初始條件為了得到唯一的解，需要定義初始條件，例如在初始時(shí)刻的變量值。解微分方程的解是滿(mǎn)足方程的函數(shù)，通常需要通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求解。6.2Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一種常用的數(shù)值解常微分方程的方法，可以計(jì)算出微分方程的數(shù)值解。1公式推導(dǎo)基于泰勒展開(kāi)公式推導(dǎo)出Runge-Kutta公式，用于計(jì)算微分方程的數(shù)值解。2精度和穩(wěn)定性Runge-Kutta法具有不同的精度和穩(wěn)定性，可根據(jù)精度和穩(wěn)定性要求選擇不同的方法。3應(yīng)用場(chǎng)景Runge-Kutta法應(yīng)用于工程、物理、化學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，廣泛用于解決常微分方程問(wèn)題。Runge-Kutta法根據(jù)公式的不同可以分為不同的階數(shù)，例如二階Runge-Kutta法、四階Runge-Kutta法等。6.3預(yù)測(cè)-校正法1預(yù)測(cè)根據(jù)先前數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值2校正利用預(yù)測(cè)值修正解3迭代重復(fù)預(yù)測(cè)校正過(guò)程預(yù)測(cè)-校正法是一種常用的常微分方程數(shù)值解法。通過(guò)不斷迭代，逐步提高解的精度。第七章偏微分方程數(shù)值解偏微分方程是描述物理、工程和科學(xué)中許多重要現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。數(shù)值方法提供了解決這些方程的近似解，特別是在分析解無(wú)法獲得的情況下。7.1偏微分方程的概念和性質(zhì)定義偏微分方程包含一個(gè)或多個(gè)未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)，描述一個(gè)或多個(gè)變量之間的關(guān)系。性質(zhì)偏微分方程的性質(zhì)包括階數(shù)、線(xiàn)性與非線(xiàn)性、齊次與非齊次、常系數(shù)與變系數(shù)等。應(yīng)用偏微分方程廣泛應(yīng)用于物理、工程、生物、金融等領(lǐng)域，例如熱傳導(dǎo)、波動(dòng)現(xiàn)象、流體力學(xué)等。7.2有限差分法基本原理將偏微分方程中的導(dǎo)數(shù)用差商近似代替。利用網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值近似計(jì)算導(dǎo)數(shù)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。主要步驟建立網(wǎng)格差分格式求解線(xiàn)性方程組7.3