專題27 相似模型之托勒密定理與不等式模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專題27相似模型之托勒密定理與不等式模型相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開數(shù)量的計(jì)算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基本圖形，體會(huì)其各種演變和聯(lián)系。相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的托勒密定理與托勒密不等式模型。托勒密（Ptolemy）定理的歷史，可追溯到公元2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Ptolemy，他對(duì)三角學(xué)有很多貢獻(xiàn)。該定理無論從內(nèi)涵還是應(yīng)用都極具魅力。從表面上看Ptolemy定理是關(guān)于邊的等式，但由于四邊形外接圓的存在，Ptolemy定理從一個(gè)側(cè)面反映了角的關(guān)系。也許正因?yàn)槿绱耍琍tolemy定理有了較好的應(yīng)用背景。Ptolemy定理不但有著豐富的內(nèi)涵，而且具備廣泛的外延，而Ptolemy不等式就是其重要的拓展。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.托勒密（定理）模型 2模型2.托勒密不等式模型 6 7模型1.托勒密（定理）模型托勒密定理：四邊形ABCD內(nèi)接于圓，求證：．證明：如圖，在BD上取一點(diǎn)P，使其滿足．∵，∴，，即①又，，∴，，．②=1\*GB3①+②，有．即，故．特例：（1）當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，如圖1，根據(jù)托勒密定理有：，又等邊△ABC有AB=AC=BC，故：．特例：（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，如圖2，根據(jù)托勒密定理：，又，代入可得結(jié)論：．特例：（3）當(dāng)△ABC是一般三角形時(shí)，如圖2，根據(jù)托勒密定理可得：又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得結(jié)論：．例1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．如圖，中有圓內(nèi)接四邊形，已知，，，，則（

）

A． B． C． D．例2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某著作講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．例3．（2023·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（，約90年-168年），“地心說”的集大成者，生于埃及，著名的天文學(xué)家，地理學(xué)家，占星學(xué)家和光學(xué)家．托勒密定理實(shí)出自依巴谷（）之手，托勒密從他的書中摘出并加以完善．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，四邊形內(nèi)接于，求證：下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖1，作，交于點(diǎn).，（依據(jù)1），（依據(jù)2），，，.，，即，，，．任務(wù)：(1)托勒密定理的逆命題是______；上述證明過程中的“依據(jù)1”為______；“依據(jù)2”為______．(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：______．(3)如圖2，以為直徑的中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，的角平分線交于點(diǎn)，連接，，若，求的長(zhǎng)．例4．（23-24九年級(jí)上·浙江衢州·期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．(1)連接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，則△DBC的形狀為．(2)在(1)的條件下，試探究線段AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若，∠DAB＝∠ABC＝90°，點(diǎn)P為上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PD，求證：PD＝PB+PA．例5．（24-25九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）【給出問題】：已知：是正方形的外接圓，點(diǎn)P在上（除A、B外），試求的度數(shù)．【分析問題】：善于思考的小明在分析上述題目后，有了以圓為工具來解決問題的思路．用圓來畫出準(zhǔn)確的示意圖就能順利解題了，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索就有了新發(fā)現(xiàn)．請(qǐng)善于思考的你幫助解答以下問題：（1）①尺規(guī)作圖，在中作出內(nèi)接正方形（保留痕跡，不寫作法）．②原題中．【深入思考】（2）【問題】如圖1，若四邊形是的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄咳咧g或者三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（3）【拓展】如圖2，若六邊形是的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)P為弧上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄咳咧g有何數(shù)量關(guān)系：（不寫證明過程）．（4）【應(yīng)用】如圖3，若四邊形是矩形，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，，，，試求矩形的面積．

例6．（2024·山東德州·一模）△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC．(1)如圖①，若△ABC是等邊三角形，則線段PA，PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，把（1）中的△ABC改為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他條件不變，三條線段PA，PB，PC還有以上的數(shù)量關(guān)系嗎？說明理由．(3)如圖③，把（1）中△ABC改為任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a時(shí)，其他條件不變，則PA，PB，PC三條線段的數(shù)量關(guān)系為_________（直接寫結(jié)果）(4)由以上你能發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對(duì)角線有什么關(guān)系？例7．（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知圓內(nèi)接，點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)且，連接AD交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)設(shè)，．①求證：；②若，求的值．（用含m、k的代數(shù)式表示）模型2.托勒密不等式模型托勒密不等式模型：對(duì)于任意凸四邊形ABCD，有證明：如圖1，在平面中取點(diǎn)E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易證△ABE∽△ACD，∴，即①，連接DE，如圖2，∵，∴，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴，即②，將①+②得：，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D共圓時(shí)取到等號(hào)．例1．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，線段BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為（

）A．6 B．6 C．4＋2 D．3例2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C滿足，，以BC為斜邊作等腰直角三角形，連接，則的最大值為（

）

A． B． C．4 D．8例3．（2023·廣東河源·三模）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的半徑為，點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在上，連接，作等邊（，，為順時(shí)針順序），求的最大值；【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖中，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊，連接．（）請(qǐng)你找出圖中與相等的線段，并說明理由；（）線段的最大值為．【靈活運(yùn)用】（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，，求線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【遷移拓展】（）如圖③，，點(diǎn)是以為直徑的半圓上不同于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，請(qǐng)直接寫出的最值．1．（23-24九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，點(diǎn)P為正方形的外接圓O的上一點(diǎn)，連接，則的值為（）A．1 B． C． D．22．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．3．（2024·天津·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AD=，CD=，∠ACB=90°，AC=2BC，則BD的最大值為4．（23-24九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，、、、是上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)求證：．(3)若，點(diǎn)P是弧上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)，），求的最大值．5．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，內(nèi)接于，若，弦，則半徑______；（2）【問題探究】如圖2，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，若，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．求證：；（3）【解決問題】如圖3，一塊空地由三條直路（線段、、）和一條道路劣弧CD圍成，已知千米，，CD的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入口在點(diǎn)M處，另外三個(gè)入口分別在點(diǎn)C、D、P處，其中點(diǎn)在CD上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段、、、，某數(shù)學(xué)興趣小組探究后發(fā)現(xiàn)C、P、D、M四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，請(qǐng)你幫他們證明C、P、D、M四點(diǎn)共圓，并判斷是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長(zhǎng)度（即四邊形的周長(zhǎng)）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．

6．（23-24九年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有．任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為．（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．7．（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·期末）問題提出：若一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于它的兩條對(duì)角線的乘積，則稱這個(gè)四邊形為巧妙四邊形．初步思考：（1）寫出你所知道的四邊形是巧妙四邊形的兩種圖形的名稱：，．（2）小敏對(duì)巧妙四邊形進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)圓的內(nèi)接四邊形一定是巧妙四邊形．如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形．求證：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．小敏在解答此題時(shí)，利用了“相似三角形”進(jìn)行證明，她的方法如下：在BD上取點(diǎn)M，使∠MCB＝∠DCA．（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過程．）推廣運(yùn)用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的長(zhǎng)．8．（2023·湖南·一模）定義：在凸四邊形中，我們把兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積的四邊形稱為“完美四邊形”。（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四邊形”的是______．（2）如圖1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為“完美四邊形”，若DA，DC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m為常數(shù))的兩個(gè)根，求線段BD的長(zhǎng)度．（3）如圖2，在“完美四邊形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，F(xiàn)G=8，求“完美四邊形”EFGH面積的最大值．9．（2024·山西大同·校考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時(shí)把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，求證：AB?CD+BC?AD＝AC?BD下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點(diǎn)E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB?CD＝AC?BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）∴AD?BC＝AC?ED∴AB?CD+AD?BC＝AC?（BE+ED）∴AB?CD+AD?BC＝AC?BD任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：．（請(qǐng)寫出）（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．10．（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)托勒密，古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻(xiàn)，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的乘積．下面是該定理的證明過程（部分）已知：如圖①四邊形是的內(nèi)接四邊形求證：

證明：以C頂點(diǎn)，為一邊作交于點(diǎn)E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務(wù)：(1)請(qǐng)將“托勒密”定理的證明過程補(bǔ)充完整；(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定理證明這個(gè)結(jié)論．11．（2024·河南南陽·一模）學(xué)習(xí)過“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認(rèn)識(shí)托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻(xiàn)，對(duì)“托勒密定理”很感興趣，并進(jìn)行了下列的研究，請(qǐng)完成他的研究．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，_____．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點(diǎn)E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．(1)請(qǐng)幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；(2)如圖3，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．12．（23-24九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，為線段上一點(diǎn)，，①求證：；②求證：(3)如圖3，當(dāng)，，，時(shí)，求（用，表示）．13．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）【閱讀材料】克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理．定理內(nèi)容如下：任意一個(gè)凸四邊形，兩組對(duì)邊乘積的和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立．即：四邊形中，有，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)，有．【嘗試證明】（1）如圖1，四邊形內(nèi)接于，求證：．證明：在上取點(diǎn)E，連接，使．∵，∴______，∴，∴①，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴______②，得，即______．【直接應(yīng)用】（2）如圖2，為的直徑，，，，求的長(zhǎng)；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在四邊形中，，，，，則DB的最大值為______；【靈活運(yùn)用】（4）如圖4，在等腰三角形中，，，點(diǎn)D在底邊上，且，將三角形沿著AD所在的直線翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接，則的長(zhǎng)為______．14．（24-25九年級(jí)上·陜西安康·階段練習(xí)）【問題提出】（1）如圖1，四邊形內(nèi)接于，，，連接，則的度數(shù)為______．【問題探究】（2）如圖2，在四邊形中，，，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，求四邊形的面積；【問題解決】（3）如圖3，若是一個(gè)半徑為的圓形荷花池，AB和AD是荷花池上的兩座長(zhǎng)度相等的小橋，且，現(xiàn)要在荷花池上再修建三座小橋、和CD，為使游客更好地欣賞荷花，要求這三座小橋的總長(zhǎng)度最大，請(qǐng)你求出此時(shí)這三座小橋的總長(zhǎng)度（即的最大值）．15．（2024·廣東佛山·一模）（1）小迪同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接正多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)：如圖1，若是圓內(nèi)接正