《極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究》9900字（論文）

極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u1．緒論 ．緒論1．1研究背景在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，極限思想既是一種解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)思想，也是解決問題十分有效的思維方式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用這種思維方式在解決問題中的重要程度可見一斑．眾所周知的劉徽在計(jì)算圓周率時(shí)使用的割圓術(shù)，將圓分割成正多邊形，進(jìn)行多次分割，分割越來越細(xì)，當(dāng)正多邊形的邊越來越多，則其形狀和面積都會(huì)越來越近似于圓，得到的數(shù)據(jù)也就越準(zhǔn)確．這就是最早的、最典型、最原始的極限概念．從古到今在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中，極限思想的形成與發(fā)展可謂是源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．回想一下在小學(xué)的時(shí)候我們就在無意識(shí)的接觸到了極限思想，當(dāng)我們開始學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)單的圖形—點(diǎn)和線時(shí)，學(xué)習(xí)了直線和射線的概念．我們了解到線段的兩端向外無限延伸得到的就是數(shù)學(xué)上的直線，把線段一端無限延長(zhǎng)形成的圖形為射線．在學(xué)習(xí)線段、直線、射線時(shí)認(rèn)識(shí)了“無限延長(zhǎng)”這就把我們的認(rèn)知從有限過渡到了無限．還有在學(xué)習(xí)小數(shù)的除法時(shí)，有時(shí)能夠除盡，有時(shí)也遇到除不盡的情況．就比如小學(xué)最簡(jiǎn)單的十以內(nèi)的除法，因?yàn)槌槐M所以商的小數(shù)部分有無窮多個(gè)，這就能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)中的無限．再后來通過初中對(duì)有理數(shù)和無理數(shù)的學(xué)習(xí)，更加具體有效的讓我們理解了有限和無限之間的關(guān)系．進(jìn)入高中階段，我們?cè)诶斫鈽O限的基礎(chǔ)上不斷的運(yùn)用極限思想解決數(shù)學(xué)問題．例如：在描述這個(gè)集合時(shí)，由于集合里面的元素個(gè)數(shù)是無限的我們不能用列舉法一一把所有元素列舉出來，所以我們運(yùn)用描述法來表示這個(gè)集合．關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列等運(yùn)用中，在函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等也運(yùn)用了極限思想．由此可知“無限”“極限思想”運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無處不在．本文第四章對(duì)極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用進(jìn)行了具體的描述，希望這能對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)極限有所幫助．在進(jìn)入大學(xué)后很多專業(yè)都有關(guān)于極限思想的學(xué)習(xí)，并且是大學(xué)學(xué)習(xí)非常重要的內(nèi)容．其實(shí)在我們學(xué)習(xí)過程中，能夠發(fā)現(xiàn)很多知識(shí)點(diǎn)在學(xué)過后很容易忘記．高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容在高考完幾個(gè)月就會(huì)忘記，但是在高中所學(xué)習(xí)的解題方式或思想方法卻很難忘記．而極限思想就是一種對(duì)學(xué)習(xí)有極大影響的思維方式，在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中尤為重要．所以當(dāng)代教育工作者在教學(xué)過程中更應(yīng)該重視學(xué)生思維的形成，使其在學(xué)習(xí)的過程中體會(huì)并靈活運(yùn)用邏輯思維能力，并運(yùn)用到生活中去，進(jìn)而來幫助學(xué)生更簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．1．2研究的意義1．2．1理論意義“讓數(shù)學(xué)變成一門科學(xué)，讓數(shù)學(xué)在理論上和實(shí)踐運(yùn)用上都結(jié)合并且發(fā)展到科學(xué)領(lǐng)域，作為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、深度的、富有邏輯性的理念，貫穿到完整的學(xué)科中去，如果一種思想一致持續(xù)運(yùn)用，那么說明已經(jīng)去其糟粕，是科學(xué)錘煉后的精華．不難發(fā)現(xiàn)，我們的數(shù)學(xué)學(xué)科中如果缺少了極限思想，幾乎就是一片空白了．我們應(yīng)該明白極限的思想對(duì)數(shù)學(xué)的重要性，它不可取代，脫離了這種思想的數(shù)學(xué)近于一無所有．”REF_Ref16522\r\h[1]我們可以看到極限思想在數(shù)學(xué)思維中不可或缺的重要位置．在現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程中進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)思想教學(xué)不僅可以強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，還能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，使得數(shù)學(xué)教育效率更高，甚至有事半功倍的效果．本文通過分析極限思想在中學(xué)的數(shù)學(xué)教育中的運(yùn)用情況，讓人們體會(huì)到極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性．從而改變?nèi)藗儗?duì)極限思想的認(rèn)識(shí)，使教師在教學(xué)中更加重視極限思想的培養(yǎng)，進(jìn)而來幫助學(xué)生更充分的理解極限思想和運(yùn)用極限思想．1．2．2現(xiàn)實(shí)意義從教育教學(xué)的角度來講給教師更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)提供參考．?dāng)?shù)學(xué)課程不僅要符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，還要遵循青少年身心發(fā)展的規(guī)律．老師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)正確認(rèn)識(shí)老師和學(xué)生的關(guān)系和教師的職責(zé)，老師是學(xué)習(xí)的引路人，不可越俎代庖，采用不恰當(dāng)?shù)慕逃绞綄?dǎo)致學(xué)生的積極性降低．教育者要從學(xué)生已經(jīng)掌握的經(jīng)知識(shí)出發(fā)，讓受教育親自體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生過程，抓住重點(diǎn)，自主構(gòu)建屬于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)所能接受的教學(xué)模式．本文通過探究中學(xué)數(shù)學(xué)中極限思想的應(yīng)用，初步了解極限思想給數(shù)學(xué)帶來的更多解題思路，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)過程中存在的極限思想，給教師更好的進(jìn)行極限思想的教學(xué)提供參考．從科學(xué)研究的角度來講極限思想是微積分建立的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)家研究微積分的基本手段．本文通過探究中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于極限思想的教育和運(yùn)用，如在函數(shù)中的應(yīng)用、在三角函數(shù)中的應(yīng)用、以及幾何題目等方面的運(yùn)用，從而論證該思想在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要性，由此來說明在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的極限思想是非常重要的．REF_Ref16633\r\h[2]1．3極限思想的研究現(xiàn)狀在本課題的研究中，陳中華認(rèn)為極限思想是一種使學(xué)生能簡(jiǎn)單、快速解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用，同時(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展史中也有重要地位．他主要介紹了，在數(shù)學(xué)解題時(shí)我們應(yīng)該如何運(yùn)用極限思想，和極限思想在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用．陶振乾教授則是從數(shù)學(xué)文化的角度來探究極限概念的形成過程，分析了在高中課程中是如何設(shè)置極限這一內(nèi)容的，還對(duì)極限思想蘊(yùn)涵的文化性進(jìn)行了剖析，給現(xiàn)代教育教學(xué)提出了很多優(yōu)秀的建議．這些建議給中學(xué)數(shù)學(xué)教師和學(xué)生帶來了幫助．在西方國(guó)家，極限概念的形成時(shí)間比較早，經(jīng)歷了一系列不同階段的摸索與探析，發(fā)展成為一套嚴(yán)謹(jǐn)、有規(guī)格的形式體系，并且設(shè)置了特有的符號(hào)，演化出成熟的使用規(guī)范．張雪通過類比法來探究運(yùn)用常規(guī)方法解題和運(yùn)用極限思想解題之間的區(qū)別，然后再利用極限思想解決函數(shù)、數(shù)列、不等式等問題，讓人們感受運(yùn)用極限思想解題的簡(jiǎn)單、快捷．王智勇、王春秀為了能完成培養(yǎng)專門技術(shù)性人才的計(jì)劃，花費(fèi)相當(dāng)精力專門研究了極限思想的定義及其特點(diǎn)、運(yùn)用和相關(guān)評(píng)價(jià)．他們的研究涵蓋了從古代劉徽的割圓術(shù)到現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及科研項(xiàng)目中關(guān)于該思想的了解和應(yīng)用，探究出了學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的提出和思維過程中如何運(yùn)用極限思想的路線圖．2．極限思想的發(fā)展歷程2．1極限思想的萌芽極限思想的由來類似于多數(shù)事物，主要是來自人類在歷史進(jìn)程中的社會(huì)和生活經(jīng)驗(yàn)，由于生活中出現(xiàn)許多無窮的事物而產(chǎn)生的．溯其根源，大概能追溯到古希臘的“窮竭法”，這是現(xiàn)有資料中關(guān)于極限思想的最早體現(xiàn)．經(jīng)研究發(fā)下，極限思想在我國(guó)歷史中最早期出現(xiàn)于《莊子·天下篇》中惠施的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”REF_Ref16754\r\h[3]每日取木棒的一半，隨著時(shí)間的增加，木棒的剩余量越接近零，但又不是零的極限狀態(tài)就是極限思想的初步形成．從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，我國(guó)把極限思想真正應(yīng)用到實(shí)踐中去的是數(shù)學(xué)家劉徽，他在古代落后的數(shù)學(xué)環(huán)境下準(zhǔn)確地計(jì)算出了圓周率．雖然人們當(dāng)時(shí)對(duì)極限概念有一定的理解，但是缺少“無窮小量”的概念，所以不能用數(shù)學(xué)語言描述極限．因?yàn)楫?dāng)時(shí)的社會(huì)生產(chǎn)力水平低和經(jīng)濟(jì)狀況落后等原因．極限思想并沒有被作為一門單獨(dú)學(xué)科來研究．從現(xiàn)在表示極限的符號(hào)“”、“”來看，“無窮”不僅是組成極限的一部分，還是理解極限非常重要的途徑．很好的理解無窮是更好的理解極限的前提．2．2極限思想的發(fā)展隨著時(shí)代的不斷進(jìn)步，在人們對(duì)極限思想的初步認(rèn)識(shí)下微積分產(chǎn)生了．到了17世紀(jì)，由于極限思想的不斷發(fā)展人們發(fā)現(xiàn)了許多問題．其中有兩類關(guān)于極限的問題，但由于極限概念的不完善導(dǎo)致沒有解答．接著就來到了牛頓時(shí)代，在解決速度和切線問題時(shí)．由于極限概念僅限于直觀描述而沒有具體準(zhǔn)確的極限定義，導(dǎo)致牛頓在描述無窮小量這個(gè)問題時(shí)含糊不清有時(shí)是零有時(shí)不是零．由于牛頓不確切的描述引起數(shù)學(xué)屆的爭(zhēng)論，從而引發(fā)出第二次數(shù)學(xué)危機(jī)．事實(shí)上，這次危機(jī)出現(xiàn)的根本成因應(yīng)該為“沒有準(zhǔn)確的極限概念和對(duì)極限的模糊不清．”，所以建立清楚的極限概念和牢固的極限理論基礎(chǔ)是非常必要的．到18世紀(jì)已經(jīng)建立了初步的、粗糙的極限理論．?dāng)?shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在1754年提出“理性的”極限概念，提倡用理性的極限思想代替人們當(dāng)時(shí)使用的不準(zhǔn)確的極限理論．但他本人并沒有提供這樣的理論．到了19世紀(jì)數(shù)學(xué)家終于給出了極限相對(duì)準(zhǔn)確的定義，而這個(gè)數(shù)學(xué)家就是柯西．它提出了在數(shù)和函數(shù)上，當(dāng)一個(gè)變量的值越接近某一定值時(shí)，這個(gè)變量與這一定值的差趨向于無窮小，那么就說這一定值是該函數(shù)的極限值的變量極限．在這個(gè)研究成果的基礎(chǔ)上，柯西把一個(gè)極限為零這個(gè)變量值定義為無窮小，把這兩個(gè)概念巧妙結(jié)合并使用．由于他對(duì)無窮小量的定義，使得極限的概念明確化起來．在此基礎(chǔ)上，柯西用它對(duì)導(dǎo)數(shù)、連續(xù)、微分、定積分等概念進(jìn)行了明確．盡管柯西使一直粗糙的極限定義有了開端，不過他在定義極限時(shí)所運(yùn)用的語言并不都是精確的數(shù)學(xué)語言，例如定義中有的“要多小有多小”和“無限趨近”等．再后來由于人們對(duì)極限的不斷研究，發(fā)現(xiàn)極限理論想要獲得更加精確的定義那就需要實(shí)數(shù)理論的同步發(fā)展．REF_Ref16953\r\h[4]最后，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯對(duì)極限給出了嚴(yán)格的定義，他不僅僅打造出實(shí)數(shù)系的理論，還研究設(shè)計(jì)出獨(dú)特的“”語言．這種語言對(duì)極限做出了詳細(xì)精準(zhǔn)的定義，顛覆了過去對(duì)于該定義一直模糊的狀態(tài)，解決“貝克萊悖論”問題．2．3極限思想的形成極限思想的形成應(yīng)該是從柯西給出極限比較精確的定義開始的，在這之前的極限都是沒有準(zhǔn)確的表述的．接下來真正對(duì)極限進(jìn)行準(zhǔn)確的描述的應(yīng)該是魏爾斯特拉斯．他的“”語言讓極限從動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)過渡到靜態(tài)觀點(diǎn)，在解決問題的時(shí)候能通過和之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)極限概念的“算術(shù)化”．其中他提出了具體的數(shù)列極限定義和函數(shù)極限概念，使之前的“無窮小”、“要多小有多小”等模糊的說法可以用具體的數(shù)學(xué)語言描述出來．以此為前提，魏爾斯特拉斯還通過“”語言對(duì)一系列重要的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行了明確定義，如連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等等，他徹底改變了過往諸多數(shù)學(xué)概念不清晰的狀況，使得概念明確，使用便利，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上發(fā)揮著重要作用．2．4極限思想的探索雖然“”語言解決了人們關(guān)注的世紀(jì)性問題，并給出了嚴(yán)密的極限概念，但作為微積分的基礎(chǔ)其復(fù)雜的邏輯機(jī)構(gòu)讓微積分入門成了一個(gè)難題．科技的高速發(fā)展帶來了許多研究領(lǐng)域的突破性進(jìn)步．在極限的研究領(lǐng)域也涌現(xiàn)出了許多專家學(xué)者，其中最值得提的應(yīng)該是張景中院士．他提出了和語言同樣嚴(yán)格語言，這種語言更容易被初學(xué)者掌握．語言的提出讓學(xué)生學(xué)習(xí)極限思想變得更加簡(jiǎn)單，也使學(xué)習(xí)微積分變得更加容易．?dāng)?shù)列極限定義：若存在恒正遞增無界數(shù)列，使得對(duì)一切，總有，則．函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)在的空心鄰域有定義，是指存在零的某右鄰域內(nèi)的恒正遞減無界函數(shù)，

使得當(dāng)時(shí)，總有．REF_Ref16999\r\h[5]其實(shí)在學(xué)習(xí)這一極限概念時(shí)，應(yīng)該先理解無窮小量和無限的概念，再學(xué)習(xí)嚴(yán)格的“”語言，最后再學(xué)習(xí)嚴(yán)格化的基礎(chǔ)實(shí)數(shù)理論．在中學(xué)學(xué)習(xí)中使用張景中院士給出的關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義來進(jìn)行求極值更為簡(jiǎn)單．3．概念及簡(jiǎn)介3．1極限基本概念3．1．1應(yīng)用數(shù)列的極限定義在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，用描述的方法給出了無窮數(shù)列的極限概念．其實(shí)數(shù)列極限的定義還可以用更加明確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)．定義：數(shù)稱為數(shù)列的極限，對(duì)于任意正數(shù)，不論她怎么小，總存在著數(shù)列的這樣一個(gè)項(xiàng)數(shù)，當(dāng)為大于的一切值時(shí)，不等式成立．“數(shù)是數(shù)列的極限”之句話，可用記號(hào)寫出：或者借助不等式寫成：當(dāng)時(shí)，．3．1．2應(yīng)用函數(shù)的極限定義對(duì)于一般函數(shù)，假設(shè)建設(shè)它定義在上，除了如同數(shù)列一樣，可以考查當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)外，還可以考查自變量(在函數(shù)的定義域內(nèi)取值，為一實(shí)數(shù)）時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)．若對(duì)于任意給定的正數(shù)，不論它怎樣小，總存在著一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為這里我們用“”代替在數(shù)列中用到的“”．“”表示自變量的值可以大于任何正數(shù)．同樣的，對(duì)于任意給定的正數(shù)，不論它怎樣小，總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為“”表示自變量的值可以小于任意負(fù)數(shù)．如果有,和，那么可以說當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)的極限是，記作也可以表示為“”時(shí)，“”．由上述可知，函數(shù)的極限是與自變量趨近那一邊有關(guān)．也就是說函數(shù)的極限由自變量趨近那一邊決定．REF_Ref17045\r\h[6]3．2數(shù)學(xué)極限思想數(shù)學(xué)極限思想是指通過構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)或?qū)?yīng)的數(shù)列，當(dāng)自變量或項(xiàng)數(shù)趨向于正無窮或負(fù)無窮或某一定值時(shí)，使通項(xiàng)或函數(shù)項(xiàng)在不斷變化中趨向于某固定常量，用這樣的思想思考和研究解決數(shù)學(xué)問題被叫做極限思想．?dāng)?shù)學(xué)中極限思想是指在處理問題時(shí)用發(fā)展的眼光來看待問題，使我們的思想從有限過渡到無限，這是數(shù)學(xué)思想方式一個(gè)質(zhì)的飛躍，這種思想方式的轉(zhuǎn)變?cè)谖覀兘鉀Q問題時(shí)具有非常重要的指導(dǎo)意義．在現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)我們遇到復(fù)雜、困難的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般會(huì)運(yùn)用常規(guī)的思維方式來進(jìn)行解題，但運(yùn)用常規(guī)方法解題不僅速度慢還很容易出錯(cuò)．這個(gè)時(shí)候我們就可以借助數(shù)學(xué)極限思想方法，試著改變研究條件或改變研究條件的趨近方式，即在解決問題的過程中把目光進(jìn)行發(fā)散，不能把關(guān)注點(diǎn)放在一個(gè)地方．比如將關(guān)注一個(gè)點(diǎn)，變換到關(guān)注一個(gè)區(qū)間上，對(duì)區(qū)間進(jìn)行研究時(shí)就可以構(gòu)造函數(shù)了，構(gòu)造函數(shù)后再回到原來關(guān)注的點(diǎn)上就可以求得極限．在解決問題時(shí)運(yùn)用發(fā)展的、動(dòng)態(tài)的思想來研究和處理問題，能使我們更快的找到解題辦法，從而幫助我們更簡(jiǎn)單快速的解題．4．極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用4．1極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程函數(shù)幾乎無處不在．在這個(gè)階段需要掌握的主要是正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)等，可以用傳統(tǒng)的解析列式表達(dá)或選擇運(yùn)用圖像．由于這些都是比較直觀的表達(dá)形式所以更加方便初中生對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握．到了高中就是運(yùn)用函數(shù)理念進(jìn)行拔高，將其運(yùn)用到處理曲線、數(shù)列、不等式等題目的解析中，涉及函數(shù)的問題是整個(gè)數(shù)學(xué)邏輯思維學(xué)習(xí)中的大塊頭，需要重點(diǎn)把握．在數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，本質(zhì)上涵蓋了兩個(gè)方面的類別：一是單個(gè)集合之間的關(guān)系，二是集合與集合之間．所謂函數(shù)體現(xiàn)的就是集合與集合之間的關(guān)系。自變量和因變量之間相互影響是函數(shù)反應(yīng)出來的關(guān)系，這是一種重要的方法論．所以，函數(shù)的重要性毋庸置疑。其實(shí)，在高等數(shù)學(xué)中也是繼續(xù)延續(xù)函數(shù)思維的學(xué)習(xí)和掌握深度．因此，在一開始的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)中，老師有必要從思維上強(qiáng)化理解，從函數(shù)出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生加深認(rèn)識(shí)，鍛煉解決函數(shù)的思路．例題一：研究函數(shù)的圖像．分析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由此可以做出函數(shù)的圖像，如圖1圖1例題二：函數(shù)的在定義域上，則其值域?yàn)椋ǎ┙馕觯寒?dāng)時(shí)，有時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．則當(dāng)?shù)亩x域在時(shí)值域的范圍在從上，而可排除．故選擇．4．2極限思想在數(shù)列中的應(yīng)用我們的在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)出現(xiàn)了有窮極限和無窮極限，遇到數(shù)列呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)時(shí)，趨向無窮大，且鄰近某個(gè)常數(shù)時(shí)，極限的方法就可以發(fā)揮作用，引導(dǎo)出清晰的思路．在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多數(shù)列問題都必須用極限思想來解決，由于數(shù)列中出現(xiàn)的無窮、無限不能用其他方法解決，下面我們就一起來看一下例題：例題三：求數(shù)列的數(shù)列和解析：，，所以當(dāng)時(shí)，分母也趨向于無窮大．這時(shí)就趨近于，取得的極限為．那．這就是數(shù)列問題中的極限思想．例題四：數(shù)列，已知且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)．分析：本題是關(guān)于無窮等比數(shù)列的題，可以根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用極限思想解題．第一步：設(shè)數(shù)列的公比為．第二步：運(yùn)用等比數(shù)列的基本定義對(duì)公比兩邊求極限，說明等比數(shù)列的極限存在．最后對(duì)進(jìn)行求解．解：設(shè)公比為，則兩端同時(shí)取極限得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)即得整理得，可得解得或．4．3極限思想在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)入高中的學(xué)習(xí)后曲線出現(xiàn)在我們視野中，如拋物線、橢圓、雙曲線等，隨著曲線的出現(xiàn)也增加了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度．但在解題時(shí)如果能靈活的運(yùn)用極限思想，那就能更加簡(jiǎn)便快捷的解題．例題五：已知拋物線的，焦點(diǎn)作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段長(zhǎng)為m，的長(zhǎng)為n，則等于（）圖2解析：本題主要是關(guān)于變與不變的問題，在看到題目后我們一般的解題方法是探求的關(guān)系，但運(yùn)用這樣的解題方法不僅過程繁瑣，計(jì)算也非常復(fù)雜．遇到此類題目時(shí)如果能充分運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的關(guān)系，對(duì)的極限的具體位置進(jìn)行探究，這樣可以簡(jiǎn)化解題方法．我們發(fā)現(xiàn)可以順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)可以與軸重合，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針反方向旋轉(zhuǎn)時(shí)也能達(dá)到相同的效果．當(dāng)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)與重合，點(diǎn)的運(yùn)行軌跡到達(dá)無窮遠(yuǎn)，相應(yīng)地，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)也能獲得相同結(jié)果．這兩種情況所求得的答案都是一樣的，雖然這時(shí)的線段不能稱它為拋物線的弦，但它是弦的一種極限情形．由順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，而，所以，故選．在面對(duì)這類客觀選擇題時(shí)，考察了學(xué)生思維的靈敏度，同時(shí)這樣的試題也體現(xiàn)了選拔性．例題六：是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍？解析：這道題主要是先判斷題目，題目中求為鈍角時(shí)點(diǎn)的取值，那么我們知道當(dāng)時(shí)為鈍角．這時(shí)就要對(duì)點(diǎn)的軌跡進(jìn)行分析，求出時(shí)坐標(biāo)和會(huì)在什么范圍．這里需要注意當(dāng)趨向于長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，接近．當(dāng)點(diǎn)越靠近短軸，那么為鈍角存在，這時(shí)就可以說明點(diǎn)在短軸附近．那么我們要求當(dāng)時(shí)，來得出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．我們知道直徑對(duì)的圓周角等于．那我們就可以設(shè)立相應(yīng)的方程，求出橢圓和圓的交點(diǎn)，該交點(diǎn)就是進(jìn)而得到點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．由圓的直徑為，列出圓和橢圓的相關(guān)方程，得．因此得．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)解析幾何范圍求解問題是經(jīng)常出現(xiàn)的，由于它有一定的難度，所以解題時(shí)總是要花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間．如果能應(yīng)用極限思維，那問題就能更快、更簡(jiǎn)單的解決．4．4極限思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用在高中的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)進(jìn)入了我們的視野．其實(shí)三角函數(shù)就是根據(jù)角的變化而變化的，在三角函數(shù)的解題思路中，極限思想可以體現(xiàn)在大家能夠參考角的取值范圍其極端狀態(tài)來簡(jiǎn)化思路．例題七：對(duì)任何都有解:由于取值范圍是，且由于的數(shù)值變化有連續(xù)性，可知對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的變化也有連續(xù)性．因?yàn)楹蜁r(shí)選擇均有定義，可選擇極限思想觀察變化的極端狀態(tài)：和．當(dāng)時(shí)，則，排除．當(dāng)時(shí)，有，排除，故選．例題八：若，則解析：由題目我們知道了角的四個(gè)取值范圍，這時(shí)我們就可以運(yùn)用排除法．對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，但角的取值都是不定值．所求的角非特殊角，可將等式兩邊均看作連續(xù)的函數(shù)，采納極限思想，對(duì)函數(shù)求極限然后進(jìn)行比較．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有．因此在區(qū)間兩函數(shù)大小從大于變?yōu)樾∮?，所以要等式成立，則的取值在上，故選．4．5極限思想在不等式中的應(yīng)用我們使用的中學(xué)課本中，不等式的相關(guān)內(nèi)容過于籠統(tǒng)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足該部分內(nèi)容作為數(shù)學(xué)體系中的重點(diǎn)的要求．解決不等式的方法多種多樣，常見的有綜合法、放縮法、等．但傳統(tǒng)的方法無法做到解決所有難題，這是我們可以選擇用極限思想考慮做題思路。運(yùn)用極限思想可以使問題變得更加簡(jiǎn)單，方便學(xué)生準(zhǔn)確快速的解題．下面我們就來看看極限思想在不等式中是如何運(yùn)用的．例題九：設(shè)函數(shù)．若時(shí)，，求的取值范圍．解:對(duì)所有的都成立，可得:(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，，設(shè)．把問題轉(zhuǎn)化為求的最小值或下確界．，由一階導(dǎo)知道當(dāng)時(shí)取得最小值，可得的最小值為，于是可知．本題的難點(diǎn)應(yīng)該是如何將的取值轉(zhuǎn)換成一個(gè)函數(shù)來求解．例題十：設(shè)函數(shù)，則滿足的解集是解析：這題主要是對(duì)不等式方程組求解．當(dāng)選項(xiàng)中出現(xiàn)區(qū)間，那我們就可以運(yùn)用排除法利用極限思想來解題．把題目中的選項(xiàng)一一帶入不等式，看一下在未知數(shù)取何值時(shí)不等式成立，并出現(xiàn)臨界．首先看題目選項(xiàng)中有，將這些數(shù)一一帶入就可以求出的范圍．當(dāng)時(shí)，不等式?jīng)]有意義，所以排除．當(dāng)時(shí)，屬于區(qū)間，所以得到不滿足臨界，所以可以排除．當(dāng)時(shí)，屬于區(qū)間，所以得到滿足臨界，所以應(yīng)該選．5．極限思想的意義與作用極限思想反應(yīng)的是一種變化趨勢(shì)。它運(yùn)用的是從數(shù)量關(guān)系或空間形式上出發(fā)，嘗試量化無限變化里的某一變量．這種思想及時(shí)解題思維，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)整個(gè)邏輯體系中的應(yīng)用手段．另外，極限思想的發(fā)現(xiàn)和使用具有創(chuàng)新性和顛覆性，可以推測(cè)和設(shè)定命題并加以論證．首先，從一定程度上可以說，沒有極限就沒有微積分．微積分學(xué)創(chuàng)立的前提是極限理論的發(fā)展與成熟運(yùn)用；第二，極限思想這種方法運(yùn)用的范圍十分廣泛，不僅僅局限于數(shù)學(xué)體系中的眾多解題方法中，還廣泛存在和應(yīng)用于概率極限理論等相關(guān)的數(shù)學(xué)分支和其他學(xué)科中．第二，在現(xiàn)實(shí)生活中的賭博等游戲活動(dòng)應(yīng)用極廣的就是概率論．假設(shè)在概率論中缺少了極限概念的應(yīng)用，則其真正的含義和本質(zhì)就沒有辦法反應(yīng)出來。當(dāng)今概率論廣泛應(yīng)用在各行各業(yè)，涉獵到各個(gè)不同的領(lǐng)域，該理論設(shè)立的前提是因隨機(jī)變量序列的弱收斂等相關(guān)基礎(chǔ)理論，這與極限思想的發(fā)展與運(yùn)用緊密關(guān)聯(lián)，或者說，脫離了極限思想，概率論的發(fā)展就不可能到達(dá)現(xiàn)有的成績(jī)，更不能運(yùn)用到各領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用．第三，極限思想的運(yùn)用萌生出了諸多新的數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域．具體地看，如現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)家對(duì)于突變、分形、有限元法的解題方法等，都反應(yīng)出了沒有規(guī)律的前提下存在的極限性數(shù)學(xué)特征，這種可以廣泛應(yīng)用的無限逼近思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和其他相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用與發(fā)展都得到了相關(guān)證實(shí)．最后，通過研究發(fā)現(xiàn)極限思想在解決數(shù)學(xué)問題中發(fā)揮的作用和不可代替的地位，我們應(yīng)當(dāng)明白運(yùn)用該方法的重要價(jià)值，以及學(xué)習(xí)并熟練掌握和運(yùn)用它的必要性。在未來發(fā)展中，極限發(fā)展將持續(xù)滲透到其他行業(yè)和領(lǐng)域，逐漸發(fā)揮更大的效能，其在數(shù)學(xué)發(fā)展史上將發(fā)揮越來越重要的作用．REF_Ref16999\r\h[5]參考文獻(xiàn)陳中華．極限與極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[D]．海南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文．2014：1-40．許艷紅．高中生對(duì)極限概念理解的研究[D]東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文．2015．王艷妮．中學(xué)理科極限思想的教學(xué)與應(yīng)用[D]．西北大學(xué)碩士學(xué)位論文．2014．顧沛．?dāng)?shù)學(xué)文化[M]．5、2版．北京：高等教育出版社．2017．11，3（1）：122-133．吳振英，陳湛本．論極限的思想方法[J]．廣州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003(05):410-413．邵一丹．高中數(shù)