《測量誤差與數(shù)據(jù)處理》課件-隨機誤差的其他分布

《測量誤差與數(shù)據(jù)處理》隨機誤差的其他分布導語正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。隨著誤差理論研究與應用的深入發(fā)展，發(fā)現(xiàn)有不少隨機誤差不符合正態(tài)分布，而是非正態(tài)分布。隨機誤差的其他分布規(guī)律01CONTENTS目錄誤差分布的分析判斷02隨機誤差的其他分布規(guī)律PART01一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（一）均勻分布分組

分類按對數(shù)表舍入誤差大小1-2526-5051-7576-100總和按符號分零誤差00011正誤差1412121250負誤差1113131249共計25252525100按絕對值分0-1059952811-2035251521-3093321731-4043661941-50455721共計25252525100誤差平均值2.83.0-2.8-2.40.14在測量實踐中，均勻分布是經常遇到的一種分布，其主要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（一）均勻分布均勻分布的分布密度f(δ)和分布函數(shù)F(δ)分別為：

均勻分布分布的數(shù)學期望為：

均勻分布的方差和標準差分別為：

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（一）均勻分布服從均勻分布的可能情形有：（1）數(shù)據(jù)修約引起的舍入誤差；（2）數(shù)字顯示末位的截斷誤差；（3）瞄準誤差；（4）數(shù)字儀器的量化誤差；（5）齒輪回程所產生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；（6）多中心值不同的正態(tài)誤差總和接近均勻分布。一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（二）反正弦分布反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關系。例如儀器度盤偏心引起的角度測量誤差，電子測量中諧振的振幅誤差等，均為反正弦分布。

反正弦分布的分布密度f(δ)和分布函數(shù)F(δ)分別為：一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（二）反正弦分布反正弦分布的數(shù)學期望為：反正弦分布的方差和標準差分別為：

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（三）三角形分布

當兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜分布。在實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。三角形分布誤差的分布密度f(δ)和分布函數(shù)F(δ)分別為：一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（三）三角形分布三角形分布的數(shù)學期望為：E=0三角形分布的方差和標準差分別為：

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（四）χ2分布。令ξ1,ξ2,…,ξν為ν

個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標準化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量χ2=ξ12+ξ22+…+ξν2隨機變量χ2稱為自由度為ν的卡埃平方變量。自由度ν表示式中項數(shù)或獨立變量的個數(shù)。χ2分布的分布密度f(χ2)為：。

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（四）χ2分布最小二乘法中要用到χ2分布，此外它也是t分布和F分布的基礎。由圖中的兩條χ2理論曲線看出，當ν逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當ν足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。χ2分布的數(shù)學期望為：χ2分布的方差和標準差分別為：

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（五）t分布令ξ和η是獨立的隨機變量，ξ具有自由度為ν

的χ2分布函數(shù)，η具有標準化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為：

隨機變量t稱為自由度為ν的學生氏t變量。t分布的分布密度f(t)為：

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（五）t分布t分布的數(shù)學期望為：t分布的方差和標準差分別為：t分布的數(shù)學期望為零，分布曲線對稱于縱坐標軸，但它和標準化正態(tài)分布密度曲線不同。可以證明，當自由度較小時，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當自由度ν→∞時，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經常用到它。一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（六）F分布若ξ1具有自由度為ν1的卡埃平方分布函數(shù)，ξ2具有自由度為ν2的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為：隨機變量F稱為自由度為ν1、ν2的F變量。F分布的分布密度f(F)為：

一、隨機誤差的其他分布規(guī)律（六）F分布F分布的數(shù)學期望為：F分布的方差和標準差分別為：

F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設和方差分析中經常應用。誤差分布的分析判斷PART02二、誤差分布的分析判斷在測量中，要具體確定各種誤差分布的規(guī)律，是一件比較復雜的事情。一個比較簡單的方法是，結合實際經驗和理論分析，對所關心的幾種常見測量分布類型作出分析判斷。簡要介紹幾種分析判斷某些常見誤差分布的方法。（一）物理來源判斷法二、誤差分布的分析判斷根據(jù)測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類型。如其測量受到至少有三個以上獨立的、微小而相近的因素的影響，則可認為它服從或接近正態(tài)分布。又如測量值在某范圍內各處出現(xiàn)的機會相等，則可認為它服從均勻分布。（二）函數(shù)關系法二、誤差分布的分析判斷利用隨機變量的函數(shù)關系，可以判斷誤差屬于何種分布。若ξ與η都在［-a,a］內服從均勻分布，那么（ξ+η)/2服從三角分布；若ξ服從均勻分布，那么

msin

(ξ+ξ0）服從反正弦分布；若ξ1,

ξ2,…,

ξn相互獨立，且服從相同的正態(tài)分布

N

(0,1)，那么√("ξ"_??^??+"ξ"_??^??+?+"ξ"_n^??)服從χ分布，而"ξ"_??^??+"ξ"_??^??+?+"ξ"_n^??服從χ2分布；若ξ與η服從χ2分布，且相互獨立，那么ξ/η服從F分布；若ξ服從正態(tài)分布

N

(0

,1)，ξ服從χ分布，ξ與η相互獨立，那么ξ/η服從

t

分布。（三）圖形判斷法二、誤差分布的分析判斷對重復測量獲得的樣本數(shù)據(jù)繪出其頻率密度直方圖，并與各種