《正態(tài)分布在高考中的應用研究》4500字（論文）

第1章引言在概率論中正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，又常常被稱作為常態(tài)分布，早在十七世紀三十年代時，德國的天文學家和數(shù)學家Moivre在求解二項分布的漸進公式時首次提出了正態(tài)分布的概念，在后來，數(shù)學家Gauss率先將正態(tài)分布應用于天文學的研究中，對此也作出了很多的貢獻，故正態(tài)分布又有“高斯分布”之稱．正態(tài)分布不僅僅在數(shù)學中有很重要的地位，并且在生活中也有很廣泛的應用．在當今社會，科學實驗或者生產(chǎn)生活中很多隨機變量的分布都可以近似的通過正態(tài)分布來描述．比如，在農(nóng)學中，觀察分析同一種植物的身長、體重以及含水量等指標，通過建立正態(tài)分布模型來得出最適合該植物生長的溫度、水量、陽光等條件，以便于農(nóng)戶更好地種植此種植物，從而達到收益最大化．在醫(yī)學中，通過觀察分析同種群體的身高、血紅蛋白量、紅細胞數(shù)等，建立正態(tài)分布模型來得出群體在健康水平下的數(shù)據(jù)區(qū)間，以便于醫(yī)生在看診中更直觀的判斷出該患者的某一指標是否處于健康水平．近年來，正態(tài)分布受到了國內(nèi)外廣泛關注，相關專業(yè)人員對關于正態(tài)分布在高考中的應用進行了更進一步地調(diào)查研究，明確了正態(tài)分布在未來高考中熱點趨勢．對此，下面來探討正態(tài)分布在高考中的應用，以便于高三考生們能夠更有針對性，更全面的掌握復習正態(tài)分布．第2章正態(tài)分布的基本理論2.1正態(tài)分布的定義定義2.1若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為：其中實數(shù)和為參數(shù)．我們稱的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線[1]．定義2.2如果對于任何實數(shù)，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．定義2.3在正態(tài)分布中，當，時，此時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，常記作，如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記作[2]．2.2正態(tài)分布的圖形與圖形特征圖2.1正態(tài)分布概率密度曲線正態(tài)曲線的特點如下：曲線是單峰的，它關于直線對稱；曲線位于軸上方，與軸不相交；曲線在處達到峰值；曲線與軸之間的面積為1；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散[3]．圖2.2兩種參數(shù)不同情況下的正態(tài)分布概率密度曲線定理2.1原則[4,5]：若，則對于任何實數(shù)，，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍概率越大．特別的有，，落在以外的概率小于，在實際生活中基本可以把區(qū)間看作是隨機變量可能取值的空間．第3章正態(tài)分布的應用3.1求概率值的應用正態(tài)分布在概率中占有十分重要的地位，在近幾年的高考中，正態(tài)分布在概率中考查的比重較大，下面選了幾道較為典型的例題來重點說明一下高考對正態(tài)分布考查的側(cè)重點．例3.1(2007年全國二卷第14題)在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為0.4，則在內(nèi)取值的概率為：解：，，=0.8．分析：本道題較為基礎，由題意可知道，根據(jù)圖形特征第二條可以知道在和的概率是相等的，本題要求在的概率，就可以轉(zhuǎn)化為在的概率加上在的概率，也就是兩倍的在的概率．例3.2（2015年湖南卷第7題）在如圖所示的正方形中隨機投擲個點，則落入陰影部分（曲線為正態(tài)分布的密度曲線）的點的個數(shù)估計值（）[6]．圖3.1附：若,則，．A．2386B．2718C．3413D．4772解：由知，，所以，故．所以落在陰影部分中點的個數(shù)估計值為（古典概型），所以.分析：落入在陰影部分點的個數(shù)的估計值可以近似看作是陰影部分的面積，由題意可以知道，，題目里的附帶信息給出了，也就是，在和上的概率是相等的，所以在上的概率就等于在上概率的一半．例3.3（2015年山東卷第8題）已知某批零件的長度誤差服從正態(tài)分布,從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）[7]．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，．解：==．分析：題目中的長度誤差服從的是正態(tài)分布，那這道題就可以用正態(tài)分布來解答，重點考察了正態(tài)分布的圖形特征，由題意及其附帶信息我們可以得到有關于和的信息，，，，，如果想得到在上的概率，可以用在上的概率減去在的概率，得出的概率是在的概率和在上的概率，而它們兩個是相等的，最后就可以得到在的概率．例3.4（2014年全國一卷第18題）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果的如下頻率分布直方圖[8]：圖3.2產(chǎn)品質(zhì)量指標值測量結果的頻率分布直方圖（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件中產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結果，求．附：,若,則=0.6826，=0.9544．解：（1）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為=200，+，（2）（i）由（1）知，，從而，（ii）由（i）知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率為0.6826，依題意知,所以．分析：本題的第一問是通過頻率直方圖來得出產(chǎn)品質(zhì)量指標值關于樣本的平均數(shù)及方差，由上述結論可以得到正態(tài)分布的和，知道和后，通過原則可以直接求出第二問中的，也可以求出第二問中的．前面的這幾道例題，都是正態(tài)分布的簡單應用，通過正態(tài)分布求解概率值，其中用到最多的就是正態(tài)分布的圖形對稱性，還有原則，所以正態(tài)分布的圖形特征和原則在高考中是很重要的考點．3.2正態(tài)分布在工程問題中的應用在高考中不僅會單純的考查正態(tài)分布的知識點，也會把正態(tài)分布融入進工程問題來考查，有助于高三考生更加深層次的理解正態(tài)分布，使正態(tài)分布變得更加“鮮活”．例3．5（2017年全國一卷第19題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸，根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布[9].（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ii）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的個零件的尺寸：9．9510．129．969．9610．019．929．9810．0410．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經(jīng)計算的,,其中為抽取的第個零件的尺寸，=1,2，…,16，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計（精確到0．01）附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，解：(1)零件尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故，．（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常的話，那么一個零件尺寸在之外的概率是0.0026，在一天內(nèi)抽取了16個零件，零件尺寸出現(xiàn)在之外的概率則只有0.0408，發(fā)生的幾率非常小，所以只要一發(fā)生這種狀況，我們就可以認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中出現(xiàn)了異常的情況，則需要對當天的生產(chǎn)過程進行安全檢查，可見我們上述討論解決的方法是合理的．（ii）由=9.97，，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為10.02．，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為．分析：本題第一問通過原則可以得出和的值，然后通過這些數(shù)值可以求得期望值．第二問中的（i）也是通過原則來分析數(shù)據(jù)，判斷生產(chǎn)過程是否合理．第二問中的（ii）通過表格算出來的樣本平均數(shù)的樣本方差，再次利用原則來計算和的估計值．3.3關于正態(tài)分布在實際生活中的應用上面我們分析探討了正態(tài)分布求概率值的問題，也討論并分析了正態(tài)分布在工程問題中的應用，正態(tài)分布在實際生活的應用也很廣泛，下面我們可以來看一下在實際生活中正態(tài)分布的應用．例3.6（2013年湖北卷第20題）假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過的概率為[10]．（1）求的值；參考數(shù)據(jù)：若，有=0.6826，=0.9544，=0.9974．（2）某客運公司用兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務，每車往返一次，兩種客車的載客量分別為36和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為輛和輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求型車不多于型車7輛，若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營地成本最小，那么應該配備和型車各多少輛？解：（1）由于隨機變量服從正態(tài)分布，故有,，=0.9544,所以.（2）設型、型車輛的數(shù)量分別為輛，則相應的營運成本為依題意，還需要滿足：，，．由（1）知，，故等價于．于是問題等價于求滿足約束條件且使目標函數(shù)達到最小的．作可行域如圖陰影部分所示，圖3.3滿足約束條件的可行域可行域的三個頂點坐標分別為，，．由圖可知，當直線經(jīng)過可行域的點P時，直線在軸上截距最小.即取得最小值．故應配備型車5輛，型車12輛．分析：本題題目中已經(jīng)給出正態(tài)分布，通過題目可以得知，，第一問要求得當不超過900時的概率為多少，用到了正態(tài)分布的對稱性，在上的概率等于在加上在上的概率．第二問考察到了最值問題，還有數(shù)形結合思想，最終通過計算和畫圖得出A型車和B型車各多少輛，才能保證營運成本最?。颜龖B(tài)分布和實際生活相結合，運用數(shù)學知識解決實際問題，使理論更好的與實際相結合，也體現(xiàn)了正態(tài)分布不僅在數(shù)學概率中，同時也在實際生活中有著十分重要的作用．結論

文章以正態(tài)分布的定義定理為出發(fā)點，闡述了正態(tài)分布的圖形及其圖形特征,最后結合近幾年的高考真題來進一步的分析近年來正態(tài)分布在高考中的熱點趨勢，并對這些高考真題進行分類歸納總結，更加清晰地把正態(tài)分布的考點重點列舉出來，在這些真題中高三考生能夠有針對性地來復習鞏固加強有關正態(tài)分布方面的知識，同時也為高三考生預備高考提供了一定的參考價值．參考文獻[1]柳靜.正態(tài)分布的性質(zhì)及應用[J].課程教育研究，2018（44）:111．[2]李勇,等.數(shù)學選修2-3[M].北京：人民教育出版社,2005:70-74．[3]王漢瀾.教育測量學[M].鄭州：河南大學出版社．[4]石琳,張景.概率論與數(shù)理統(tǒng)計—理論與演練[M].成都:西南交通大學出版社,2013．[5]韓旭里,謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:北京大學出版社,2018．[6]岳建良,李軍民.離散型隨機變量及其分布列[J].中學數(shù)學教學參考,2016(Z1):81-86．[7]李海霞