山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第三講變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案含解析

PAGE15-第三講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)學(xué)問(wèn)梳理學(xué)問(wèn)點(diǎn)一回來(lái)分析(1)相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量取值肯定時(shí)，因變量的取值帶有肯定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種__非確定性關(guān)系__.(2)散點(diǎn)圖：表示具有__相關(guān)__關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖，它可直觀地推斷兩變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示．若這些散點(diǎn)有y隨x增大而增大的趨勢(shì)，則稱兩個(gè)變量__正相關(guān)__；若這些散點(diǎn)有y隨x增大而減小的趨勢(shì)，則稱兩個(gè)變量__負(fù)相關(guān)__.(3)回來(lái)方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝__eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)__，它主要用來(lái)估計(jì)和預(yù)料取值，從而獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．(4)相關(guān)系數(shù)：r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))它主要用于相關(guān)量的顯著性檢驗(yàn)，以衡量它們之間的線性相關(guān)程度．當(dāng)r＞0時(shí)表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r＜0時(shí)表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．|r|越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性__越強(qiáng)__；當(dāng)|r|接近0時(shí)，表明兩個(gè)變量間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，相關(guān)性__越弱__.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)分類變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為X2)＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來(lái)推斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；②計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，查表確定臨界值k0：③假如k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P(K2≥k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)”．重要結(jié)論1．回來(lái)分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性分布時(shí)，求出的線性回來(lái)方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回來(lái)方程毫無(wú)意義．依據(jù)回來(lái)方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系的可信程度的推斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的推斷．依據(jù)K2的值可以推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，并用來(lái)指導(dǎo)科研和實(shí)際生活．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(AC)A．“名師出高徒”可以說(shuō)明為老師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系B．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于0C．事務(wù)x，y關(guān)系越親密，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大D．由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下認(rèn)為物理成果優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成果有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀題組二走進(jìn)教材2．(P97T2)為調(diào)查中學(xué)生近視狀況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有勸服力(C)A．回來(lái)分析 B．均值與方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率[解析]“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷．3．(P81例1)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)覺(jué)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_68__.[解析]由eq\o(x,\s\up6(－))＝30，得eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75.設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.題組三考題再現(xiàn)4．(2024·山東高考)為了探討某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來(lái)直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，已知eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝225，eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝1600，eq\o(b,\s\up6(^))＝4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(C)A．160 B．163C．166 D．170[解析]由題意知eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^))又eq\x\to(x)＝22.5，eq\x\to(y)＝160，因此160＝22.5×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝70，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋70，當(dāng)x＝24時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝4×24＋70＝166，故選C．5．(2024·高考全國(guó)Ⅰ卷)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿足或不滿足的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.6.(2)由題可得K2＝eq\f(100×40×20－30×102,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．[答案](1)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值分別為0.8,0.6(2)有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的推斷——自主練透例1(1)(2024·四川資陽(yáng)模擬)在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的探討中，探討人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖．依據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是(B)A．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%(2)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(A)A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3[解析](1)視察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%，故選B．(2)由相關(guān)系數(shù)的定義及散點(diǎn)圖所表達(dá)的含義，可知r2<r4<0<r3<r1.故選A．名師點(diǎn)撥?推斷兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性回來(lái)直線方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)負(fù)相關(guān)．考點(diǎn)二線性回來(lái)分析——師生共研例2(2024·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xi＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－16\x\to(x)2)≈0.212，eq\r(\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))i－8.52)≈18.439，eq\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？②在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)).eq\r(0.008)≈0.09.[解析](1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)i－8.5,\r(\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))i－8.52))＝eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?2)①由于eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．②剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.eq\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為eq\r(0.008)≈0.09.例3(2024·四川省宜賓市診斷)艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體丟失免疫功能．下表是近八年來(lái)我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計(jì)表：年份20112012201320242024202420242024年份代碼x12345678感染者人數(shù)y(單位：萬(wàn)人)34.338.343.353.857.765.471.885(1)請(qǐng)依據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，畫出這八年我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖；(2)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明：能用線性回來(lái)模型擬合y與x的關(guān)系；(3)建立y關(guān)于x的回來(lái)方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：eq\r(42)≈6.48；eq\i\su(i＝1,8,y)i＝449.6，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝2319.5，eq\r(\i\su(i＝1,8,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝46.2，參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).[解析](1)我國(guó)艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖如圖所示．(2)∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝56.2，∴eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,8,x)iyi－8eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝296.3，eq\r(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,8,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝eq\r(42)×46.2＝299.376，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))≈0.99，故具有強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系．(3)∵b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(296.3,42)≈7.05，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝56.2－7.05×4.5≈24.48，∴y＝7.05x＋24.48，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝7.05×9＋24.48＝87.93.故預(yù)料2024年我國(guó)艾滋病感染累積人數(shù)為87.93萬(wàn)人．[答案](1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)預(yù)料2024年我國(guó)艾滋病感染累積人數(shù)為87.93萬(wàn)人．名師點(diǎn)撥?線性回來(lái)分析問(wèn)題的類型及解題方法(1)求線性回來(lái)方程：①利用公式，求出回來(lái)系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^)).②待定系數(shù)法：利用回來(lái)直線過(guò)樣本點(diǎn)中心求系數(shù)．(2)利用回來(lái)方程進(jìn)行預(yù)料：把回來(lái)直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回來(lái)直線推斷正、負(fù)相關(guān)：確定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).〔變式訓(xùn)練1〕(2024·安徽六校教化探討會(huì)素養(yǎng)測(cè)試)某商場(chǎng)近5個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額如表所示：銷售額x/千萬(wàn)元35679利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元13345(1)畫出散點(diǎn)圖，視察散點(diǎn)圖，說(shuō)明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)關(guān)系；(2)求出利潤(rùn)額y關(guān)于銷售額x的回來(lái)直線方程；(3)當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí)，利用(2)的結(jié)論估計(jì)該商場(chǎng)的利潤(rùn)額(百萬(wàn)元)．eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).[解析](1)散點(diǎn)圖如圖所示：兩個(gè)變量正相關(guān)，且具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)易求eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.2，由公式有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3×2.2＋1×0.2＋0＋1×0.8＋3×1.8,32＋12＋12＋32)＝eq\f(13,20)＝0.65，且eq\o(a,\s\up6(^))＝3.2－0.65×6＝－0.7，則線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x－0.7，(3)當(dāng)x＝4時(shí)，由(1)可求得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.9，即利潤(rùn)額約為1.9百萬(wàn)元．[答案](1)散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；(2)eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x－0.7；(3)1.9百萬(wàn)元．考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)——師生共研例4(2024·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校模擬)已知學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查探討，其中750名同學(xué)常常參與體育熬煉(稱為A類同學(xué))，另外250名同學(xué)不常常參與體育熬煉(稱為B類同學(xué))．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該年級(jí)學(xué)生中共抽查100名同學(xué)，測(cè)得這100名同學(xué)的身高(單位：cm)頻率分布直方圖如圖：(1)以同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間[160,170)的中點(diǎn)值為165)作為代表，計(jì)算這100名學(xué)生身高數(shù)據(jù)的平均值；(2)假如以身高不低于170cm作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生，得到以下列聯(lián)表：身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)主動(dòng)參與體育熬煉40不主動(dòng)參與體育熬煉15總計(jì)100完成上表，并推斷是否有75%的把握認(rèn)為體育熬煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系(K2值精確到0.01)?參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k)0.400.250.150.10k0.7081.3232.0722.706[解析](1)數(shù)據(jù)的平均值為：145×0.03＋155×0.17＋165×0.30＋175×0.30＋185×0.17＋195×0.03＝170(cm)(2)身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)主動(dòng)參與體育熬煉403575不主動(dòng)參與體育熬煉101525總計(jì)5050100K2＝eq\f(10040×15－35×102,75×25×50×50)≈1.33，故有75%把握認(rèn)為體育熬煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系．名師點(diǎn)撥?解獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)兩個(gè)明確：①明確兩類主體．②明確探討的兩個(gè)問(wèn)題．(2)兩個(gè)關(guān)鍵：①精確列出2×2列聯(lián)表：②精確理解K2.留意：查表時(shí)不是查最大允許值，而是先依據(jù)題目要求的百分比找到第一行對(duì)應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對(duì)應(yīng)的k值與求得的K2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p.〔變式訓(xùn)練2〕(2024·湖北十堰調(diào)研)某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2024年元旦期間游客購(gòu)買土特產(chǎn)的狀況，對(duì)2024年元旦期間的90位游客購(gòu)買狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.購(gòu)買金額(元)[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]人數(shù)101520152010(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與性別有關(guān)；不少于60元少于60元合計(jì)男40女18合計(jì)(2)為吸引游客，該超市推出一種實(shí)惠方案，購(gòu)買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為p(每次中獎(jiǎng)互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買金額不少于60元的頻率)，中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元．若游客甲安排購(gòu)買80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．附：參考公式和數(shù)據(jù)：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005[解析](1)2×2列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元合計(jì)男124052女182038合計(jì)306090K2＝eq\f(90×12×20－40×182,30×60×52×38)＝eq\f(1440,247)>5>3.841，因此有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與性別有關(guān)．(2)X可能取值為65,70,75,80，且p＝eq\f(10＋20,90)＝eq\f(1,3)，P(X＝65)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，P(X＝70)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝75)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝80)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，所以X的分布列為X65707580P(X)eq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝65×eq\f(1,27)＋70×eq\f(2,9)＋75×eq\f(4,9)＋80×eq\f(8,27)＝75.MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升非線性回來(lái)問(wèn)題例5(2024·湖北省調(diào)研)數(shù)碼產(chǎn)品早已走進(jìn)千家萬(wàn)戶的生活，為了節(jié)約資源，促進(jìn)資源循環(huán)利用，折舊產(chǎn)品回收行業(yè)得到迅猛發(fā)展，電腦運(yùn)用時(shí)間越長(zhǎng)，回收價(jià)值越低，某二手電腦交易市場(chǎng)對(duì)2024年回收的折舊電腦交易前運(yùn)用的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，在如圖對(duì)運(yùn)用時(shí)間的分組中，將運(yùn)用時(shí)間落入各組的頻率視為頻率．依據(jù)電腦交易市場(chǎng)往年的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖，其中x(單位：年)表示折舊電腦的運(yùn)用時(shí)間，y(單位：百元)表示相應(yīng)的折舊電腦的平均交易價(jià)格．(1)由散點(diǎn)圖推斷，可采納y＝ea＋bx作為該交易市場(chǎng)折舊電腦平均交易價(jià)格與運(yùn)用年限x的回來(lái)方程，若t＝lnyi，eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,t)i，選用如下參考數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回來(lái)方程.eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,10,x)iyieq\i\su(i＝1,10,x)itieq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)5.58.51.9301.479.75385(2)依據(jù)回來(lái)方程和相關(guān)數(shù)據(jù)，并用各時(shí)間組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的值，估算該交易市場(chǎng)收購(gòu)1000臺(tái)折舊電腦所需的費(fèi)用．附：參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，n)，其回來(lái)直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：β＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up6(－))v,\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：e3.25≈26，e2.56≈14，e2.05≈7.8，e1.45≈4.3，e0.85≈2.3.[解析](1)由y＝ea＋bx得lny＝a＋bx，即t＝a＋bx，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iti－10\o(x,\s\up6(－))\o(t,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))－2)＝eq\f(79.75－10×5.5×1.9,385－10×5.52)＝－0.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝1.9－(－0.3)×5.5＝3.55，即t＝－0.3x＋3.55，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.3x＋3.55.(2)依據(jù)頻率分布直方圖對(duì)成交的二手折舊電腦運(yùn)用時(shí)間為(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]上的頻率依次為：0.2,0.36,0.28,0,12,0.04；依據(jù)(1)中的回來(lái)方程，在區(qū)間(0,2]上折舊電腦價(jià)格的預(yù)料值為e3.55－0.3×1＝e3.25≈26，在區(qū)間(2,4]上折舊電腦價(jià)格的預(yù)料值為e3.55－0.3×3＝e2.65≈14，在區(qū)間(4,6]上折舊電腦價(jià)格的預(yù)料值為e3.55－0.3×5＝e2.05≈7.8，在區(qū)間(6,8]上折舊電腦價(jià)格的預(yù)料值為e3.55－0.3×7＝e1.45≈4.3，在區(qū)間(8,10]上折舊電腦價(jià)格的預(yù)料值為e3.55－0.3×9＝e0.85≈2.3，于是，可以預(yù)料該交易市場(chǎng)一臺(tái)折舊電腦交易的平均價(jià)格為：0.2×26＋0.36×14＋0.28×7.8＋0.12×4.3＋0.04×2.3＝13.032(百元)故該交易市場(chǎng)收購(gòu)1000臺(tái)折舊電腦所需的費(fèi)用為：1000×13.032＝1303200(元)．名師點(diǎn)撥?非線性相關(guān)問(wèn)題一般通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)(線性回來(lái)分析)問(wèn)題解決．〔變式訓(xùn)練3〕某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚(yáng)費(fèi)，需了解年宣揚(yáng)費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣揚(yáng)費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－