山東省青島市黃島區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題_第1頁
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20242025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)2024.11本試卷共4頁,19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上,并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,請將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題.每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合交集的運(yùn)算定義即可得結(jié)果.【詳解】故選:D2.下列各組函數(shù)與表示同一函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷.【詳解】解:的定義域?yàn)镽,,解析式不同,故不是同一函數(shù),故A錯誤;B.的定義域?yàn)?,兩函?shù)定義域不同,故B錯誤;的定義域?yàn)镽,故C正確;的定義域?yàn)?,故D錯誤.故選:C3.下列命題為真命題的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【答案】B【解析】【分析】通過舉反例排除A,C兩項(xiàng),利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理,可以排除D項(xiàng),證得B項(xiàng).【詳解】對于A,當(dāng)時,顯然不成立,故A錯誤;對于B,由,利用不等式的性質(zhì)易得,故B正確;對于C,當(dāng)時,取,則,故C錯誤;對于D,當(dāng)時,,由不等式的性質(zhì),可得,故D錯誤.故選:B.4.在周長為定值的扇形中,面積最大時扇形的半徑為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用半徑表示出面積,結(jié)合函數(shù)知識得結(jié)論.【詳解】設(shè)扇形半徑為,則扇形面積為,所以時,取得最大值.故選:C5.命題,,則命題的否定形式是()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結(jié)論.【詳解】命題,,為全稱量詞命題,則該命題的否定為:,.故選:C.6.某中學(xué)的學(xué)生積極參加美育活動,其中有的學(xué)生喜歡美術(shù)或音樂,的學(xué)生喜歡美術(shù),的學(xué)生喜歡音樂,則該中學(xué)既喜歡美術(shù)又喜歡音樂的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集的定義求解.【詳解】由題意既喜歡美術(shù)又喜歡音樂的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為:,故選:A7.“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用冪函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】先判定充分性,若在上單調(diào)遞減,由冪函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,則,滿足充分性;再判定必要性,可舉反例,若,則單調(diào)遞減,此時的定義域?yàn)椋藭r在上單調(diào)遞減,不滿足必要性,綜上“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”的充分不必要條件.故選:B8.用表示,中的最大者,用表示,中的最小者,若函數(shù)在上有最大值,則()A.是奇函數(shù) B.在上最大值是2C.的值域是 D.的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象,進(jìn)而得到函數(shù)hx的圖象,利用圖象分別判斷四個選項(xiàng)即可.【詳解】hx定義域,在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)的圖象,取與的圖象中較高的曲線段,再與的圖象對比取較低的曲線段,得到函數(shù)hx的圖象,如圖所示,因?yàn)閳D象不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,所以hx不是奇函數(shù),故A因?yàn)閔x在上有最大值,所以,故D正確,且hx在上最大值是1,故B錯誤;由圖象知hx的值域是,故C錯誤;故選:D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在研究函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)時,通常先畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)性質(zhì).二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題.每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,選錯的得0分.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義和單調(diào)性概念判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是,所以函數(shù)無奇偶性;函數(shù)的定義域是,又,所以函數(shù)為奇函數(shù);函數(shù)的定義域?yàn)?,且,所以函?shù)為偶函數(shù),又因?yàn)闀r,在上單調(diào)遞增;函數(shù)的定義域?yàn)椋遥院瘮?shù)為偶函數(shù),在上單調(diào)遞增.故選:BC.10.定義,則()A.B.C.D.若,都是正數(shù),,則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行去體驗(yàn)判斷AC,用新定義轉(zhuǎn)化為結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷B,用新定義轉(zhuǎn)化后,利用基本不等式判斷D.詳解】選項(xiàng)A,,只有時,兩者才相等,A錯;選項(xiàng)B,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,B正確;選項(xiàng)C,,,C錯;選項(xiàng)D,,則,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,D正確.故選:BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查新定義,解題關(guān)鍵是利用新定義把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一是直接利用新定義進(jìn)行運(yùn)算,二是進(jìn)行轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識求解,轉(zhuǎn)化為基本不等式問題求解等.11.定義域?yàn)镽的函數(shù),同時滿足:①當(dāng)時,;②,當(dāng)時,;③.則()A.是奇函數(shù)B.在1,2上單調(diào)遞減C.函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)1,0D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性,依次分析選項(xiàng)是否正確,即可得答案.【詳解】對于A,因?yàn)榈亩x域?yàn)镽,且當(dāng)時有,即,所以是奇函數(shù),故A正確;對于B、C,因?yàn)?,所以關(guān)于對稱,故C錯誤,因?yàn)閷?,?dāng)即時,,即,結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得,所以當(dāng)時,為增函數(shù),結(jié)合關(guān)于對稱的條件可知,當(dāng)時,為減函數(shù),故B正確;對于D,結(jié)合①,令可得,所以,因?yàn)殛P(guān)于對稱,所以,結(jié)合③,因?yàn)?,令可得結(jié)合奇偶性可得,所以,所以,解得,所以,即,故D正確,故選:ABD.三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知集合,則實(shí)數(shù)的取值集合為______.【答案】【解析】【分析】利用集合間基本關(guān)系及集合元素的互異性計算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,則,所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為:13.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),當(dāng)時,.則當(dāng)時,函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解.【詳解】時,,,所以.故答案為:.14.已知,,,,,,,是在集合中的不同數(shù),則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】記,根據(jù)條件將所求式子表示為,先分析的可行性,然后確定出最小值即可.【詳解】不妨設(shè),因?yàn)?,所以,所以,若要值最小,則,下面分析的可能性:當(dāng)時,則四個數(shù)全為偶數(shù),或全為奇數(shù),或兩奇兩偶,若四個數(shù)全為偶數(shù),則和的結(jié)果為,不滿足要求;若四個數(shù)全為奇數(shù),則和的結(jié)果為,不滿足要求;若四個數(shù)兩奇兩偶,其中兩個奇數(shù)之和可能,兩個偶數(shù)之和可能為,此時兩奇兩偶的四個數(shù)之和不可能等于,所以不成立,所以當(dāng)時,此時取值最小,最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個,一方面是對所給表達(dá)式能利用已知關(guān)系進(jìn)行化簡變形,將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量;另一方面是對于二次函數(shù)取最小值的可行性分析,此處無法直接確定成立.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合,.(1)若,求;(2)若“”是“”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或.(2)【解析】【分析】(1)確定集合,由交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可;(2)由條件確定,構(gòu)造不等式組求解即可.【小問1詳解】由可得:A=x2≤x≤3所以或,又,所以或.【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件,所以,所以解得:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是16.若關(guān)于的不等式的解集是.(1)求,;(2)求不等式的解集.【答案】(1),.(2)【解析】【分析】(1)由題意可知,為方程的兩根,且,由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.(2)將的值代入不等式,解不等式即可.【小問1詳解】由題意可知,為方程的兩根,且,所以,解得:.【小問2詳解】由(1)可得不等式為,所以,因?yàn)?,所以,解得?所以不等式的解集為:.17.如圖,居民小區(qū)要建一座八邊形休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇,造價為;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪,造價為;再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為.設(shè)總造價為(單位:元),長為(單位:m)(1)請用表示的長;(2)請寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(3)若總造價不超過138000元,求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)設(shè),根據(jù)十字形地域的面積得出的關(guān)系式,即可求解;(2)由(1)可求得,從而可求出各個圖形的的面積,將花壇、地坪、草坪的各個區(qū)域造價相加,求得總造價,即可求解;.(3)根據(jù)不等式求解可求得的取值范圍.【小問1詳解】設(shè),因?yàn)閮蓚€相同的矩形和構(gòu)成的面積為,所以可得,解之可得,且所以【小問2詳解】由(1)知,所以矩形的面積為正方形為,所以.【小問3詳解】由(2)知,若總造價不超過138000元,即化簡可得,即,解之可得,所以的取值范圍.18.已知函數(shù),.(1)若,試判斷的單調(diào)性并用定義法證明;(2)若,求函數(shù)的最大值的表達(dá)式.【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增;(2)【解析】【分析】(1)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性;(2)先化簡函數(shù),再利用單調(diào)性分別求在區(qū)間和上的最大值,取較大者即可.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,需對區(qū)間中的分類討論.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明如下:若,因?yàn)?,所以,,且,?因?yàn)?,且,所以?于是,即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增;【小問2詳解】若,則,先判斷在上的單調(diào)性,由于,當(dāng),且時,,,所以,即,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng),且時,,,所以,即,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;綜上,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.①當(dāng)時,由(1)知,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以;②當(dāng)時,(i)若,則在上單調(diào)遞增,所以,所以函數(shù)的最大值;(ii)若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以函數(shù)的最大值;(iii)若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以函數(shù)的最大值;綜上.19.定義:表示實(shí)數(shù)到與它最近整數(shù)的距離.(1)求,,的值;(2)求證:;(3)給定正整數(shù),函數(shù),用表示,中的最小者.(?。┤魹槠鏀?shù),求證:的最大值為;(ⅱ)若為偶數(shù),求的最大值.【答案】(1);;.(2)證明見解析(3)(?。┳C明見解析(ⅱ).【解析】【分析】(1)對于第一問,根據(jù)的定義,直接計算實(shí)數(shù)到與其最近整數(shù)的距離.(2)第二問要證明,需要根據(jù)整數(shù)與的關(guān)系,結(jié)合定義來證明.(3)第三問中,對于為奇數(shù)和偶數(shù)的情況分別討論的最大值.需要分析和的取值情況,根據(jù)的定義來求解.【小問1詳解】對于,到最近整數(shù)的距離為,所以.對于,到最近整數(shù)的距離為,所以.對于,到最近整數(shù)的距離為,所以.【小問2詳解】設(shè),其

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