必要條件與充分條件(二)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2.1必要條件與充分條件(二)讀書使人充實(shí),討論使人機(jī)智,筆記使人準(zhǔn)確,讀史使人明智，讀詩使人靈秀,數(shù)學(xué)使人周密,科學(xué)使人深刻,倫理使人莊重,邏輯修辭使人善辯。——(英國)培根知識(shí)回顧:一個(gè)命題中,其中p是條件,q是結(jié)論,如果p?q(條件?結(jié)論),就稱“p是q的充分條件”；如果q?p(結(jié)論?條件),就稱“p是q的必要條件”。思考討論:勾股定理:如果一個(gè)三角形是直角三角形,那么它的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理逆定理:如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方.那么這個(gè)三角形是直角三角形.根據(jù)上面兩個(gè)定理,條件“三角形是直角三角形”是結(jié)論“兩邊的平方和等于第三邊的平方”的什么條件？由原定理:“三角形是直角三角形”?“兩邊的平方和等于第三邊的平方”

所以條件“三角形是直角三角形”是結(jié)論“兩邊的平方和等于第三邊的平方”的充分條件；

又由逆定理:“兩邊的平方和等于第三邊的平方”?“三角形是直角三角形”所以條件“三角形是直角三角形”是結(jié)論“兩邊的平方和等于第三邊的平方”的必要條件.一般的,如果p?q,且q?p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱充要條件.①命題中p是條件,q是結(jié)論,如果p?q(條件?結(jié)論),并且q?p(結(jié)論?條件),就稱“p是q的充要條件”這時(shí)可以記作p?q,即p與q等價(jià).如:“實(shí)數(shù)|x|<1”是“實(shí)數(shù)-1<x<1”的充要條件,即|x|<1?-1<x<1.②一個(gè)命題的條件分為:“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”四種,大家在判斷時(shí),力爭準(zhǔn)確表述。如:“三角形是直角三角形”是“一邊的中線等于該邊長的一半”的什么條件？“x>2”是“x>0”的什么條件？“三角形是直角三角形”是“一邊的中線等于該邊長的一半”的充要條件；“x>2”是“x>0”的充分不必要條件.牢記下面結(jié)論一般地，對(duì)于命題：如果p,那么q(1)若p?q且p?q，則p是q的充分不必要條件(2)若p?q且p?q，則p是q的必要不充分條件(3)若p?q且p?q,即p?q，則p是q的充要條件(4)若p?q且p?q，則p是q的既不充分也不必要條件例3:在下列命題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:A

B,q:A∩B=A；(2)p:a=b,q:|a|=|b|；(3)p:四邊形的對(duì)角線相等,q:四邊形是平行四邊形.解:(1)因?yàn)椤癆

B?A∩B=A”是真命題,“A∩B=A?A

B”也是真命題,所以p是q的充要條件；(2)因?yàn)椤癮=b?|a|=|b|”是真命題,“|a|=|b|?a=b”是假命題,所以p是q的充分不必要條件；(3)因?yàn)椤八倪呅蔚膶?duì)角線相等?四邊形是平行四邊形”是假命題,“四邊形是平行四邊形?四邊形的對(duì)角線相等”也是假命題,所以p是q的既不充分也不必要條件.思考討論(綜合練習(xí)):1、在下列命題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:c<0,q:一元二次方程x2-2x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)已知?ABC的三邊為a,b,c,

p:a2+b2+c2=ab+bc+ca,q:?ABC是等邊三角形.

思考討論(綜合練習(xí)):2.求方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解的充要條件.思考討論(綜合練習(xí)):2.求方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解的充要條件.當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)方程的兩解為x1,x2,顯然方程的解不為0,所以方程至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解

綜上:a≤1,即方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解的充要條件是a≤1方法小結(jié):(1)對(duì)于一個(gè)命題“若p,則q”,利用“p?q”和“q?p”真假性，判斷p是q的什么條件,一般注意先將p和q分別進(jìn)行運(yùn)算、化簡,再做判斷；(2)以往我們解答數(shù)學(xué)問題,都是找問題成立的充要條件.探究點(diǎn)一充要條件的判斷[例1]判斷下列各題,p是不是q的充要條件?(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:a>b;解:(1)在△ABC中,顯然有∠A>∠B?a>b,所以p是q的充要條件.(2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;解:(2)若a2+b2=0,則a=b=0,即p?q;若a=b=0,則a2+b2=0,即q?p,故p?q,所以p是q的充要條件.(3)p:|x|>3,q:x2>9.解:(3)由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要條件.方法總結(jié)判斷p是不是q的充要條件,主要是判斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立.若p?q成立,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;若q?p成立,則p是q的必要條件,同時(shí)q是p的充分條件.[針對(duì)訓(xùn)練](多選題)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題中是真命題的是(

)A.“a=b”是“ac=bc”的充要條件B.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件C.“a>b”是“a2>b2”的充要條件D.“a<5”是“a<3”的必要不充分條件√√解析:因?yàn)槿鬭=b,則ac=bc,但當(dāng)c=0時(shí),ac=bca=b,故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件,故A為假命題;因?yàn)閍+5是無理數(shù)?a是無理數(shù),a是無理數(shù)?a+5是無理數(shù),故“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件,故B為真命題;因?yàn)閍>b不一定得到a2>b2,a2>b2也不一定得到a>b,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件,故C為假命題;因?yàn)閧a|a<3}?{a|a<5},故“a<5”是“a<3”的必要不充分條件,故D為真命題.故選B,D.探究點(diǎn)二充要條件的證明[例2]求證:方程x2+(2k-1)x+k2=0的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k<-2.②充分性:當(dāng)k<-2時(shí),Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)方程x2+(2k-1)x+k2=0的兩個(gè)根為x1,x2,則(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k=k(k+2)>0.又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0,所以x1-1>0,x2-1>0,所以x1>1,x2>1.綜上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k<-2.方法總結(jié)一般地,證明“p成立的充要條件為q”,在證充分性時(shí)應(yīng)以q為“已知條件”,p是該步中要證明的“結(jié)論”,即q?p;證明必要性時(shí)則是以p為“已知條件”,q為該步中要證明的“結(jié)論”,即p?q.[針對(duì)訓(xùn)練]已知ab≠0,求證:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要條件是a-b=0.證明:①充分性:因?yàn)閍-b=0,而a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2),所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立;探究點(diǎn)三充要條件的應(yīng)用[例3]已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[變式探究1]若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[變式探究2]若本例中p,q不變,是否存在實(shí)數(shù)m使p是q的充要條件?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.方法總結(jié)應(yīng)用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.「當(dāng)堂檢測」1.“x=0”是“x2=0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√2.設(shè)x,y都是實(shí)數(shù),則“x>2且y>3”是“x>2或y>3”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√3.以下選項(xiàng)中,p是q的充要條件的是(

)A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5B.p:a>2,b<2,q:a>bC.p:四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分,q:四邊形是正方形D.p:a≠0,q:關(guān)于x的方程ax=1有唯一解√4.“函數(shù)y=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱”的充要條件是

.

m=-2「備用例題」[例1]已知x∈R,則“x≠0”是“x+|x|>0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√解析:由x+|x|>0可解得x>0,因?yàn)閤≠0x>0,但x>0?x≠0,所以“x≠0”是“x>0”的必要不充分條件,故“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分條件.故選B.[例2]已知a,b都是實(shí)數(shù),那么“|a|>|b|”是“a>|b|”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:若|a|>|b|,取a=-2,b=1,則a>|b|不成立,即|a|>|b|a>|b|;若a>|b|,則|a|≥a>|b|,即|a|>|b|,所以|a|>|b|?a>|b|.因此“|a|>|b|”是“a>|b|”的必要不充分條件.故選B.√[例3]“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:由題意,若x為整數(shù),則2x+1為整數(shù),故充分性成立;當(dāng)x=時(shí),2x+1為整數(shù),但x不為整數(shù),故必要性不成立.所以“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件.故選A.√[例4](多選題)若“-1<x<2”是“-2<x<a”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的值可以是(

)A.1B.2C.3 D.4解析:由題意{x|-1<x<2}?{x|-2<x<a}