2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題1．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．已知直線過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．4．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)．則（

）A． B．2 C． D．6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．7．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知圓：關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為 B．C．向量在向量上的投影向量為 D．向量與向量，共面10．已知直線：，圓：，以下正確的是（

）A．與圓不一定存在公共點(diǎn)B．圓心到的最大距離為C．當(dāng)與圓相交時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離為11．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點(diǎn)分別為，下列判斷正確的是（

）A．的方程為B．的離心率為C．若點(diǎn)為的上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為D．若點(diǎn)為的上支上的一點(diǎn)，則△的內(nèi)切圓的半徑為三、填空題12．已知，兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．過雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則的離心率為.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為.四、解答題15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點(diǎn).(1)求圓M的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.16．如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.18．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與相鄰的頂點(diǎn)，且平面，，…平面和平面為多面體的所有以為頂點(diǎn)的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)若平面，，三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為．①求直線與直線所成角的余弦值；②點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)度．19．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.答案：1．B【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B2．C【詳解】設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，所以，化簡(jiǎn)得.故選：C．3．A【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A．4．A【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間的距離為.故選：A5．D【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知令，且，；可得；所以.故選：D6．C【詳解】由題意，設(shè)，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C7．A【詳解】如圖所示，由橢圓，得到左頂點(diǎn)，又由過點(diǎn)且斜率為的直線，可得方程為，因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，可得，代入直線，可得，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：A.

8．C【詳解】由圓：，即可得圓心，半徑，由圓：關(guān)于直線對(duì)稱，可得圓心在直線上，所以，即，所以在直線，又過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則，又在直線，則可表示到直線上點(diǎn)的距離的平方，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：C.9．BD【詳解】對(duì)于A，因，則，因，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，則，故，即B正確；對(duì)于C，根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為:，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由向量，，，可知，故向量與向量，共面，所以D正確．故選：BD.10．ABD【詳解】對(duì)于A，圓心到直線的距離為，當(dāng)，即，解得或，此時(shí)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€，即，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.11．ACD【詳解】A.由雙曲線方程可知，雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以的方程為，故A正確；B.由雙曲線的方程，可知，，，則，所以離心率，故B錯(cuò)誤；C.，，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線且依序排列時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；D.D.的方程為，當(dāng)時(shí)，，，，計(jì)算可得，，，所以的面積為，的周長(zhǎng)為，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故D正確.故選：ACD12．【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故13．.【詳解】解法一：不妨設(shè)雙曲線，令，可得，所以AB=2b依題意可得，，所以，又，所以，解得：，又因?yàn)?，所?解法二：如圖，連結(jié)，在中，所以離心率.解法三：，依題意知在曲線上，故，整理得（取正），所以，故答案為.14．【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡(jiǎn)得對(duì)應(yīng)的軌跡方程為.所以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個(gè)邊即是邊長(zhǎng)為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)點(diǎn)的軌跡，可設(shè)，，所以點(diǎn)到平面的距離，所以故；15．(1)(2)或.【詳解】（1）易知過點(diǎn)且與直線垂直的直線斜率為，故圓心M與切點(diǎn)連線方程為，聯(lián)立解得，所以；所以圓M的半徑為，所以圓M的方程為.（2）如圖，由（1）可知圓M的方程為，

因?yàn)橹本€被圓M截得的弦長(zhǎng)為，所以M到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為1，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)方程為，則，即，解得或，所以直線的方程為或.16．(1)證明見解析(2)(3).【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則.又，可得，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離.易知，則點(diǎn)A到平面的距離為.（3）易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則故平面與平面的夾角的余弦值為.17．（1）；（2）見解析.【詳解】（1）依題意，圓M的圓心，圓N的圓心，故，由橢圓定理可知，曲線C是以M、N為左右焦點(diǎn)的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為；（2）對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)，由于（R為圓P的半徑），所以R=2，所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為；若直線l垂直于x軸，易得；若直線l不垂直于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當(dāng)時(shí)，.18．(1)2(2)①；②【詳解】（1）根據(jù)離散曲率的定義得，，，，所以（2）①因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，平?所以平面，平面,所以，所以，所以，所以，如圖，將三棱錐補(bǔ)成正方體，因?yàn)?，連結(jié)，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，而是等邊三角形，所以，，所以直線與直線所成角的余弦值為；過點(diǎn)作交AB于，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以為直線與平面所成的角，依題意可得，，，，所以,，設(shè)，，，在中，，又，所以，所以，所以，解得：或（舍）故.19．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所?/p>