《測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理》課件-隨機(jī)誤差的其他分布

《測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理》隨機(jī)誤差的其他分布導(dǎo)語(yǔ)正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。隨著誤差理論研究與應(yīng)用的深入發(fā)展，發(fā)現(xiàn)有不少隨機(jī)誤差不符合正態(tài)分布，而是非正態(tài)分布。隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律01CONTENTS目錄誤差分布的分析判斷02隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律PART01一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（一）均勻分布分組

分類按對(duì)數(shù)表舍入誤差大小1-2526-5051-7576-100總和按符號(hào)分零誤差00011正誤差1412121250負(fù)誤差1113131249共計(jì)25252525100按絕對(duì)值分0-1059952811-2035251521-3093321731-4043661941-50455721共計(jì)25252525100誤差平均值2.83.0-2.8-2.40.14在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（一）均勻分布均勻分布的分布密度f(wàn)(δ)和分布函數(shù)F(δ)分別為：

均勻分布分布的數(shù)學(xué)期望為：

均勻分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（一）均勻分布服從均勻分布的可能情形有：（1）數(shù)據(jù)修約引起的舍入誤差；（2）數(shù)字顯示末位的截?cái)嗾`差；（3）瞄準(zhǔn)誤差；（4）數(shù)字儀器的量化誤差；（5）齒輪回程所產(chǎn)生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；（6）多中心值不同的正態(tài)誤差總和接近均勻分布。一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（二）反正弦分布反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。例如儀器度盤偏心引起的角度測(cè)量誤差，電子測(cè)量中諧振的振幅誤差等，均為反正弦分布。

反正弦分布的分布密度f(wàn)(δ)和分布函數(shù)F(δ)分別為：一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（二）反正弦分布反正弦分布的數(shù)學(xué)期望為：反正弦分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（三）三角形分布

當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜分布。在實(shí)際測(cè)量中，若整個(gè)測(cè)量過(guò)程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測(cè)量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分布，則總的測(cè)量誤差為三角形分布誤差。三角形分布誤差的分布密度f(wàn)(δ)和分布函數(shù)F(δ)分別為：一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（三）三角形分布三角形分布的數(shù)學(xué)期望為：E=0三角形分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（四）χ2分布。令ξ1,ξ2,…,ξν為ν

個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量χ2=ξ12+ξ22+…+ξν2隨機(jī)變量χ2稱為自由度為ν的卡埃平方變量。自由度ν表示式中項(xiàng)數(shù)或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。χ2分布的分布密度f(wàn)(χ2)為：。

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（四）χ2分布最小二乘法中要用到χ2分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。由圖中的兩條χ2理論曲線看出，當(dāng)ν逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì)稱。可以證明當(dāng)ν足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。χ2分布的數(shù)學(xué)期望為：χ2分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（五）t分布令ξ和η是獨(dú)立的隨機(jī)變量，ξ具有自由度為ν

的χ2分布函數(shù)，η具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為：

隨機(jī)變量t稱為自由度為ν的學(xué)生氏t變量。t分布的分布密度f(wàn)(t)為：

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（五）t分布t分布的數(shù)學(xué)期望為：t分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對(duì)稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同?？梢宰C明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度ν→∞時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（六）F分布若ξ1具有自由度為ν1的卡埃平方分布函數(shù)，ξ2具有自由度為ν2的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為：隨機(jī)變量F稱為自由度為ν1、ν2的F變量。F分布的分布密度f(wàn)(F)為：

一、隨機(jī)誤差的其他分布規(guī)律（六）F分布F分布的數(shù)學(xué)期望為：F分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。誤差分布的分析判斷PART02二、誤差分布的分析判斷在測(cè)量中，要具體確定各種誤差分布的規(guī)律，是一件比較復(fù)雜的事情。一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法是，結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和理論分析，對(duì)所關(guān)心的幾種常見(jiàn)測(cè)量分布類型作出分析判斷。簡(jiǎn)要介紹幾種分析判斷某些常見(jiàn)誤差分布的方法。（一）物理來(lái)源判斷法二、誤差分布的分析判斷根據(jù)測(cè)量誤差產(chǎn)生的來(lái)源，可以判斷其屬于何種類型。如其測(cè)量受到至少有三個(gè)以上獨(dú)立的、微小而相近的因素的影響，則可認(rèn)為它服從或接近正態(tài)分布。又如測(cè)量值在某范圍內(nèi)各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，則可認(rèn)為它服從均勻分布。（二）函數(shù)關(guān)系法二、誤差分布的分析判斷利用隨機(jī)變量的函數(shù)關(guān)系，可以判斷誤差屬于何種分布。若ξ與η都在［-a,a］內(nèi)服從均勻分布，那么（ξ+η)/2服從三角分布；若ξ服從均勻分布，那么

msin

(ξ+ξ0）服從反正弦分布；若ξ1,

ξ2,…,

ξn相互獨(dú)立，且服從相同的正態(tài)分布

N

(0,1)，那么√("ξ"_??^??+"ξ"_??^??+?+"ξ"_n^??)服從χ分布，而"ξ"_??^??+"ξ"_??^??+?+"ξ"_n^??服從χ2分布；若ξ與η服從χ2分布，且相互獨(dú)立，那么ξ/η服從F分布；若ξ服從正態(tài)分布

N

(0

,1)，ξ服從χ分布，ξ與η相互獨(dú)立，那么ξ/η服從

t

分布。（三）圖形判斷法二、誤差分布的分析判斷對(duì)重復(fù)測(cè)量獲得的樣本數(shù)據(jù)繪出其頻率密度直方圖，并與各種