2024-2025學年高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布2.3.2離散型隨機變量的方差學案含解析新人教A版選修2-3

PAGE2．3.2離散型隨機變量的方差[目標]1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡潔離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.駕馭方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的方差的求法．[重點]離散型隨機變量的方差和標準差的概念和計算；方差的性質(zhì)以及兩點分布、二項分布的方差的求法．[難點]離散型隨機變量的方差的計算與應(yīng)用．學問點一離散型隨機變量的方差、標準差[填一填]1．方差及標準差的定義設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)方差D(X)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)xi－EX2·pi).(2)標準差為eq\r(Dx).2．方差的性質(zhì)D(aX＋b)＝a2D(X)．[答一答]1．方差與標準差有什么實際意義？提示：隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．D(X)越小，穩(wěn)定性越高，波動越小．明顯eq\r(DX)≥0，隨機變量的標準差與隨機變量本身有相同的單位．2．你能類比樣本數(shù)據(jù)方差的計算公式，理解離散型隨機變量方差的計算公式嗎？提示：設(shè)x1、x2、…、xn為樣本的n個數(shù)據(jù)，eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋…＋xn,n)，則該樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2·eq\f(1,n)，由于eq\x\to(x)相當于離散型隨機變量中的E(X)，而eq\f(1,n)相當于每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率(概率)pi，故離散型隨機變量X的方差可定義為：D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2·pi(i＝1,2，…，n)．3．隨機變量的方差與樣本方差有什么關(guān)系？提示：隨機變量的方差即為總體的方差，它是一個客觀存在的常數(shù)，不隨抽樣樣本的改變而改變；樣本方差則是隨機變量，它是隨著樣本的不同而改變的．對于簡潔隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體方差．學問點二兩個常見分布的方差[填一填]1．若X聽從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．[答一答]4．兩點分布的方差同二項分布的方差存在什么關(guān)系？提示：由于兩點分布是特殊的二項分布，故兩點分布的方差同二項分布的方差存在特殊與一般的關(guān)系．1．對隨機變量X的方差、標準差的理解(1)隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的．(2)隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度．(3)D(X)越小，穩(wěn)定性越高，波動越小．(4)標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛．2．剖析方差的性質(zhì)當a，b均為常數(shù)時，隨機變量η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特殊地：(1)當a＝0時，D(b)＝0，即常數(shù)的方差等于0.(2)當a＝1時，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即隨機變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機變量的方差本身．(3)當b＝0時，D(aξ)＝a2D(ξ)，即隨機變量與常數(shù)之積的方差，等于這個常數(shù)的平方與這個隨機變量方差的乘積．類型一離散型隨機變量的方差及性質(zhì)【例1】已知η的分布列如下：η010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)求η的方差及標準差；(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【分析】(1)首先求出均值E(η)，然后利用D(η)的定義求方差；(2)由于E(η)是一個常數(shù)，所以D(Y)＝D[2η－E(η)]＝22D(η)．【解】(1)∵E(η)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16，∴D(η)＝(0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f(2,5)＋(20－16)2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16)2×eq\f(1,15)＝384，∴eq\r(Dη)＝8eq\r(6).(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D[2η－E(η)]＝22D(η)＝4×384＝1536.(1)求離散型隨機變量的均值或方差的關(guān)鍵是列分布列，而列分布列的關(guān)鍵是要清晰隨機試驗中每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，同時還要正確求出每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率．(2)利用離散型隨機變量X的方差的性質(zhì)：當a，b為常數(shù)時，隨機變量Y＝aX＋b，則D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)，可以簡化解答過程，提高解題效率．某校從6名學生會干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參與市中學生運動會志愿者．(1)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及方差．(2)在男生甲被選中的狀況下，求女生乙也被選中的概率．解：(1)ξ的可能取值為0,1,2.由題意P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).(2)設(shè)在男生甲被選中的狀況下，女生乙也被選中的事務(wù)為C，男生甲被選中的種數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＝10，男生甲被選中，女生乙也被選中的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)＝4，所以P(C)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，在男生甲被選中的狀況下，女生乙也被選中的概率為eq\f(2,5).類型二二項分布的方差【例2】已知某運動員投籃命中率p＝0.6.(1)求一次投籃命中次數(shù)ξ的數(shù)學期望與方差；(2)求重復5次投籃時，命中次數(shù)η的數(shù)學期望與方差．【分析】解本題的關(guān)鍵是正確地推斷出第(1)小題屬于兩點分布，第(2)小題屬于二項分布，利用相應(yīng)的公式計算可得解．【解】(1)投籃一次命中次數(shù)ξ的分布列為：ξ01P0.40.6則E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由題意知重復5次投籃，命中的次數(shù)η聽從二項分布，即η～B(5,0.6)．由二項分布的數(shù)學期望與方差的公式得：E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此類題的一般步驟如下：第一步，推斷隨機變量X聽從什么分布兩點分布還是二項分布.其次步，代入相應(yīng)的公式，X聽從兩點分布時，DX＝p1－p；X聽從二項分布，即X～Bn，p時，DX＝np1－p.甲、乙競賽時，甲每局贏的概率是p＝0.51，乙每局贏的概率是p＝0.49.甲乙一共進行了10次競賽，當各次競賽的結(jié)果是相互獨立時，計算甲平均贏多少局，乙平均贏多少局，哪一個技術(shù)比較穩(wěn)定？解：用X表示10局中甲贏的次數(shù)，則X聽從二項分布B(10,0.51)．E(X)＝10×0.51＝5.1，即甲平均贏5.1局．用Y表示10局中乙贏的次數(shù)，則Y聽從二項分布B(10,0.49)．E(Y)＝10×0.49＝4.9，于是乙平均贏4.9局．又D(X)＝10×0.51×0.49＝2.499，D(Y)＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他們技術(shù)一樣穩(wěn)定．類型三離散型隨機變量方差的應(yīng)用【例3】某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，假如當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式．(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列，數(shù)學期望及方差．②若花店安排一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由．【解】(1)當n≥16時，y＝16×(10－5)＝80.當n≤15時，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80n≤15，,80n≥16))(n∈N)．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②購進17枝時，當天的利潤的期望值為y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，應(yīng)購進17枝．有甲、乙兩名同學，據(jù)統(tǒng)計，他們在解答同一份數(shù)學試卷時，各自的分數(shù)在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：試分析甲、乙兩名同學誰的成果好一些．解：在解答同一份數(shù)學試卷時，甲、乙兩人成果的均值分別為E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分別為D(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.由上面數(shù)據(jù)，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)<D(X乙)．這表示甲、乙兩人所得分數(shù)的均值相等，但兩人的分數(shù)的穩(wěn)定程度不同，甲同學分數(shù)較穩(wěn)定，乙同學分數(shù)波動較大，所以甲同學的成果較好．離散型隨機變量期望與方差的綜合應(yīng)用【例4】設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分．(1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求abc.【思路分析】第一問關(guān)鍵是分清取出2個球所得分數(shù)之和的全部狀況，然后分類探討，依據(jù)狀況算出相應(yīng)的概率、寫出分布列；其次問類似地寫出分布列，依據(jù)期望、方差的公式建立方程求解．【解】(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為η123peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝(1－eq\f(5,3))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋(2－eq\f(5,3))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋(3－eq\f(5,3))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9).化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0，))解得a＝3c，b＝2c，故abc＝321.【解后反思】離散型隨機變量的分布列和期望是理科數(shù)學考題中的高頻考點之一，其中，浙江省又多以摸球為背景，以對立事務(wù)、相互獨立事務(wù)、兩點分布、二項分布等學問為載體，綜合考查事務(wù)發(fā)生的概率及隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差．解題時首先要理解關(guān)鍵詞，其次要精確無誤地找出隨機變量的全部可能取值，計算出相應(yīng)的概率，后面一般就是計算問題．若隨機事務(wù)A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù)．(1)求方差D(ξ)的最大值；(2)求eq\f(2Dξ－1,Eξ)的最大值．解：隨機變量ξ的全部可能取值為0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，從而E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2.(1)D(ξ)＝p－p2＝－(p2－p＋eq\f(1,4))＋eq\f(1,4)＝－(p－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，∵0<p<1，∴當p＝eq\f(1,2)時，D(ξ)取得最大值，最大值為eq\f(1,4).(2)eq\f(2Dξ－1,Eξ)＝eq\f(2p－p2－1,p)＝2－(2p＋eq\f(1,p))，∵0<p<1，∴2p＋eq\f(1,p)≥2eq\r(2).當2p＝eq\f(1,p)，p＝eq\f(\r(2),2)時，取“＝”，因此，當p＝eq\f(\r(2),2)時，eq\f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq\r(2).

1．下面說法中正確的是(D)A．離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波動水平D．離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動水平解析：由于離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)反映的是隨機變量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A錯．而D(ξ)則反映隨機變量的集中(或穩(wěn)定)的程度，即波動水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(