溫度應(yīng)力問題的基本解法

溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/161

當(dāng)彈性體的溫度變化時，其體積將趨于膨脹和收縮，若外部的約束或內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)要求而使膨脹或收縮不能自由發(fā)生時，結(jié)構(gòu)中就會出現(xiàn)附加的應(yīng)力。這種因溫度變化而引起的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力，或溫度應(yīng)力。忽略變溫對材料性能的影響，為了求得溫度應(yīng)力，需要進(jìn)行兩方面的計算：（1）由問題的初始條件、邊界條件，按熱傳導(dǎo)方程求解彈性體的溫度場，而前后兩個溫度場之差就是彈性體的變溫。（2）按熱彈性力學(xué)的基本方程求解彈性體的溫度應(yīng)力。本章將對這兩方面的計算進(jìn)行簡單的介紹。第六章溫度應(yīng)力問題的基本解法溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/162溫度應(yīng)力問題的基本解法第六章溫度應(yīng)力問題的基本解法§6-4按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題§6-3溫度場的邊界條件§6-2熱傳導(dǎo)微分方程§6-1溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念§6-5位移勢函數(shù)的引用§6-6軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題2021/6/163§6-1溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念1.溫度場：在任一瞬時，彈性體內(nèi)所有各點的溫度值的總體。用T表示。不穩(wěn)定溫度場或非定常溫度場：溫度場的溫度隨時間而變化。即T=T（x，y，z，t）穩(wěn)定溫度場或定常溫度場：溫度場的溫度只是位置坐標(biāo)的函數(shù)。即T=T（x，y，z）平面溫度場：溫度場的溫度只隨平面內(nèi)的兩個位置坐標(biāo)而變。即T=T（x，y，t）2.等溫面：在任一瞬時，連接溫度場內(nèi)溫度相同各點的曲面。顯然，沿著等溫面，溫度不變；沿著等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。T+2△TT+△TTT-△Txoy溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1643.溫度梯度：沿等溫面的法線方向，指向溫度增大方向的矢量。用△T表示，其大小用表示。其中n為等溫面的法線方向。溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為溫度應(yīng)力問題的基本解法取為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量，則有△T（1）2021/6/1654.熱流速度：在單位時間內(nèi)通過等溫面面積S的熱量。用表示。熱流密度：通過等溫面單位面積的熱流速度。用表示，則有溫度應(yīng)力問題的基本解法其大小為(2)2021/6/166溫度應(yīng)力問題的基本解法5.熱傳導(dǎo)基本定理：熱流密度與溫度梯度成正比而方向相反。即(3)由（1）和（3）可見，熱流密度的大小可見，導(dǎo)熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度”。稱為導(dǎo)熱系數(shù)。由（1）、（2）、（3）式得△T2021/6/167熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影可見：熱流密度在任一方向的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向的遞減率。溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/168

熱量平衡原理：在任意一段時間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量，等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量?！?-2熱傳導(dǎo)微分方程xyz

取圖示微小六面體dxdydz。假定該六面體的溫度在dt時間內(nèi)由T升高到。由溫度所積蓄的熱量是，其中是物體的密度，C是單位質(zhì)量的物體升高一度時所需的熱量——比熱容。溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/169溫度應(yīng)力問題的基本解法

在同一段時間dt內(nèi)，由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt，由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此，傳入的凈熱量為將代入可見：由左右兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河缮舷聝擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河汕昂髢擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋阂虼耍瑐魅肓骟w的總凈熱量為：簡記為：2021/6/1610

假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時間、單位體積供熱為W，則該熱源在時間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。根據(jù)熱量平衡原理得：溫度應(yīng)力問題的基本解法化簡后得：記則這就是熱傳導(dǎo)微分方程。2021/6/1611§6-3溫度場的邊值條件

初始條件：邊界條件分四種形式：第一類邊界條件已知物體表面上任意一點在所有瞬時的溫度，即其中Ts是物體表面溫度。第二類邊界條件已知物體表面上任意一點的法向熱流密度，即其中角碼s表示“表面”，角碼n表示法向。溫度應(yīng)力問題的基本解法

為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場，必須已知物體在初瞬時的溫度，即所謂初始條件；同時還必須已知初瞬時以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件。2021/6/1612

第三類邊界條件已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的運流（對流）放熱情況。按照熱量的運流定理，在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度，是和兩者的溫差成正比的，即溫度應(yīng)力問題的基本解法其中Te是周圍介質(zhì)的溫度；稱為運流放熱系數(shù)，或簡稱熱系數(shù)。第四類邊界條件已知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即2021/6/1613§6-4按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題

設(shè)彈性體內(nèi)各點的溫變?yōu)門。對于各向同性體，若不受約束，則彈性體內(nèi)各點的微小長度，都將產(chǎn)生正應(yīng)變（是彈性體的膨脹系數(shù)），這樣，彈性體內(nèi)各點的形變分量為溫度應(yīng)力問題的基本解法

但是，由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束，上述形變并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應(yīng)力，即所謂溫度應(yīng)力。這個溫度應(yīng)力又將由于物體的彈性而引起附加的形變，如虎克定理所示。因此，彈性體總的形變分量是：2021/6/1614對于平面應(yīng)力的變溫問題，上式簡化為溫度應(yīng)力問題的基本解法這就是平面應(yīng)力問題熱彈性力學(xué)的物理方程。2021/6/1615溫度應(yīng)力問題的基本解法將應(yīng)力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為：幾何方程仍然為：2021/6/1616將幾何方程代入物理方程，得用位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量將上式代入不計體力的平衡微分方程溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1617簡化得：這就是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的微分方程。同理，將應(yīng)力分量代入無面力的應(yīng)力邊界條件溫度應(yīng)力問題的基本解法（1）2021/6/1618溫度應(yīng)力問題的基本解法簡化后得：這是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。

位移邊界條件仍然為：

將式(1)、(2)與第二章§2-8中式(1)、(2)對比，可見（2）2021/6/1619代替了體力分量X

及Y，而：則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。代替了面力分量及。

對于溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問題，只須將溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問題的溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1620§6-5位移勢函數(shù)的引用

由上一節(jié)知：在平面應(yīng)力的情況下按位移求解溫度應(yīng)力問題時，須使位移分量u和v滿足微分方程：并在邊界上滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。實際求解時，宜分兩步進(jìn)行：（1）求出上述微分的任意一組特解，它只需滿足微分方程，而不一定要滿足邊界條件。（2）不計變溫T，求出微分方程的一組補充解，使它和特解疊加以后，能滿足邊界條件。溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1621溫度應(yīng)力問題的基本解法

引用一個函數(shù)，將位移特解取為：函數(shù)稱為位移勢函數(shù)。以和分別作為u和v代入微分方程，簡化后得：由于和都是常量，所以?。簳r，滿足微分方程。因此，可以作為微分方程的一組特解。將以及代入位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量表達(dá)式2021/6/1622溫度應(yīng)力問題的基本解法可得相應(yīng)位移特解的應(yīng)力分量是：2021/6/1623

設(shè)，為位移的補充解，則，需滿足齊次微分方程：相應(yīng)于位移補充解的應(yīng)力分量為（注意不計變溫，即T=0）：溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1624總的應(yīng)力分量是：需滿足應(yīng)力邊界條件。在應(yīng)力邊界問題中（沒有位移邊界條件），可以把相應(yīng)于位移補充解的應(yīng)力分量直接用應(yīng)力函數(shù)來表示，即其中的應(yīng)力函數(shù)可以按照應(yīng)力邊界條件的要求來選取。溫度應(yīng)力問題的基本解法

在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的這樣總的位移分量是：需滿足位移邊界條件。2021/6/1625溫度應(yīng)力問題的基本解法例1圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫：其中的T0是常量。若，試求其溫度應(yīng)力。xyoaabb解：位移勢函數(shù)所應(yīng)滿足的微分方程為比較兩邊系數(shù)，得代入上式，得取2021/6/1626將A，B回代，得位移勢函數(shù)于是相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量為為求補充解，取可得所需要的相應(yīng)于位移補充解的應(yīng)力分量：溫度應(yīng)力問題的基本解法因此，總的應(yīng)力分量為邊界條件要求2021/6/1627顯然，后三個條件是滿足的；而第一個條件不能滿足，但由于，可應(yīng)用圣維南原理，把第一個條件變換為靜力等效條件，即，在的邊界上，的主矢量及主矩等于零：將溫度應(yīng)力問題的基本解法代入上式，求得于是矩形板的溫度應(yīng)力為：2021/6/1628§6-6軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題

對于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對稱結(jié)構(gòu)彈性體，若其變溫也是軸對稱的T=T（r），則可簡化為軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題。軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題，宜采用極坐標(biāo)求解。不考慮體積力平面應(yīng)力問題平衡方程

在軸對稱問題中得到簡化，其第二式自然滿足；而第一式成為溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1629溫度應(yīng)力問題的基本解法

幾何方程簡化為

物理方程簡化為

將應(yīng)力用應(yīng)變表示2021/6/1630

將幾何方程代入上式，然后將其代入平衡方程，得按位移求解軸對稱熱應(yīng)力的基本方程：或?qū)懗桑?/p>

積分兩次可得到軸對稱問題位移分量：式中A，B為任意常數(shù)，積分下限取為a。由上式可得應(yīng)力分量：溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1631其中常數(shù)A，B由邊界條件確定。在平面應(yīng)變的情況下，只需在以上各式中將例2設(shè)有一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b。從一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta

，外表面增溫Tb，如圖所示。試求筒內(nèi)無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱應(yīng)力。abTaTb得無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱傳導(dǎo)微分方程為解：首先求溫度場。由熱傳導(dǎo)微分方程溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1632對于軸對稱溫度場有

積分兩次得：或

由邊界條件：求出A，B后回代，得溫度場：溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1633積分后得溫度應(yīng)力問題的基本解法將T代入平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達(dá)式2021/6/1634練習(xí)6.1

圖示矩形薄板中發(fā)生變溫試求溫度應(yīng)力（假定a遠(yuǎn)大于b）xyoaabb解：取可解得所以溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1635由此得取則溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1636所以邊界條件顯然滿足由即溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1637得而邊界條件恒成立。故溫度應(yīng)力問題的基本解法2021/6/1638練習(xí)6.2

已知半徑為b的均質(zhì)圓盤，置于等溫剛性套箍內(nèi)，圓盤和套箍由相同的材料制成，設(shè)圓盤按如下規(guī)律加熱套箍