專題12 解直角三角形的最值模型之胡不歸模型解讀與提分精練（北師大版）

專題12解直角三角形的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.胡不歸模型（最值模型） 1 14模型1.胡不歸模型（最值模型）從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】垂線段最短。例1．（23-24九年級上·重慶·期末）如圖，在中，，，．點是在邊上的動點，則的最小值是．例2．（2024·河南漯河·一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．例3．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．例4．（2023·廣東佛山·校考一模）在邊長為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為___________．例5．（2024九年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，，，過點作交于點，點是上一動點，求的最小值．例6．（2024九年級下·廣東·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為A點，且與軸的正半軸交于點，點為該拋物線對稱軸上一點，則的最小值為．例7．（2023·浙江寧波·九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．例8．（23-24九年級下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E兩點在△ABC邊上運動．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=120°時，D在邊BC上，E在邊AC上，BD=CE=2，求△ADE的面積．（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=60°時，D在邊BC上，E在AC延長線上，BD=CE，連接AD、BE，取BE中點F，連接CF，H為CF上一點，G為AD上一點，連接BG、HG，且滿足CH=AG，求證：∠BGH=60°．（3）如圖3，當(dāng)∠A=90°時，D在邊AC上，E在邊AB上，連接DE，求CD+DE的最小值．例9．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，連接．(1)直接寫出點B、C的坐標(biāo)，B________；C________．(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點，連接、．若的面積，求點P的坐標(biāo)．(3)設(shè)E為線段上任意一點（不含端點），連接，一動點M從點A出發(fā)，沿線段以每秒1個單位速度運動到E點，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到C后停止，求點M運動時間的最小值．

1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形的對角線交于點，，，點是上的動點，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．62．（2024·安徽·三模）如圖，在中，，，，于點，點在上，且，點是線段上的動點，連接，則的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．3．（2024·山東·九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．4．（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，，于點，，是線段上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．105．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，是直徑，，，點是弦上的一個動點，那么的最小值為（

）A．1+ B．1+ C． D．6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且，點P是線段BD上的一個動點，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．7．（23-24九年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，D、F分別是邊、上的動點，連接，過點A作交于點E，垂足為G，連接，則的最小值為．8.（2024·廣西?？家荒＃┤鐖D所示，在中，，M為線段上一定點，P為線段上一動點．當(dāng)點P在運動的過程中，滿足的值最小時，則．9．（2023上·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點P在線段上運動時，的最小值為．10.（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，，，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標(biāo)為．11．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．12．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為．（1）若點的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點，使得以，，為頂點的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止，當(dāng)點的坐標(biāo)是多少時，點在整個運動過程中用時最少？14．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┰诹庑沃校?1)如圖1，過點B作于點E，連接，點是線段的中點，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，連接．點Q是對角線上的一個動點，若，求的最小值．15.（2024.廣東九年級期中）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）試說明CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．16．（2024·廣西·?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象交軸于點、，交軸于點，點是第四象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸交軸于點，線段的延長線交于點，連接、交于點，連接．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點是軸上一個動點，求的最小值．17．（2023·廣東·東莞市三模）已知，如圖，二次函數(shù)圖像交軸于，交交軸于點，是拋物線的頂點，對稱軸經(jīng)過軸上的點．（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；（2）對稱軸與交于點，點為對稱軸上一動點．①求的最小值及取得最小值時點的坐標(biāo)；②在①的條件下，把沿著軸向右平移個單位長度時，設(shè)與重疊部分面積記為，求與之間的函數(shù)表達式