2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE26-第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖[考綱解讀]1.相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫出簡(jiǎn)潔空間幾何體的三視圖，并能依據(jù)三視圖識(shí)別幾何體，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一．預(yù)料2024年會(huì)一如既往地進(jìn)行考查，以三視圖和直觀圖的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化為主要命題方向，考查題型有：①依據(jù)三視圖還原幾何體；②依據(jù)幾何體求體積．試題以客觀題形式呈現(xiàn)，難度一般不大，屬中檔題.1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互eq\o(□,\s\up1(01))平行且eq\o(□,\s\up1(02))相等多邊形相互eq\o(□,\s\up1(03))平行側(cè)棱eq\o(□,\s\up1(04))平行且相等相交于eq\o(□,\s\up1(05))一點(diǎn)，但不肯定相等延長(zhǎng)線交于eq\o(□,\s\up1(06))一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)eq\o(□,\s\up1(07))平行四邊形eq\o(□,\s\up1(08))三角形eq\o(□,\s\up1(09))梯形2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線相互平行且相等，eq\o(□,\s\up1(01))垂直于底面相交于eq\o(□,\s\up1(02))一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于eq\o(□,\s\up1(03))一點(diǎn)—軸截面全等的eq\o(□,\s\up1(04))矩形全等的eq\o(□,\s\up1(05))等腰三角形全等的eq\o(□,\s\up1(06))等腰梯形eq\o(□,\s\up1(07))圓3．直觀圖(1)畫法：常用eq\o(□,\s\up1(01))斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸與y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)eq\o(□,\s\up1(02))垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up1(03))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\o(□,\s\up1(04))不變，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼膃q\o(□,\s\up1(05))一半．4．三視圖(1)幾何體的三視圖包括eq\o(□,\s\up1(01))正視圖、eq\o(□,\s\up1(02))側(cè)視圖、eq\o(□,\s\up1(03))俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：eq\o(□,\s\up1(04))正側(cè)一樣高，eq\o(□,\s\up1(05))正俯一樣長(zhǎng)，eq\o(□,\s\up1(06))側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線．1．概念辨析(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．()(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是旋轉(zhuǎn)體．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小題熱身(1)如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′－ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體答案B解析剩余的部分是四棱錐A′－B′C′CB.(2)用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是()答案A解析由斜二測(cè)畫法的原理可知．(3)若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為()A．2,2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4,2 D．2,4答案D解析由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2eq\r(3)，故底面邊長(zhǎng)為4，故選D.(4)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是________．答案五棱柱三棱柱題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________．①有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；②棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐；③有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；④直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；⑤若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線．答案0解析①③④錯(cuò)誤，反例見下面三個(gè)圖．②錯(cuò)誤，若六棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必定要大于底面邊長(zhǎng)．⑤錯(cuò)誤，平行于軸的連線才是母線．識(shí)別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，依據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．(2024·青島模擬)以下命題：①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由圓臺(tái)的定義可知①錯(cuò)誤，②正確．對(duì)于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，③錯(cuò)誤．

題型二空間幾何體的直觀圖(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖(1)所示的是△ABC的實(shí)際圖形，圖(2)是△ABC的直觀圖．由圖(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖(2)中作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.條件探究將本例中的條件變?yōu)椤啊鰽BC的直觀圖△A1B1C1是邊長(zhǎng)為a的正三角形”，則△ABC答案eq\f(\r(6),2)a2解析如圖(1)所示的是△ABC的直觀圖，圖(2)是△ABC的實(shí)際圖形．在圖(1)中作C1D1∥y1軸，交x1軸于點(diǎn)D1，在圖(2)中作CD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)C1D1＝x，則CD＝2x.在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧(1)在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中仍舊與x′軸或y′軸平行．(2)原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線．(3)原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)，然后用平滑曲線連接．(2024·福州調(diào)研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析如圖所示，圖(1)是等腰梯形ABCD的實(shí)際圖形，O為AB的中點(diǎn)，圖(2)是等腰梯形ABCD的直觀圖．在圖(2)中作E′F⊥x′軸，交x′軸于F，因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).題型三空間幾何體的三視圖角度1已知幾何體識(shí)別三視圖1．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析視察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫出，俯視圖為，故選A.角度2已知三視圖還原幾何體2．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析依據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬、圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，故選B.角度3已知三視圖中的部分視圖，推斷其他視圖3．把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐C－ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案D解析由三棱錐C－ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C－ABD的側(cè)視圖為直角邊長(zhǎng)是eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，其形態(tài)如圖所示，所以三棱錐C－ABD的側(cè)視圖的面積為eq\f(1,4).三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．留意視察方向，留意能看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)．要熟識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形態(tài)，然后再找其剩下部分三視圖的可能形態(tài)．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．1．如圖1所示，是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體的直觀圖，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是()答案C解析由直觀圖和俯視圖知，其正視圖的長(zhǎng)應(yīng)為底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，寬應(yīng)為正方體的棱長(zhǎng)，故解除B，D，又正視圖中點(diǎn)D1的射影是B1，側(cè)棱BB1是看不見的，在正視圖中用虛線表示，所以正視圖是C中的圖形．故選C.2．(2024·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過點(diǎn)A，E，C1答案C解析如圖所示，過點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F3．(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長(zhǎng)棱．由三視圖可知正方體的棱長(zhǎng)為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B.組基礎(chǔ)關(guān)1．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()A．①③ B．①④C．②④ D．①②③④答案A解析由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確．2．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形答案D解析由直觀圖可知，其表示的平面圖形△ABC中AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．3．日晷是中國(guó)古代利用日影測(cè)得時(shí)刻的一種計(jì)時(shí)工具，又稱“日規(guī)”．通常由銅制的指針和石制的圓盤組成，銅制的指針叫做“晷針”，垂直地穿過圓盤中心，石制的圓盤叫做“晷面”，它放在石臺(tái)上，其原理就是利用太陽的投影方始終測(cè)定并劃分時(shí)刻．利用日晷計(jì)時(shí)的方法是人類在天文計(jì)時(shí)領(lǐng)域的重大獨(dú)創(chuàng)，這項(xiàng)獨(dú)創(chuàng)被人類沿用達(dá)幾千年之久．上圖是一位游客在故宮中拍到的一個(gè)日晷照片，假設(shè)相機(jī)鏡頭正對(duì)的方向?yàn)檎较颍瑒t依據(jù)圖片推斷此日晷的側(cè)視圖可能為()答案D解析因?yàn)橄鄼C(jī)鏡頭正對(duì)的方向?yàn)檎较?，所以?cè)視圖中圓盤為橢圓，指針上半部分為實(shí)線，下半部分為虛線，故選D.4．如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起協(xié)助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤答案B解析正視圖應(yīng)當(dāng)是邊長(zhǎng)為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①，側(cè)視圖應(yīng)當(dāng)是邊長(zhǎng)為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)當(dāng)是邊長(zhǎng)為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.5.若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由三視圖知該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱柱，下半部分是一個(gè)四棱柱．故選D.6．(2024·四川省南充中學(xué)模擬)在正方體中，M，N，P分別為棱DD1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)M，N，P的平面截去該正方體的頂點(diǎn)C1所在的部分，則剩余幾何體的正視圖為()答案B解析由已知可知過點(diǎn)M，N，P的截面是過正方體棱BB1，BC，CD的中點(diǎn)的正六邊形，所以剩余幾何體如圖所示，其正視圖應(yīng)是選項(xiàng)B.7．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體須要的小正方體的塊數(shù)是()A．8 B．7C．6 D．5答案C解析畫出直觀圖可知，共須要6塊．8．如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點(diǎn)E為平面B′BCC′的中心，點(diǎn)F為B′C′的中點(diǎn)，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是________(填出全部可能的序號(hào))．答案①②③解析空間四邊形D′OEF在正方體的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不行能出現(xiàn)的投影為④的狀況．9．(2024·福州質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是________．答案4解析由三視圖可得該幾何體是如圖所示的四棱錐P－ABCD，由圖易知四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故此幾何體各面中直角三角形有4個(gè)．10．如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(2)m，則圓錐底面圓的半徑等于________m.答案1解析把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)P的母線綻開成如圖所示的扇形，由題意知OP＝4m，PP′＝4eq\r(2)m，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的內(nèi)角，所以∠POP′＝eq\f(π,2).設(shè)底面圓的半徑為rcm，則2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.組實(shí)力關(guān)1．“牟合方蓋”(如圖1)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在探討球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖2所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線，其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是()A．a(chǎn)，b B．a(chǎn)，cC．c，b D．b，d答案A解析當(dāng)正視圖和側(cè)視圖均為圓時(shí)，有兩種狀況，一種正視圖為a，此時(shí)俯視圖為b；另一種狀況的正視圖和俯視圖如下圖所示．故選A.2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面積為()A．8 B．4C．4eq\r(3) D．4eq\r(2)答案D解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，則易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2＝4eq\r(2)，故選D.3．(2024·江西贛州摸底)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖2，其中O1A1＝6，OA．48 B．64C．96 D．128答案C解析由題圖2及斜二測(cè)畫法可知原俯視圖為如圖所示的平行四邊形OABC，設(shè)CB與y軸的交點(diǎn)為D，則易知CD＝2，OD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，∴CO＝eq\r(CD2＋OD2)＝6＝OA，∴俯視圖是以6為邊長(zhǎng)的菱形，由三視圖知幾何體為一個(gè)直四棱柱，其高為4，所以該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96.故選C.4.(2024·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()答案D解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.所以該三棱錐的側(cè)視圖可能為D項(xiàng)．5．(2024·河南鄭州質(zhì)檢)某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個(gè)三角形均為直角三角形，則xy的最大值為_____