專題04 圓中的重要模型之四點共圓模型解讀與提分精練（北師大版）

專題04圓中的重要模型之四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學(xué)的常考知識點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.定點定長共圓模型（圓的定義） 2模型2.定邊對雙直角共圓模型 10模型3.定邊對定角共圓模型 25模型4.對角互補共圓模型 37 47【知識儲備】四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。四點共圓模型是一種解題思想，但任何題目里都不會告訴你，親愛的同學(xué)，請用四點共圓思想來解題吧。那么，我們頭腦里，就要快速迭代平常積累的一些模型。四點共圓有三個性質(zhì)：（1）共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"三角形的頂角相等；（2）\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）圓內(nèi)接四邊形的\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"外角等于\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"內(nèi)對角。模型1.定點定長共圓模型（圓的定義）若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。證明：∵OA=OB=OC=OD∴根據(jù)圓的定義：到定點的距離等于定長點的集合為圓，確定A、B、C、D四點共圓。例1．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，為等邊的外心，四邊形為正方形．現(xiàn)有以下結(jié)論:是的外心；是的外心；；設(shè)，則；若點，分別在線段，上運動（不含端點），隨著點運動到每一個確定位置時，的周長都有最小值，，其中所有正確結(jié)論的序號是（

）

A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤變式1、（2024?連云港九年級期中）如圖，點O為線段BC的中點，點A、C、D到點O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是．變式2．（2023·湖北·三模）問題背景：如圖1，等腰中，，作于點D，則D為的中點，，于是；遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點在同一條直線上，連接．①求證：；②請直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交于點F，連接，．證明是等邊三角形；模型2.定邊對雙直角共圓模型定邊對雙直角模型：一定邊所對的角為兩個直角，分同側(cè)型和異側(cè)型兩種情況進(jìn)行討論。同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。注意：由于同側(cè)型與異側(cè)型證明相同，故下面證明一次即可。證明：取AD的中點為E，連結(jié)BE，CE。∵，BE=CE=AD=AE=ED，∴根據(jù)圓的定義：到定點的距離等于定長點的集合為圓，確定A、B、C、D四點共圓。例1．（2023·四川成都·三模）如圖，已知四邊形是矩形，，點E是線段上一個動點，分別以、為邊向線段的下方作正方形、正方形，連接，過點B作直線的垂線，垂足是J，連接，求點E運動過程中，線段的最大值是．例2．（2023·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（

）

A． B． C． D．變式1．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝．模型3.定邊對定角共圓模型定邊對定角模型：一定邊同側(cè)所對的角為兩個相等（為定值）。圖1圖2條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓。條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點共圓。證明：∵，∴，又∵，?！?，∴A、B、C、D四點共圓。例1．（23-24九年級·福建南平·自主招生）如圖，在四邊形中，且，垂足為，延長線交于，交的延長線于．(1)求證：A，，，四點共圓；(2)求證：為定值．

例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由變式1．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，對角線平分，，且．(1)證明：；(2)若，，求的長．

變式2．（2023·江蘇無錫·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，直線BD、CE相交于點O，連接AO．則下列結(jié)論中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面積的最大值為8，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個模型4.對角互補共圓模型圖1圖2條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓.證明：∵，∴，又∵，?！?，∵，∴∴A、B、C、D四點共圓。例1．（23-24九年級上·云南昆明·期中）綜合與實踐：“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1所示，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．

探究展示：如圖2所示，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，，則，（依據(jù)，，點，，，四點在同一個圓上，（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上，（依據(jù)點，，，四點在同一個圓上；反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：______；（從右邊框內(nèi)選一個選項，直接填序號）依據(jù)2：______．（從右邊框內(nèi)選一個選項，直接填序號）①圓內(nèi)接四邊形對角互補；②對角互補的四邊形四個頂點共圓；③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；④經(jīng)過兩點的圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；（2）如圖3所示，在四邊形中，，，則的度數(shù)為______．變式1．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，，，點在內(nèi)部且，則的最大值是

變式2．（2023·廣東惠州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點，證明：A，，，四點共圓．1．（2024·江蘇宿遷·九年級校考期末）如圖，在中，，，，點P為平面內(nèi)一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西撫州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點，，在上，且，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．D．3．（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ，若，則．4．（2024·山東?？肌ざ＃┤鐖D放置的兩個正方形，大正方形邊長為，小正方形邊長為()，在邊上，且，連接，，交于點，將繞點旋轉(zhuǎn)至，將繞點旋轉(zhuǎn)至，給出以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤四點共圓，其中正確的序號為．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是．6．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點D為上一點，，點E在線段上，，若，，則的最大值為．7．（2024·廣東廣州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點P是第一象限內(nèi)一動點，且，則4PD+2PC的最小值為．8．（2023·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一動點，且滿足CE＝CB，連接AE，以A為直角頂點，AE為腰，在直線AB上方作等腰直角三角形ADE，連接CD，當(dāng)CD最大時，下列結(jié)論：①D、A、C、E四點共圓；②3∠AEC＝∠DEA；③DC平分∠ADE；④2AD2＝DC2＋AC2，其中正確的是．9．（2023·廣東梅州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=4，AB=BC=BD=6，則∠ACD的正弦值是．10．（23-24九年級上·陜西西安·期末）問題提出（1）如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點共圓．小穎同學(xué)認(rèn)為：連接，取的中點，連接、來證明，請你按照小穎的思路完成證明；問題解決（2）如圖②，在正方形中，，點是的中點，點是邊上一點，連接、，過點作于點，當(dāng)點在線段上時，求線段的長．

11．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過點D作DF∥BC交AB于點F，求OE︰OF的比值．12．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）在學(xué)習(xí)《圓》這章時，我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；事實上，它的逆命題：對角互補的四邊形的四個頂點共圓，也是一個真命題．在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合問題中經(jīng)常會出現(xiàn)對角互補的四邊形，那么，我們就可以借助“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”，然后借助圓的相關(guān)知識來解決問題，例如：已知：如圖，是等腰直角三角形，，點是內(nèi)一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，并延長交直線于點．請解答下列問題：(1)當(dāng)點在如圖所示的位置時，①找出圖中與全等的三角形，并說明理由；②求的度數(shù)；③利用題干中的結(jié)論，證明：四點共圓；(2)連接，點在內(nèi)部運動的過程中，若，直接寫出線段的長．13．（23-24九年級上·吉林長春·期末）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連接，取的中點O，連接，請你幫助小吉補全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點E是邊的中點，點F是邊上的一個動點，連接，作于點P．（1）如圖②，當(dāng)點P恰好落在正方形對角線上時，線段的長度為______；（2）如圖③，過點P分別作于點M，于點N，連接，則的最小值為______．14．（2024·廣東東莞·三模）綜合探究小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時，發(fā)現(xiàn)如果四個點在同一個圓上（即四點共圓）時，就可以通過添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學(xué)一起探究四點共圓的條件．小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學(xué)的探究過程，請你補充完整．(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的逆命題為：________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點共圓的一個依據(jù)．(2)【驗證】如圖1，在四邊形中，，請在圖1中作出過點三點的，并直接判斷點D與的位置關(guān)系．（要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）(3)【證明】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，，求證：點四點共圓．證明：過三點作，假設(shè)點D不在上，則它有可能在圓內(nèi)（如圖2），也有可能在圓外（如圖3）．假設(shè)點D在內(nèi)時，如圖2，延長交于點E，連結(jié)AE，是的外角，，四邊形ABCE是的內(nèi)接四邊形，，又，．這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點D不可能在內(nèi)．請仿照以上證明，用反證法證明“假設(shè)點D在外”（如圖3）的情形15．（2024·遼寧葫蘆島·一模）射線AB與直線CD交于點E，∠AED＝60°，點F在直線CD上運動，連接AF，線段AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過點G作于點H．(1)如圖1，點F和點G都在射線AB的同側(cè)時，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，點F和點G在射線AB的兩側(cè)時，線段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)若點