專題01 雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型解讀與提分精練（全國）

專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.線段的雙中點模型 2模型2.線段的多中點模型 4模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型 6 11模型1.線段的雙中點模型線段雙中點模型：兩線段在同一直線上且有一個共同的端點，求這兩條線段的中點距離的模型我們稱之為線段的雙中點模型。條件：點M、N分別為線段AB、BC的中點，結(jié)論：.證明：①當點B在線段AC上，如圖1，圖1∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；∵MN=BM+BN，∴；②當點B在線段AC的延長線上，如圖2，圖2∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；∵MN=BM-BN，∴；③當點B在線段CA的延長線上圖3∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；∵MN=BN-BM，∴；例1．（23-24七年級上·江蘇揚州·期末）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．(1)若，求的長；(2)若，求的長；例2．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，點C在線段上，點M，N分別是線段的中點．(1)若，求線段的長；(2)若，求線段的長度．例3．（23-24七年級·山東淄博·期末）已知點是線段的中點，點是線段的三等分點．若線段，則線段的長為（）A．B．C．或D．或例4．（23-24七年級上·安徽黃山·期末）如圖，C，D是線段上兩點（點D在點C右側(cè)），E，F(xiàn)分別是線段的中點．下列結(jié)論：①；

②若，則；③；

④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④例5．（23-24七年級上·貴州遵義·期末）已知線段，點C為線段的中點，點D為線段上的三等分點，則線段的長的最大值為（

）A．16 B．18 C．15 D．20例6．（23-24七年級上·遼寧阜新·期末）點、在數(shù)軸上所表示的數(shù)如圖所示，是數(shù)軸上一點：(1)將點在數(shù)軸上向左移動2個單位長度，再向右移動7個單位長度，得到點，求出、兩點間的距離是多少個單位長度．(2)若點在數(shù)軸上移動了個單位長度到點，且、兩點間的距離是4，求的值．(3)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請你說明理由：若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長度．模型2.線段的多中點模型條件：如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點、﹔第2次操作：分別取線段和的中點，﹔第3次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作n次，結(jié)論：．證明：∵、是和的中點，∴，，∴，∵、是和的中點，∴，，∴，∵，是和的中點，∴，，∴，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，例1．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，數(shù)軸上的點為原點，點表示的數(shù)為，動點從點出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次從點跳動到的中點處，第2次從點跳動到的中點處，第3次從點跳動到的中點處，…，第次從點跳動到的中點處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點，，，…，處，那么點所表示的數(shù)為．例2．（23-24七年級上·河南濮陽·期末）已知：如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點，；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，，連續(xù)這樣操作4次，則．例3．（23-24七年級上·湖南張家界·期末）如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、﹔第二次操作：分別取線段和的中點，﹔第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2024次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和．例4．（23-24七年級上·廣東·期中）學習了線段的中點之后，小明利用數(shù)學軟件做了n次取線段中點實驗：如圖，設線段，第1次，取的中點；第2次，取的中點；第3次，取的中點，第4次，取的中點；…(1)請完成下列表格數(shù)據(jù)．次數(shù)

線段的長第1次第2次第3次第4次第5次①______②________………(2)小明對線段的表達式進行了如下化簡：因為，所以，兩式相加，得，所以．請你參考小明的化簡方法，化簡的表達式．(3)類比猜想：_____，=_____，隨著取中點次數(shù)n的不斷增大，的長最終接近的值是____．模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型雙角平分線模型：共頂點的三條射線組成的三個角中（兩角共一邊），已知任意兩個角的平分線，求角平分線夾角。下面是最完整的角平分線模型結(jié)論的推導過程，推導過程是需要掌握的，也并不難推，同學們自己嘗試著推導一遍，再去記結(jié)論，印象會更加深刻。圖1圖2圖3圖41）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：。證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：。證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：。證明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，∴。4）角n等分線模型條件：如圖4，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線…，分別是和的平分線；結(jié)論：．證明：，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：。例1．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，點O為直線上一點，平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023春·遼寧遼陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有（

）①；②；③；④．A．①② B．①③ C．②③ D．②④例3．（2023春·黑龍江·七年級?？茧A段練習）如圖，射線是的角平分線，射線是的角半分線，射線是的角平分線，則下列結(jié)論成立的有（

）個．

①；②；③；④；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例4．（2023·河南·七年級校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

例5．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．A．當∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．B．當∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．例6．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點，，在同一條直線上，，分別平分和．(1)求的度數(shù)；(2)如果．①求的度數(shù)；②若，直接寫出的度數(shù)．例7．（2023秋·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）例8．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

1．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④3．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．4．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．5．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或6．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考開學考試）如圖，有兩根木條，一根長為，另一根長為，在它們的中點處各有一個小圓孔（圓孔直徑忽略不計，抽象成兩個點），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離是．

7．（23-24七年級上·四川成都·階段練習）如圖所示，已知是線段上的一個點，是的中點，為中點，且滿足，求．8．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．9．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段上，P，Q分別是的中點，若，則．10．（2023秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）已知，由定點引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則度．11．（2024·山東·七年級專題練習）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝°．（用含n的代數(shù)式表示）12．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數(shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點O是原點，點A所對應的數(shù)是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．所有結(jié)論正確的序號是．13．（2023春·天津濱海新·七年級?？计谥校┤鐖D，為直線上一點，，平分，平分，平分，下列結(jié)論：；與互補；；．請你把所有正確結(jié)論的序號填寫在橫線上．

14．（2023春·安徽合肥·七年級?？奸_學考試）平面內(nèi)，，為內(nèi)部一點，射線平分，射線平分，射線平分，當時，的度數(shù)是．15．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點在線段上，，分別是，的中點．若，，求的長．(1)根據(jù)題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設，是線段上任意一點（不與點，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點，即，，求的長．③若，分別是，的等分點，即，，則______．16．（2023秋·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．例如，點C是AB的中點時，即，則；反之，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應用】如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發(fā)，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．①小王同學發(fā)現(xiàn)，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；②t為何值時，．17．（2023秋·河北邢臺·七年級校聯(lián)考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當，重合時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當在內(nèi)部時，若，求的度數(shù)；(3)當和的位置如圖3時，求的度數(shù)．18．（2024·廣東廣州·七年級?？计谀┤鐖D①，已知線段，，線段在線段上運動，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)若，則___________cm；(2)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，，分別平分和，若，，則___________．直接寫出，和的數(shù)量關系：___________．19．（2023秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）點為直線上一點，在直線同側(cè)任作射線，使得．(1)如圖一，過點作射線，使為的